利用遞推關系求數列通項公式的典型方法解析

張海宏

摘 要：解答與數列相關的問題，通項公式是關鍵。那么怎么快速、有效地求解通項公式？就這一問題做一初步探討，供大家參考。

關鍵詞：遞推關系；通項公式；累加；累積；待定系數；周期

數列的遞推公式是給出數列的方式之一，根據遞推關系求數列的通項公式，既考查學生對數列知識掌握情況，也考查學生觀察能力、推理能力、判斷能力。本文就因題而宜，正確利用遞推公式求數列的通項公式做一步探討。

一、利用遞推關系特征用累加方法求通項公式

如果一個數列從第二項起，后一項減去前一項是一個與n有關的量，就用累加。即an-1-an=f（n），則an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=f（1）+f（2）+…+f（n-1）+a1.

例：已知a1=2，an-1=an+ln（1+）.

解：a1=2，an-1=an+ln（1+），∴an-1-an=ln，∴an-an-1=ln（n≥2），an-1-an-2=ln…，∴a2-a1=ln（n≥2），∴an-a1=ln+ln+…+ln=lnn（n≥2）即an=lnn+2（n≥2）又a1=2，∴an=lnn+2.

二、利用遞推關系特征用累積方法求通項公式

若一個數列從第二項起，后一項與前一項的比是一個與n有關的量，就用累積。即=f（n），則an=·…·a1=f（n）·f（n-1）…=f（2）·f（1）a1

例：求a1=，an=an-1（n≥2）求an.

解：an=an-1（n≥2），所以當n≥2時，=所以=，…，=，=.

以上n-1個式子相乘得·…·=·…·

即=·×2×1，所以an=，當n=1時，a1==也與已知a1=相符.

所以數列{an}的通項公式為an=.

三、利用遞推關系特征用兩邊同加待定系數求通項公式

利用遞推關系an=pan-1+q（p≠1），（若p=1，則用累加）兩邊同加同一個數，構成等比數列求通項。這類題型，給兩邊同加一個數，然后構成等比數列，利用等比數列通項公式求解。關鍵是兩邊同加這個數如何求出，下面就做一簡單推理。

an=pan-1+q？圯an+b=pan-1+q+b=p（an-1+），若要構成等比數列，則b=？圯bp-b=q？圯b=（p≠1）.

若p=1，則用累加求通項公式。

例：a1=1，an+1=an+1（n∈N*），求an.

解：p=，q=1∴b==2，an+1-2=（an-2）？圯=.

則{an-2}是以a1-2=-1為首項，q=為公比的等比數列，故an-2=（a1-2）·（）n-1？圯an=2-（）n-1=2-（n∈N*） an=pan-1+q（p≠1）如果q是冪的形式，即an=tn+tan-1則等式兩邊同除以tn，化為等差數列來求解。

四、用遞推關系特征用兩邊同除以交叉項求通項公式

如果一個數列從第二項起，后一項與前一項的和交叉項的積都有關系，則根據題型特征給兩邊同除以交叉項，變為等差數列求解。

例：已知a1=，且當n>1時，an-1-an-4an·an-1=0，求an.

解：an-1-an-4an·an-1=0？圯-=4，{}是以=5為首項，d=4為公差的等差數列，故=5+4（n-1）？圯an=.

五、利用遞推關系特征用遞推公式及函數的周期性求通項公式

如果一個數列遞推關系也是用分時給出，但等式右邊分子、分母都含常數項，而且變量比較大則考慮周期。

例：已知a1=0，an+1=（n∈N*），求an，a20.

解：a1=0，a2=-，a3=，a4=0？圯a1=a4=a1+3？圯T=3an=0 n=3k- n=3k+1 n=3k+2（k∈Z），a20=a3×6+2=a2=-

利用遞推關系求數列的通項公式的方法是多種多樣的，以上方法是最典型的幾種。如果掌握了這些方法，可能給大家帶來某種啟發觸發靈感，起到舉一反三、觸類旁通的效果，能根據具體題型特征靈活正確地求解數列通項的相關問題。

編輯 馮志強