Gray-Scott系統的精確行波解

鄭任翔，劉小華，宋佳謙

（貴州民族大學數據科學與信息工程學院，貴州貴陽550025）

1 引言

非線性偏微分方程行波解的研究是許多領域的重要課題，行波解是偏微分方程及其耦合系統的一種精確解，國內外諸多文獻成果也表明對方程和耦合系統進行行波解考慮也是有意義的。國內外學者們給出許多有效的求解行波精確解的方法，比如，逆散射變換法[1]、Hirota's法[2]、Backlund[3]and Darboux變換法[4]、齊次平衡法[5]、待定系數法[6]等等。并且借助這些方法給出了許多偏微分方程和發展方程的精確孤波解、精確行波解的顯式表達式[7-9]。

本文主要考慮Gray-Scott系統

的精確行波解。Gray-Scott描述的是一類化學反應過程，是反應過程的無量綱控制方程。因此構建此類非線性方程的行波解有其重要的科學意義和廣泛的應用背景。Arjeen.Doelman和Robert.A.Cardner[11]，通過調整周期分岔點和霍普夫分岔點的區間尺度得到了一維的Gray-scott系統的奇異同宿穩定解和空間周期解。魏俊成通過改變二維Gray-scott系統的參數得到了二維不可逆Gray-scott系統的解的存在性和單個波動方程的穩定解[12]，等等，在此研究的的基礎上，本文利用 改進的方法，給出了Gray-Scott系統新的精確行波解。

2 Gray-Scott系統的精確行波解

首先對Gray-Scott系統做行波變換，令

利用齊次平衡原則，確定e和g的值，在（2）式中UV2為非線性項，而U"，DV"為最高階導數項，所以

由（15）+（18）可得 D(1-k)=1-k 則 D=1。由（16）+（19）可得A=R

由（17）+（20）可得 A-Aa0-Rb0=0，因此 b0=1-a0(a0為任意常數）.

綜上所述，方程組的解為：

a0=M(M為任意常數），(M 為任意常數），

根據文獻[10]中的結論可以得到Gray-Scott系統（1）的精確行波解為：

其中 m，n，k，C1，C2為任意實參數，i為虛數單位，x-ct.

3 結論

本文應用改進的G'/G方法，獲得了Gray-Scott系統在四個不同條件下的8組新的精確解，包括指數函數解、三角函數解、雙曲函數解。據我們所知，這些解在以前的文獻中還查找不到。這些新解有助于人們更好的了解Gray-Scott系統所描述的化學反應過程。此外可以猜想，類似本文的方法，借助其它的求解方法，還可以構造Gray-Scott系統更多的新