基于ARIMA時(shí)序模型的隧道結(jié)構(gòu)變形預(yù)測

斯建寧， 張 龍

(1.招商局重慶公路工程檢測中心有限公司，重慶 400067； 2.中交二航局第四工程有限公司，安徽 蕪湖 241000)

隧道穿梭于復(fù)雜環(huán)境中，極易受到水文地質(zhì)變化及外部環(huán)境作用產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形。而隧道作為社會(huì)發(fā)展的重要基礎(chǔ)設(shè)施，一旦出現(xiàn)隧道結(jié)構(gòu)變形超出建筑入侵界限值，將嚴(yán)重危及車輛的運(yùn)行和乘客的安全。因此，完善運(yùn)營隧道結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測及預(yù)測方法對(duì)確保隧道運(yùn)營安全具有重要的現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

近些年，隧道變形的監(jiān)測手段呈現(xiàn)多元化，隧道變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的精度越來越高。對(duì)于隧道變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的處理及預(yù)測分析通常采取靜態(tài)數(shù)據(jù)處理方式，回歸分析法是最為常見的處理方法，例如，李獻(xiàn)民等(2010)依據(jù)隧道監(jiān)測變形曲線進(jìn)行了非線性回歸擬合，并提出隧道圍巖變形的非線性回歸方程。回歸分析法在數(shù)據(jù)的擬合上具有較好的效果，但會(huì)忽視監(jiān)測數(shù)據(jù)隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)變化過程以及數(shù)據(jù)的“記憶”特征。時(shí)間序列分析法作為一種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理的統(tǒng)計(jì)方法，將數(shù)據(jù)按照時(shí)間順序排列，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相互關(guān)聯(lián)處理，找到數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化的規(guī)律，并利用數(shù)據(jù)之間的自相關(guān)性建立一個(gè)合理適用的預(yù)測模型。

自回歸差分滑動(dòng)平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model，ARIMA)就是一種時(shí)間序列預(yù)測方法，該模型具有無需建立顯式數(shù)學(xué)函數(shù)、發(fā)掘數(shù)據(jù)內(nèi)在關(guān)系和降低實(shí)測數(shù)據(jù)中“白噪聲”影響的優(yōu)勢而被廣泛應(yīng)用。國內(nèi)外學(xué)者也將該模型成功運(yùn)用于工程上各類數(shù)據(jù)的預(yù)測分析中，萬冬偉等(2017)結(jié)合Eviews 軟件，運(yùn)用ARIMA模型對(duì)桂林市某深基坑工程實(shí)測沉降變形數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測分析，短期預(yù)測結(jié)果令人滿意。

基于此，結(jié)合某隧道結(jié)構(gòu)變形已有監(jiān)測數(shù)據(jù)結(jié)果，將監(jiān)測數(shù)據(jù)劃分為訓(xùn)練樣本和檢驗(yàn)樣本，利用時(shí)間序列方法對(duì)訓(xùn)練樣本進(jìn)行分析，建立符合該隧道結(jié)構(gòu)變形的預(yù)測模型，同時(shí)將預(yù)測結(jié)果與檢驗(yàn)樣本進(jìn)行對(duì)比分析，進(jìn)一步驗(yàn)證該模型的適用性和可靠性。

1 ARIMA模型及預(yù)測

1.1 ARIMA模型

ARIMA模型是由Box和Jenkins于20世紀(jì)70年代提出的一種著名的時(shí)間序列預(yù)測方法。ARIMA模型可分為滑動(dòng)平均模型(MA)、自回歸模型(AR)、自回歸滑動(dòng)平均模型(ARMA)以及自回歸積分滑動(dòng)平均模型(ARIMA)。

ARIMA模型通常記為ARIMA(p,d,q)，表示對(duì)非平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列變量Yt經(jīng)過d次差分處理后，得到平穩(wěn)時(shí)間序列Xt。進(jìn)一步將平穩(wěn)時(shí)間序列Xt進(jìn)行擬合得到ARMA(p,q)模型，該模型數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+

εt-θ1εt-1-…-θqεt-q(1)

式(1)中，φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p為自回歸過程，p為自回歸階數(shù)，φ1,φ2,…,φp為自回歸系數(shù)；εt-θ1εt-1-…-θqεt-q部位為滑動(dòng)平均過程，q為平穩(wěn)數(shù)據(jù)序列；{εt}為未觀察到的白噪聲序列，形式表示為W～N(0,σ2)。

當(dāng)q=0時(shí)，ARMA(p,q)模型為自回歸模型AR(p)，表達(dá)式如下：

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+εt(2)

當(dāng)p=0時(shí)，ARMA(p,q)模型為滑動(dòng)平均模型MA(q)，表達(dá)式如下：

Xt=εt-θ1εt-1-…-θqεt-q(3)

1.2 ARIMA模型預(yù)測過程

本文預(yù)測分析過程是基于R語言環(huán)境進(jìn)行的。R是一種強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)計(jì)算軟件，具有多種統(tǒng)計(jì)學(xué)和數(shù)字分析能力，還具有強(qiáng)大繪圖功能。該軟件已運(yùn)用于數(shù)據(jù)挖掘、趨勢預(yù)測和統(tǒng)計(jì)分析等方面的研究。

本文將隧道結(jié)構(gòu)變形隨時(shí)間的變化視為時(shí)間序列，基于R軟件環(huán)境，按照?qǐng)D1進(jìn)行ARIMA模型建模。

圖1 ARIMA模型建模分析步驟

2 工程實(shí)例分析

2.1 工程概況

某運(yùn)營高速公路隧道，運(yùn)營通車3 a，隧道全長3 250 m，屬于大斷面偏壓隧道。隧道雙向四車道，設(shè)計(jì)速度為80 km/h，設(shè)計(jì)荷載為公路I級(jí)，工程結(jié)構(gòu)安全等級(jí)為一級(jí)，設(shè)計(jì)使用年限為100 a。

2.2 隧道變形監(jiān)測數(shù)據(jù)樣本

本文選取某30期運(yùn)營期間隧道拱頂部位的變形監(jiān)測結(jié)果為研究樣本，如表1所示。將前23期變形監(jiān)測數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，用于預(yù)測模型的擬合分析，后7期數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)樣本，用于預(yù)測模型對(duì)預(yù)測結(jié)果的比較分析。

表1 運(yùn)營期隧道累積變形監(jiān)測數(shù)據(jù)樣本

2.3 建立預(yù)測模型

將隧道結(jié)構(gòu)變形隨時(shí)間的變化視為時(shí)間序列，如圖2所示。采用ADF.test()函數(shù)對(duì)等時(shí)距處理后的累積進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，計(jì)算得到的P值為0.4593，大于給定的顯著性水平0.05，判斷該時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，需要采取差分處理。對(duì)圖2時(shí)間序列進(jìn)行4次差分處理，4次差分后的時(shí)間序列在均值和方差上是平穩(wěn)的，如圖3所示，ADF單位根檢驗(yàn)得到的P值為0.02709，且在0.05水平上顯著。

圖2 隧道結(jié)構(gòu)變形時(shí)間序列

圖3 四次差分后的時(shí)間序列

依據(jù)上述對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果，可確定ARIMA(p,d,q)模型中的d值取為4。為進(jìn)一步確定模型中p和q值，需要對(duì)累積變形值的平穩(wěn)性時(shí)間序列進(jìn)行自相關(guān)(ACF)和偏相關(guān)(PACF)分析，結(jié)果如圖4所示。

(a) 累積變形四階差分自相關(guān)圖

(b) 累積變形四階差分偏自相關(guān)圖

從圖4中可以看出，累積變形值的自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)變化均呈現(xiàn)出拖尾現(xiàn)象，依據(jù)模型選取的規(guī)則，符合ARIMA(p,4,q)模型，且自相關(guān)5階拖尾(自相關(guān)系數(shù)從5開始縮至置信區(qū)間)，偏自相關(guān)2階拖尾。因此，確定最優(yōu)的模型為ARIMA(5,4,2)，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

Xt= -1.9307Xt-1-1.7676Xt-2-0.9886Xt-3-0.5029Xt-4-

0.2030Xt-5+εt+0.0004εt-1+0.9688εt-2(4)

2.4 模型有效性檢驗(yàn)

為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行裕^察預(yù)測殘差是否自相關(guān)，如圖5所示，ACF自相關(guān)圖顯示出在滯后階中樣本自相關(guān)值都沒有超出顯著置信邊界，表明殘差沒有明顯的自相關(guān)性。同時(shí)采用Ljung-Box進(jìn)行檢驗(yàn)，如圖6所示，結(jié)果顯示P值均大于0.1，說明殘差為白噪聲。綜合上述檢驗(yàn)結(jié)果表明，該模型通過有效性檢驗(yàn)，可以用于該隧道結(jié)構(gòu)累積變形時(shí)間序列的預(yù)測分析。

圖5 模型殘差自相關(guān)圖

圖6 Ljung-Box檢驗(yàn)P值

2.5 隧道變形的預(yù)測

采用ARIMA(5,4,2)模型對(duì)表2中的后7期監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，并與檢驗(yàn)樣本進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見表2。從表2結(jié)果可看出，預(yù)測結(jié)果與檢驗(yàn)樣本之間的變化趨勢一致，且曲線較接近。表2列出了預(yù)測結(jié)果及預(yù)測誤差值，并與常規(guī)線形回歸方法進(jìn)行比較分析，可以看出本文提出的ARIMA(5,4,2)模型預(yù)測結(jié)果的精度整體要高于常規(guī)線形回歸擬合的預(yù)測結(jié)果。

表2 預(yù)測結(jié)果及與線形回歸方法對(duì)比誤差值

3 結(jié)論

(1)隧道結(jié)構(gòu)變形容易受到自身結(jié)構(gòu)、圍巖、地下水位以及外界環(huán)境等多因素的影響，隧道結(jié)構(gòu)變形不同的監(jiān)測部位的外界敏感程度不同，沒有一種萬能的變形預(yù)測模型能夠進(jìn)行分析，因此，只能基于該監(jiān)測點(diǎn)的歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)，選擇合適的預(yù)測模型，才能有效地進(jìn)行預(yù)測分析。

(2)結(jié)合某隧道結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，利用R軟件編程技術(shù)，基于ARIMA模型理論，構(gòu)建了適合該監(jiān)測點(diǎn)的預(yù)測模型，即ARIMA(5,4,2)模型。該模型預(yù)測結(jié)果表明，該模型預(yù)測結(jié)果有效，且預(yù)測精度較高，適用于該監(jiān)測點(diǎn)隧道結(jié)構(gòu)變形的短期預(yù)測分析。

(3)提出的預(yù)測模型僅依賴于監(jiān)測數(shù)據(jù)歷史樣本的ARIMA模型的R軟件環(huán)境程序化實(shí)現(xiàn)，未考慮隧道周邊環(huán)境等因素對(duì)預(yù)測結(jié)果的影響，在隧道鄰近施工、開挖施工等特殊情況，預(yù)測過程還需要考慮這些關(guān)聯(lián)因素做進(jìn)一步研究。