從香農公式再看直擴通信與通信干擾之間的博弈*

石 榮，杜 宇

（電子信息控制重點實驗室，四川 成都 610036）

0 引 言

通信干擾是通信對抗中電子攻擊的重要手段，其主要目的是要降低通信雙方信息傳輸的有效性，甚至完全阻止通信傳輸的發生；而通信抗干擾傳輸是通信對抗中電子防御的主要手段，即采取一切必要措施與途徑來提升信息傳輸的有效性，降低通信干擾所帶來的影響[1-2]。由此可見：通信干擾與通信抗干擾傳輸是矛盾對立的兩個方面，相互之間的博弈與對抗是長期存在的，這一點在直接序列擴頻抗干擾傳輸與對直擴通信實施干擾的應用中表現得尤為突出[2]。直接序列擴頻通信至誕生以來一直是軍事通信抗干擾的主要技術手段[3-5]，從早期的周期性短碼擴頻，發展到周期性長碼擴頻，現在具有無限不循環長碼擴頻的直擴通信也開始逐漸應用[6-7]。在對直擴通信進行干擾的研究中各種干擾樣式近年來也被各類公開文獻所提出，并進行了廣泛的研究與探討，在偵察干擾方面形成了一系列針對周期性擴頻短碼與周期性擴頻長碼的研究結果，極大地提升了干擾攻擊的有效性[8-9]。

但是在上述研究過程中對無限不循環長碼擴頻信號的干擾與抗干擾的研究結果很少，而無限不循環長碼擴頻正是未來直擴通信的重點發展方向。針對這一問題，在對經典的香農公式及其物理意義簡要回顧之后，針對直接序列擴頻通信所具有的類噪聲傳輸特性，通過在香農公式中擴展引入干擾信號分量，從而定量描述了在通信干擾條件下直擴通信鏈路的信道容量，展現了通信干擾實施方與通信抗干擾傳輸方在信道容量控制爭奪中的博弈過程。在此基礎上分析了無限不循環長碼直擴通信通過降低信息傳輸速率，提升擴頻處理增益，從而在理論上可實現直擴鏈路信息傳輸永不斷鏈的應用潛力。另一方面，這也催生了未來通信干擾與抗干擾的新型應用模式：即在干擾中通信與在通信中干擾，這也為二者之間的博弈關系的演繹提供了新的詮釋，從而為該技術方向上通信對抗中攻擊與防御關系的研究提供了新的參考，詳細闡述如下。

1 香農公式與信道容量

1948年美國貝爾實驗室的香農教授發表了《通信的數學原理》的學術論文，提出了著名的香農定理：在帶寬為B（單位：Hz）的信道上噪聲功率為N（單位：W），信號的功率為S（單位：W），那么該信道能夠傳輸的最大信息速率C（單位：bps）在理論上如下式所表達，同時C也被稱為該信道的信道容量。

式（1）又被稱為香農公式，其中N0為單位帶寬內的噪聲功率，單位：W/Hz或J（焦耳）。在這篇經典論文中香農指出：如果在一個信道上傳輸信息，只要實際的信息傳輸速率Creal不超過C，那么總可以找到一種方法來獲得無差錯的準確傳輸。

在實際應用中傳輸信道的單位帶寬內噪聲功率N0通常保持恒定，N0又被稱之為噪聲功率譜密度。如果在信號功率S保持一定的條件下，信道容量C與傳輸帶寬B之間的關系曲線如圖1所示，圖中以S/N0=20 000為例進行曲線繪制。

圖1 信道容量與傳輸帶寬之間的關系曲線

由式（1）可推導出在B→∞時信息傳輸的香農極限：

由式（2）可知：信道傳輸容量C存在一個上限，這一點從圖1的信道容量與信道帶寬之間的關系曲線也得到了驗證。圖1中實線是式（1）所示的曲線，虛線是實線對應的漸進線，由式（2）計算，其數值為20000/ln 2≈28.854 kbps。由此可見，在信號功率與單位帶寬內的噪聲功率之比保持一定的情況下，通過擴展帶寬的方式不能無限制地提升信道容量，信息傳輸速率的上限會受到香農極限的限制。

4.律師調解達成調解協議的司法確認案件總量少。截至2018年6月底，全市律師調解案件申請司法確認的為90件，只占律師調解成功案件數872件的10.32%。

香農公式之所以長期以來如此引人注目就在于香農自己開了一個很好的頭，指出總之存在一種方法與技術途徑可以逼近這一上限，但是至于是哪種方法，香農自己也沒有完全研究清楚。也正是于此，在香農的指引下，在該方向上吸引了大批的后來者在尋找可能的技術方法途徑的道路上前仆后繼、奮勇前行，當然也獲得了很多的研究成果，在此不再展開贅述了。

2 通信干擾對信道容量的影響

如前所述，雖然香農公式描述了在信道中存在噪聲條件下的信道容量，但是干擾信號與噪聲信號具有不同的特性，在信道中存在干擾條件下是否可以沿用香農教授的模型，需要針對具體問題進行具體分析。對于直接序列擴頻通信信號，特別是無限不循環長碼直擴信號來講，在擴頻處理過程中本身就具有類噪聲的特性，其擴頻序列也被稱為偽隨機序列；另一方面，直擴信號在自身解擴過程中對信道中干擾信號的作用又相當于一個擴頻處理過程。鑒于直擴信號的上述特有性質，在本文中我們以無限不循環長碼直擴信號為研究對象，將信道中的干擾近似看成是一種特殊的信道噪聲，沿用香農教授的數學模型，那么在有干擾條件下的信道容量CJam可近似表示為：

其中，Ja表示該信道中干擾信號的平均功率，單位W，Ja,0=Ja/B表示單位帶寬內的平均干擾功率，單位：W/Hz或J（焦耳）。式（3）可以看作是針對無限不循環長碼直接序列擴頻信號的擴展香農信道容量公式，下面就以此為基礎，分別討論在信道帶寬不受限與受限條件下的信道容量。

2.1 在信道帶寬不受限條件下的信道容量

由式（3）可知，在單位帶寬內噪聲功率N0、信號功率S和干擾信號功率Ja保持一定的條件下，信道容量CJam與傳輸帶寬B之間的關系曲線如圖2所示，圖中以S/N0=20 000，S/Ja=0.1為例繪制曲線。圖2中實線是式（3）所示的曲線，虛線是實線對應的漸進線，數值同樣為20000/ln 2≈28.854 kbit/s，為了進行對比，將式（1）所示的無干擾條件下的信道容量曲線也繪制于圖2中用點劃線表示。

圖2 干擾條件下信道容量與傳輸帶寬之間的關系曲線

由圖2可見：在信道帶寬不受限的條件下由式（3）可推導出在B→∞時信息傳輸的香農極限：

對比式（2）與式（4），并結合圖2可知：干擾與噪聲對信道容量的影響是完全不同的，由于接收機中的噪聲是普遍存在的，且噪聲功率譜密度N0保持恒定，隨著接收帶寬的擴展，進入接收機中的噪聲總功率也是線性增加的，從而使得信道傳輸容量存在一個上限。但是對于一個特定的干擾信號而言，其干擾信號總功率是保持固定的，隨著接收帶寬的擴展，干擾信號的功率譜密度Ja,0是隨之遞減的。由式（3）可知，當干擾功率譜密度遞減到噪聲功率譜密度N0之下時，其對信道容量的影響也會被噪聲的影響所掩蓋，所以當帶寬B擴展至較大時，干擾的影響會變得很微弱。這也是直接序列擴頻通信中不斷追求更寬帶的擴頻處理的重要原因所在，從理論上講，如果無限制地擴展擴頻帶寬，那么干擾信號的作用會被無限制地消減下去。

在實際應用中30 GHz以下的微波射頻頻段可利用的頻譜資源十分有限，工程上無法實現傳輸帶寬如理論所述的大幅度擴展，但在100 GHz至100 THz的太赫茲頻段，傳輸帶寬的大幅度擴展是完全可能的，現在擴頻帶寬超過10 GHz的直接序列擴頻通信已經實現。由此可見，擴展之后的香農公式在理論上指出了在太赫茲頻段的信息傳輸的有效抗干擾手段即是超寬帶的擴頻傳輸。

2.2 在信道帶寬受限條件下的信道容量

如果將干信比Ja/S看成一個整體，當信號功率S保持定值時，隨著Ja的逐漸增大，(Ja/S)-1將逐漸趨近于零，于是有式（6）成立：

將式（5）與式（6）所示的曲線分別繪制成實線與虛線于圖3中，圖中取B=1 MHz為例進行曲線繪制，為了更加清晰地表示，圖3中橫縱坐標均采用對數刻度。

圖3 信道容量與Ja/S之間的關系曲線

由圖3與式（6）可知，在確定的信道帶寬B條件下，隨著干擾功率Ja的逐漸增加，信道容量CJam與干信比Ja/S成反比例關系減小。這也就意味著：從理論上講，對一條直擴通信鏈路實施干擾，可以使該鏈路的傳輸速率盡可能地降低，但并不是這條鏈路上一點信息也傳輸不了，即無論干信比如何大，在遭受干擾的通信信道上總是可以進行信息傳輸，且傳輸速率的上限由式（6）所描述。

上述理論分析結果給出了一個結論：即采用無限不循環長碼直接序列擴頻手段，無論干擾信號如何大，通信方始終能夠進行信息的傳輸，實現永不斷鏈，只是傳輸速率下降而已。關于這一點，接下來我們還要繼續討論。

3 通過降速傳輸實現永不斷鏈

如前所述，在現今的微波射頻頻段的通信傳輸應用中，傳輸帶寬受到各種工程應用條件與自然傳輸條件的限制，不可能大幅度地擴展，例如：短波通信手段的傳輸頻段范圍就限制在3～30 MHz范圍內，衛星通信的傳輸頻段寬度同樣也受限于衛星平臺上搭載的轉發器的帶寬等。由前一節的理論分析可知：在信道帶寬受限條件下，雖然信道容量與干信比成反比，但始終不會等于零。這從理論上意味著總可以找到一種方法來實現通信鏈路的持續信息傳輸，也就是所說的永不斷鏈。這一點與我們當前的工程實際情況有一些差異。

當前在工程實際應用中從短波通信到超短波通信，從移動通信到散射通信，從數據鏈傳輸到衛星傳輸，上述各種各樣的通信鏈路都會遭受不同程度的干擾。在干信比較小時，數字通信鏈路首先表現出來的就是產生不同等級的誤碼，例如誤碼率從10-5到10-1變化。隨著干信比的逐漸增大，通信鏈路便會產生位同步、載波同步等同步失鎖，造成鏈路傳輸完全中斷。通信鏈路的完全中斷意味著沒有任何一點信息能夠從通信發送端準確地傳送到通信接收端，哪怕1比特的信息都沒有，即通信傳輸的流量為零。這對于很多應用，特別是軍事通信應用來講是非常致命的。在現代軍事戰場上一條簡短的指令信息也許僅僅只有幾十個比特，但是在通信鏈路完全中斷的情況下，這幾十個比特的信息就始終無法傳送到預定的接收處，這對于戰場指揮控制來講簡直就是致命的，甚至可能導致整個戰役的失敗。

由上可見，對一條通信鏈路實施干擾，隨著干擾功率的加大，鏈路從產生誤碼到鏈路中斷的狀態變化并不平滑，其中有狀態突跳的發生。這一現象與前述擴展香農公式給出的理論結果存在差異。產生這一差異的主要原因在于：工程應用中的通信收發信機的設計幾乎都是按照幾個恒定傳輸速率來進行設計的，一旦遭受干擾，當給定信道上的信道容量小于通信收發信機中所設計的幾個傳輸速率時，那么在理論上就已經無法確保準確的傳輸；而此時，通信收發信機的硬件設計是固定的，無法改變預先設計的傳輸速率，造成這一速率的信息傳輸無法維持而中斷，斷鏈之后一點信息也傳輸不了。

如要改變上述情況，就需要在工程實現上采用自適應降速傳輸的通信收發信機的設計，即根據式（5）或式（6）所給出的在干擾條件下的信道容量，自適應地降低通信傳輸速率，從而使得無論有多么強的干擾，通信鏈路將永不斷鏈，持續傳輸，降低的僅僅是傳輸速率而已。實際上在當前技術階段，采用無限不循環長碼擴頻的恒定擴頻碼速率的直接序列擴頻技術就能在一定程度上達到上述目的。設信道傳輸帶寬為1.2 MHz，直接序列擴頻信號采用滾降系數為0.2的平方根升余弦成型濾波，擴頻碼速率為1 Mcps的BPSK調制，信息碼速率設計成可以根據外界干擾信號的功率而靈活可調的模式。舉例如下：

如果在1.2 MHz的信道帶寬內的干信比Ja/S=20 dB，由式（6）計算出的信道容量CJam≈17.312 kbit/s，此時設計數據速率為0.5 kbit/s，擴頻處理增益33 dB，這樣即可確保鏈路以0.5 kbit/s的速率維持通信，而不會斷鏈。

如果干信比Ja/S=40 dB，由式（6）計算出的信道容量CJam≈173.12 bit/s，此時設計數據速率為5 bit/s，擴頻處理增益53dB，這樣即可確保鏈路以5 bit/s的速率維持通信，也不會斷鏈。

當干擾功率進一步升高，干信比Ja/S=60 dB，由式（6）計算出的信道容量CJam≈1.7312 bit/s，此時設計數據速率為0.05 bit/s，擴頻處理增益73 dB，這樣即可確保鏈路以0.05 bit/s的速率維持通信，仍然不會斷鏈。雖然0.05 bit/s的速率意味著20 s的時間內才能傳輸1 bit的信息，即便是這樣的速率，在戰場指揮的關鍵時刻，仍然是能夠傳輸關鍵的指揮控制指令的，這樣的速率總比任何信息也傳輸不了要強了許多。

上述示例也揭示出：在未來的通信收發信機的設計上，通過軟件加載重構方式設計出降速率傳輸模式，即可在現代信息化戰爭中實現通信鏈路永不斷鏈的降速傳輸新應用。當然在通信收發信機的硬件設計上也需要全面考慮信號接收的巨大動態范圍，確保接收機不飽和，在強干擾信號條件下能夠使強信號與弱信號都得以接收，從而為后續通過軟件上的數字信號處理提取出微弱信號提供條件。這樣一來，將改變傳統的通信對抗博弈的觀念，在未來的直擴通信干擾中，通過干擾只能降低一條直擴通信鏈路的信息傳輸速率，但是不會造成該條直擴通信鏈路的完全中斷。

4 在干擾中通信與在通信中干擾

隨著電磁空間中用頻設備的激增，有限的電磁頻譜資源必將成為各方爭奪的焦點。前面通過擴展香農公式的分析展示了直擴通信方與通信干擾方之間對信道容量控制的博弈過程，而其中調控因素之一就是雙方的信號功率。在未來的電磁空間作戰中追求的目標之一就是：確保我方的行動自由，而限制敵方的行動自由；就通信而言，就是在有限的電磁頻譜中確保我方能夠傳輸信息，而限制對方的信息傳輸，成為雙方關注的焦點。但是在雙方電子設備的發射功率都有限的條件下，用多少功率去自己通信？而用多少功率去干擾對方的通信？這成為雙方對抗博弈的關注點[10]。其中一個全新的思路就是在我方進行通信的同時，實現對敵方通信的干擾，即在確保我方信道容量的同時，盡可能地降低敵方的信道容量。

由前述分析可知：決定信道容量的關鍵因素是帶寬和帶寬內的干信比。在帶寬保持一定的條件下，干信比越大，通信信道的容量越小。如果對抗雙方（分別記為A與D）都在同一個帶寬為B的通信信道進行信息傳輸與干擾攻擊，雙方的信號功率分別為SA和SD，且二者遠大于信道內的噪聲功率N，于是雙方在該信道上的信道容量CA和CD分別為：

對比式（7）與式（5）可知：對于通信方A來講，通信方D的信號是干擾信號；對于通信方D來講，通信方A的信號是干擾信號。通信方A既在該信道上進行通信傳輸，同時對通信方D也實施了干擾；反過來，通信方D既在該信道上進行通信傳輸，同時也對通信方A實施了干擾，這在通信方A與D都采用無限不循環長碼的直接序列擴頻通信信號的情況下是完全可實現的。這實際上也反映了在干擾中進行的通信，以及在通信中實施干擾的一種技術途徑，即發揮了一舉兩得和一石二鳥的作用。在不同的雙方信號功率比條件下，對抗雙方的信道容量CA和CD如圖4所示，圖中CA用虛線表示，CD用實線表示，圖中以B=1 MHz為例進行曲線繪制，橫坐標為兩個信號之間的功率比SA/SD，為了顯示方便，橫縱坐標均采用對數刻度。

圖4 對抗雙方信道容量與功率比之間的關系曲線

由圖4和式（7）可知：當對抗雙方的信號功率相等時，雙方的信道傳輸容量相等CA=CD，且在數值上均等于信道帶寬B。隨著功率比差異的增大，大功率一方的傳輸容量將隨功率比成對數形式增大，而小功率一方的傳輸容量將隨功率比成比例下降，在此情況下，大功率的一方在通信傳輸的同時，也實現了對小功率一方的壓制干擾。由此可見：圖4和式（7）反映了對抗雙方之間在信道容量上的控制爭奪的博弈過程。

式（7）僅僅對兩方對抗的情形進行了建模描述，如果在同一個信道帶寬內存在多個對抗方Ai時，i=1,2,…,M，M為該信道上的使用方的總數，記帶寬內各方的信號功率分別為Si，且這些功率均遠大于信道內的噪聲功率N，那么對于任何一方Ai來講，其信道傳輸容量Ci近似由下式所表達：

式（8）揭示在多方博弈條件下，各方要實現在通信中干擾，以及在干擾中通信的信息傳輸速率的上限，以及各方電子設備功率的控制關系。除了前面所舉的各方都采用無限不循環長碼的直接序列擴頻信號之外，還可以設計其它的信號形式來達到在通信中干擾與在干擾中通信的目的。這實際上也引出了一個全新的方向，即通信與干擾一體化波形設計，這也是值得我們后續繼續深入開展研究的內容。

5 結 語

由擴展的香農公式可知：從理論上講，一條通信鏈路是不能完全阻斷的，只能盡可能地使其信道傳輸容量無限減小，但該通信鏈路仍然能夠實現極低速率的信息傳輸。通過采用無限不循環長碼直接序列擴頻通信可以在實際工程應用中逐漸接近這一理論目標，即通過降低信息傳輸速率實現永不斷鏈的通信。實際上這也展現了通信抗干擾傳輸方與通信干擾實施方在信道容量控制爭奪中的博弈過程，同時也引發了在干擾中通信與在通信中干擾的新型應用模式，牽引出了通信與干擾一體化波形設計的新的研究方向。本文對上述問題進行了詳細的分析與探討，所提出的部分觀點與研究結果也為通信對抗中攻擊與防御新型關系的建立提供了參考。