任意陣列形狀的欠定多目標(biāo)方位估計(jì)

劉亞萍,羅 建,聶宜召,趙亞磊,張海濤

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院,陜西 西安 710072)

0 引言

陣列信號(hào)處理是現(xiàn)代信號(hào)處理的一個(gè)重要分支,在近40多年來得到迅速發(fā)展,其應(yīng)用涉及雷達(dá)、通信、聲吶、地震勘探、射電天文以及生物醫(yī)學(xué)工程等眾多軍事及民用領(lǐng)域[1]。信號(hào)的來波方向估計(jì)是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要研究方向,定位技術(shù)更是廣泛應(yīng)用在航空、航天、航海、交通、勘測(cè)、導(dǎo)航等領(lǐng)域[2-4]。空間譜估計(jì)是陣列信號(hào)處理技術(shù)中的重要研究內(nèi)容之一[5-7]。實(shí)際工程應(yīng)用中,算法的硬件平臺(tái)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度與陣列模型和陣列信號(hào)處理算法具有密切聯(lián)系,其中陣列模型要由實(shí)際應(yīng)用環(huán)境確定。

通常對(duì)于固定的陣列形式來說,線陣只能對(duì)陣列所在直線為界的半個(gè)平面進(jìn)行空間譜估計(jì),面陣可以在整個(gè)平面對(duì)目標(biāo)進(jìn)行估計(jì),也可以對(duì)陣列所在平面為界的半個(gè)空間進(jìn)行估計(jì),只有空間立體陣才可以對(duì)整個(gè)空間內(nèi)的目標(biāo)進(jìn)行空間譜估計(jì)。目前對(duì)二維及空間陣列(如圓陣、平面陣、共形陣等)的研究工作已相對(duì)比較成熟且取得了豐碩的成果[8-9],也擁有了比較成熟的信號(hào)處理算法。在現(xiàn)實(shí)水下環(huán)境中,探測(cè)系統(tǒng)受水下環(huán)境各種因素的影響,布放的陣列模型往往是由具體平臺(tái)決定的任意形狀,因此本文采用一種任意空間陣列模型進(jìn)行空間任意目標(biāo)信號(hào)源估計(jì),具有較高的應(yīng)用靈活性。

高階分析已經(jīng)廣泛應(yīng)用到信號(hào)處理中的各個(gè)領(lǐng)域,四階累積量因其具有優(yōu)良的特性,比如其獨(dú)特的陣列擴(kuò)展性,能在較少的陣元數(shù)情況下估計(jì)出更多的目標(biāo)信號(hào)源數(shù),能夠?qū)崿F(xiàn)欠定情況下信號(hào)波達(dá)方向角估計(jì),即是在較少的陣元情況下估計(jì)出相對(duì)較多的信號(hào)來波方向。在工程應(yīng)用上其硬件平臺(tái)實(shí)現(xiàn)可較為簡化,更符合水下復(fù)雜的環(huán)境應(yīng)用。

1 任意空間陣列數(shù)學(xué)模型

聲學(xué)定向技術(shù)的發(fā)展速度非常快, 其應(yīng)用也越來越廣泛[10]。陣列信號(hào)處理中由N個(gè)聲傳感器陣元組成的陣列,可以得到N-1個(gè)獨(dú)立的時(shí)延,而要確定整個(gè)空間內(nèi)聲信號(hào)的空間方向至少需要4個(gè)空間陣元。

當(dāng)目標(biāo)信號(hào)源為窄帶信號(hào)且距離陣列足夠遠(yuǎn)時(shí),即信源位于陣列的遠(yuǎn)場范圍時(shí),可假設(shè)陣列接收的波形為平面波。遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)的包絡(luò)變化緩慢,可以不考慮陣元接收信號(hào)的幅度差異,僅考慮相位差。設(shè)空間任意位置的n個(gè)信源Ti(i=1,2,…,n)和m個(gè)傳感器Pj(j=1,2,…,m)組成空間任意陣列模型,其中n＜m。如圖1所示,T1、T2…Ti表示空間內(nèi)信源;P1、P2、PM表示空間中的陣元。以參考陣元P1為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,不妨設(shè)傳感器pj的位置坐標(biāo)為(xj,yj,zj),信源Ti波達(dá)方向的方位角(在XOY平面的投影與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線與X軸正方向的夾角)為φi,俯仰角(與Z軸的夾角)為θi。

圖1 空間陣列數(shù)學(xué)模型Fig.1 Mathematical model of space array

對(duì)應(yīng)的傳感器位置矢量為pj=[xj,yj,zj](j=1,2,…,m),信源Ti的單位方向矢量為

第j個(gè)傳感器接收到來自第i個(gè)信號(hào)源的信號(hào)為

式中:τij為相對(duì)于參考陣元S1接收信號(hào)的時(shí)延;Pi1(t)為參考陣元P1接收到來自第i個(gè)信號(hào)源的信號(hào)。由圖1的幾何關(guān)系可知:

式中c為信源波速。設(shè)第j個(gè)傳感器接收到的環(huán)境噪聲為nj(t),則第j個(gè)傳感器接收到的信號(hào)為

若定義:

則式(4)可表示為矢量形式:

式中:A為信源的方位流型矩陣;a(θi,φi)為信源的方向矢量。式(6)即為空間中任意陣列對(duì)多個(gè)信源相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

2 四階累積量算法

常用的高階累積量有三階累積量和四階累積量。但三階累積量很小且不具有對(duì)稱性,對(duì)于對(duì)稱分布的隨機(jī)過程其三階累積量為0,所以陣列信號(hào)處理領(lǐng)域常采用四階累積量。四階累積量在陣列信號(hào)處理領(lǐng)域具有不可替代的優(yōu)良特性[11-12]。

零均值的復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)序列{x(n),n=±1,±2,±∞}的四階累積量定義為

當(dāng)x(n)對(duì)稱分布時(shí),可知式(7)中的第3項(xiàng)的值為0。

設(shè)M個(gè)隨機(jī)序列xk(n),k=1,2…,M;n=±1,±2,±∞均為零均值復(fù)隨機(jī)序列,則M維復(fù)向量序列x(n)=[x1(n),x2(n),…,xM(n)]T的四階累積量定義為

式中k1,k2,k3,k4∈{1,2,…,M}。

令τ1=τ2=τ3=0,則有:

3 四階累積量的陣列擴(kuò)展性

正定又叫超定,是指待估計(jì)信號(hào)源數(shù)小于陣元數(shù)。欠定就是陣元數(shù)小于信號(hào)源數(shù)。一般情況下當(dāng)信號(hào)源數(shù)大于陣元數(shù)時(shí),會(huì)嚴(yán)重影響DOA估計(jì)性能。在欠定情況下,估計(jì)目標(biāo)方位一般從2方面著手:1)所使用的算法性能;2)陣列形狀。由于本文研究的是任意陣列形狀,所以著重分析四階累積量算法性能。四階累積量對(duì)陣列的擴(kuò)展是基于四階累積量的陣列信號(hào)處理算法的一個(gè)重要特點(diǎn)。設(shè)空間N個(gè)獨(dú)立非高斯遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)入射到M個(gè)全向陣元組成的陣列上,空間信號(hào)相互獨(dú)立,信號(hào)與噪聲也統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,噪聲服從高斯分布。由式(6)知陣列輸出信號(hào)寫成向量形式為

式中:X(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]為陣列輸出向量;S(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]為空間信號(hào)向量;N(t)=[n1(t),n2(t),…,nm(t)]為噪聲向量;A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θm,φm)]為空間導(dǎo)引向量;sm(t)為第m個(gè)空間信號(hào);xm(t)和nm(t)為第m個(gè)陣列輸出及噪聲。

定義陣列接收數(shù)據(jù)的四階累積量:

式中k1,k2,k3,k4∈(1,M)。隨著k1、k2、k3、k4的變化,我們將得到M4個(gè)元素為了便于操作,可以將這M4個(gè)元素放入如下一個(gè)M2×M2的矩陣R4中:

可以證明,當(dāng)信號(hào)相互獨(dú)立時(shí),對(duì)于式(12)定義的四階累積量,可以得到:

式中?表示konecker積,又叫直積或張量積。向量a∈Cn,向量b∈Cm。則:

式(14)說明,對(duì)于原真實(shí)陣元所對(duì)應(yīng)的陣列導(dǎo)向矢量,陣列擴(kuò)展后的陣列導(dǎo)向矢量為

圖2 空間陣元位置Fig.2 Location of space arrays

假設(shè)空間存在3個(gè)真實(shí)陣元,以原點(diǎn)處的陣元為參考點(diǎn),如圖2所示。由陣列信號(hào)的數(shù)學(xué)模型可知,如果參考陣元接收空間某一個(gè)靜態(tài)信號(hào)的數(shù)據(jù)為

則有:

式中:u為信號(hào)傳播矢量;px為x陣元與參考陣元的位置矢量;py為y陣元與參考陣元的位置矢量。針對(duì)圖2所假設(shè)的空間陣列,式(13)所描述的陣列擴(kuò)展后的陣列導(dǎo)向矢量可寫成:

圖3 陣列擴(kuò)展特性Fig.3 Features of array extension

從式(19)可以清楚地看出式中的第4、6、7、8項(xiàng)中的陣元是擴(kuò)展出來的(即為虛擬陣元),而其它5項(xiàng)對(duì)應(yīng)的陣元與真實(shí)陣元的位置重合,且擴(kuò)展出來的位置如圖3所示。圖中●表示真實(shí)陣元,〇表示虛擬陣元。從圖3中可以清楚地看出圖2中的3個(gè)實(shí)際陣元采用四階累積量后得到的擴(kuò)展陣列共有7個(gè)陣元,其中4個(gè)陣元為虛擬陣元。需要說明的是,上述的分析都是基于式(10)定義的四階累積量矩陣推導(dǎo)出來的。得出四階累積量可以從2個(gè)方面實(shí)現(xiàn)陣列擴(kuò)展:1)展寬陣列的有效孔徑,使得測(cè)向性能得到提高;2)增加有效的陣元數(shù)目,這是突破傳統(tǒng)信號(hào)處理算法對(duì)入射信號(hào)數(shù)限制的根本。如果采用不同的方法構(gòu)造四階累積量矩陣,將會(huì)得到不同的分析結(jié)果。

4 基于四階累積量的MUSIC算法

由四階累積量的定義及信號(hào)數(shù)據(jù)模型可知,當(dāng)采用如下累積量定義:

且構(gòu)成矩陣的第(k1-1)M+k3行及第(k2-1)M+k4列的值為C4x(k1,k2,k3,k4)時(shí),有:

且

假設(shè)空間中有N個(gè)獨(dú)立的信號(hào)源,那么陣列接收到的數(shù)據(jù)矢量X的秩為N,那么X?X?和X?X的秩為N2。

如式(20)所示,可以直接將MUSIC方法推廣到四階累積量的陣列信號(hào)處理。如果信號(hào)源之間互相獨(dú)立,即可以對(duì)組成的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解,從而獲得大特征值對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間和小特征值的噪聲子空間。利用2個(gè)子空間的正交性,得到基于四階累積量的MUSIC功率譜函數(shù)

由以上的描述過程我們不難看出,基于四階累積量的MUSIC方法與傳統(tǒng)的MUSIC方法相比較,有下列優(yōu)越性:1)能夠完全抑制高斯噪聲;2)基于累積量進(jìn)行處理,陣列孔徑擴(kuò)大了一倍,提高了角度估計(jì)的分辨率和精度,增加了能估計(jì)信源的個(gè)數(shù),在陣元數(shù)目一定的情況下能估計(jì)較多的目標(biāo)信號(hào)源。在一定應(yīng)用場景中,尤其是水下目標(biāo)估計(jì)工程中,各種復(fù)雜的環(huán)境因素要求陣元數(shù)目一定。該算法有較好的工程應(yīng)用前景。

5 實(shí)驗(yàn)仿真

針對(duì)陣列信號(hào)的四階累積量所具有的陣列擴(kuò)展特性,基于四階累積量方位估計(jì)方法,可估計(jì)多于二階統(tǒng)計(jì)量估計(jì)方法的信號(hào)源數(shù)。采用如圖4所示的空間四元坐標(biāo)軸陣,針對(duì)基于二階統(tǒng)計(jì)量估計(jì)方法無法估計(jì)的4個(gè)獨(dú)立的空間信號(hào)源進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),信源方向分別為(30°,150°)、(30°,-150°)、(120°,150°)、(120°,-150°)。實(shí)驗(yàn)中快拍數(shù)為512,信噪比為15 dB。采用四階累積量MUSIC方位估計(jì)方法,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5 所示。

圖4 空間四元陣列結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure of spatial quaternary array

圖5 基于四階累積量的空間譜圖Fig.5 Spatial spectrum based on fourth-order cumulant

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,傳統(tǒng)方法存在對(duì)信源數(shù)不能大于陣元數(shù)的條件限制。基于四階累積量的MUSIC欠自由度方位估計(jì)方法適用于空間任意結(jié)構(gòu)陣列,且能實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)量大于等于陣元數(shù)的空間任意方向目標(biāo)的方位估計(jì),驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

6 結(jié)束語

本文介紹了一種任意陣元數(shù)的空間陣列數(shù)學(xué)模型,基于四階累積量的MUSIC算法,分析了四階累積量算法在陣列信號(hào)處理領(lǐng)域中的優(yōu)良特性。把四階累積量應(yīng)用于陣列信號(hào)處理中,能夠?qū)崿F(xiàn)陣列擴(kuò)展,且增加了虛擬陣元,擴(kuò)展了陣列孔徑,從而使得較之于基于協(xié)方差的算法能分辨的空間信源數(shù)目更多,測(cè)向性能得到提高,彌補(bǔ)了傳統(tǒng)算法能分辨的信號(hào)源數(shù)目不能多于陣元數(shù)、對(duì)硬件復(fù)雜度和性能要求較高的缺點(diǎn)。任意陣列模型具有較高的靈活性,適用于水下任意環(huán)境的目標(biāo)探測(cè),能夠很靈活地利用較少的陣元數(shù)去估計(jì)更多的目標(biāo)信號(hào)源,使硬件結(jié)構(gòu)得到簡化,節(jié)約能源,在工程應(yīng)用中具有很高的應(yīng)用價(jià)值。通過對(duì)基于四階累積量的MUSIC估計(jì)算法進(jìn)行數(shù)值仿真,驗(yàn)證了該算法的可行性。