數學和物理的界限在哪里？

呂楠

“阿基米德，職業：科學家、數學家、物理學家”;

“笛卡爾，職業：哲學家、物理學家、數學家”;

“艾薩克·牛頓，職業：物理學家、數學家”;

“斯蒂芬·威廉·霍金，職業：物理學家、宇宙學家、數學家”。

這是百科對幾位偉大科學家的職業描述。從中我們不難發現，物理跟數學總是同時出現，許多物理學家同時也是數學家，而許多數學家也是物理學家。你可千萬不要問“物理和數學，哪個更重要？”這種問題，否則你將引起物理系和數學系的世紀大戰。但你可以這么問：“數學和物理的界限在哪里？”

預測和證實預測

做一件很簡單的事情：扔一個球。如果你知道它扔出的位置和速度等，你就可以用物理得到它落地的具體位置。但是，如果你只是寫出球扔出去后的運動軌跡的數學公式，并解出這個公式，你會得到兩個答案：一個正數和一個負數，它們都對應著球落地的具體位置，但方向相反。又比如，當我問你“4的平方根是多少？”的時候，你可能會下意識地認為答案是2，但答案也可能是-2。

這可能就是數學和物理的最大區別：數學具有很大的不確定性，它只預測可能的解是什么，而物理是幫助你得到具體的解。所以數學是幫助解決物理問題的工具，特別是當你進入廣義相對論或者量子理論，甚至是更遙遠的宇宙暴脹理論、額外維度和弦理論的世界時，會發現它們都有描述它們本身的數學模型。

從另外一方面說，物理是用來描述現實宇宙的，所以如果你拿不出任何在物理上可觀測的、符合這些數學模型的量，這些數學模型將永遠是理論模型，它們是無法用于描述現實宇宙的。舉個例子，弦理論雖然可能是解決萬物之謎的一套理論，但它始終沒有得到相關的實驗預測，即一些符合弦理論的現實觀測量，而且就連愛因斯坦都無法證明它，所以它目前一直被牢牢地置于理論物理的領域中，無法稱之為定論。

相反地，一些可以得到現實觀測量的理論也許可以成為定論。比如，暴脹理論是美國宇宙學家阿蘭·古斯在1981年提出的一個描述宇宙的理論。此理論指出，早期宇宙在10-36秒～10-32秒這段時間里，以指數倍的形式發生膨脹，宇宙膨脹速度在暴脹結束后變慢。在暴脹理論中，有各種各樣的數學預測，其中一個就是量子漲落。

在暴脹過程中，量子漲落（一個點的能量的暫時變化即能量波動）也會發生“暴脹”。暴脹前的宇宙就像一個沒有充氣的氣球，量子漲落則是氣球表面的一個非常小的點。當宇宙發生暴脹，氣球充氣，暴脹就像一個放大鏡，放大了氣球上的點即量子漲落。結合暴脹理論，被放大的量子漲落最終引起了宇宙微波背景輻射的微小溫度波動。

宇宙微波背景被認為是宇宙大爆炸遺留下來的輻射，或者說是大爆炸遺留下來的熱量。最初，宇宙溫度極高，隨著宇宙的膨脹才逐漸降低，目前觀測的宇宙溫度只比絕對零度高出了2.725攝氏度左右。宇宙微波背景的溫度在整個宇宙幾乎是均勻的，用非常精密的探測器才能觀測到微小的波動，這些波動可能由量子漲落引起。

許多年后，在宇宙背景探測器（COBE）、威爾金森微波各向異性探測器（WMAP）和普朗克衛星（Planck）等儀器的物理觀測結果幫助下，才間接驗證了1981年的這一偉大預測，因此暴脹理論用于描述現實宇宙的可能性要比弦理論大很多。

簡單來說，任何用來描述預測或描述可能性的數學模型，往往需要聯系物理的客觀可觀測量才能被證實或用于描述現實。

用數學推導物理

守恒定律可能是你能想到的最基礎的定律了，比如能量守恒定律、動量守恒定律和角動量守恒定律。然而你錯了，這些守恒定律是一個數學定理的推導結果，它就是諾特定理，同時它也是理論物理的中心理論之一，這樣數學和物理又有了一層復雜關系。諾特定理告訴我們：每一個連續對稱，都對應一個守恒量。

這是什么意思？好吧，如果沒有一些具體解釋的話，可能很多人都看不懂。那么，現在就來解釋一下吧。

首先，對稱是什么？簡單來說，如果你對某個物體進行一些操作，在這些操作之后，它看上去和之前一樣，那么這個物體就是對稱的。想象一下，在臉的中間放置一面鏡子，鏡子里的臉和你的臉應該是對稱的;一些撲克牌在旋轉180度后，和原來的撲克牌也是對稱的。但這些都是離散對稱，它們只沿單一的軸或在特殊旋轉角度下對稱，如果把撲克牌旋轉90度，和原來的撲克牌就不是對稱的了。而諾特定理中，講的是連續對稱——在任一軸和任一旋轉角度下都是對稱的，比如一個完美的球體無論旋轉多少度，和原來的球體永遠對稱。

我們以動量守恒定律來舉例。動量守恒定律是在空間平移對稱性的基礎上推導出來的——根據諾特定理，因為空間平移對稱，所以必定有一個守恒量，而這個守恒量就是動量。空間平移對稱性指的是物理規律并不依賴于空間坐標原點的選擇，將空間平移后物理規律不會改變。形象地說，如果學校里有兩個實驗室，一個在北邊，一個在南邊，而你在兩個實驗室做同個實驗，你得到的結果必然是一樣的。最簡單的動量守恒實驗莫過于在不同的實驗室里，讓兩個不同質量的小球以不同的速度相撞。通過精確的計算，你會發現碰撞前后，兩個小球質量和速度的乘積之和是不變的，而質量和速度的乘積就是動量——這就是動量守恒定律。

數學是解決物理的工具

數學在物理中是有用的，這并不奇怪。當我們需要測量和計算物理公式時，數學是必不可少的工具。

這里有一個關于廣義相對論的有趣故事。1912年，當時的愛因斯坦正醞釀著一個顛覆性的理論——廣義相對論，此理論斷言，大質量的物體會扭曲時空。但愛因斯坦在如何表述它上遇到了難題。這時，愛因斯坦發現，由數學家伯恩哈德·黎曼提出的曲率幾何概念正是他需要的。黎曼幾何賦予了愛因斯坦一個強大的數學基礎，使他構建出了廣義相對論的準確等式。

這個故事一定很讓數學家們感到驕傲。在這個故事里，數學就像是物理的燈塔和引路人，在困難的時候給物理帶去了光明與方向。但從中我們也可以看到，數學更像是解決物理的工具，學習這些工具會讓解決物理問題變得更加容易。Sin30?你知道吧？它其實也是一個數學工具，當你在計算物理問題時，你總得先計算它，才能得到其他相關的具體量。

因此，數學就像釘子、木板、錘子和鋸子，物理就像一棟房子，為了得到這棟房子，除了將所有材料組合在一起之外，還需要釘子、木板、錘子和鋸子等工具來固定它，即數學是物理的工具。

那么你知道數學和物理的界限在哪里了嗎？如果你能準確地描述宇宙，并能對它進行客觀的測量和觀察，你就是物理學。如果你的方程不能和任何的觀測結果聯系起來，那么你將牢牢地置身于數學領域;數學可以描述物理，也可以推導物理，解決物理問題……

關于如何界定數學和物理，你有什么想法呢？