在數學解題教學中培養學生的審美能力

宮明

[摘? 要] 在數學解題教學中，教師有意識地培養學生的審美能力，不僅能極大地激發學生學習數學的興趣，提高課堂效率，還有助于提高學生的解題能力，發揮數學美在中學數學解題教學中的導向功能.

[關鍵詞] 中學數學;解題教學;數學美;教學實例

數學是思維的體操，是創造性的藝術. 數學的美學因素不僅體現于外在表現，還蘊含于其內在的原理之中. 在數學解題教學中滲透審美教育，不僅能激發學生的學習興趣，還能培養學生的創造能力.

品味解題過程中的數學美

法國雕塑家羅丹說過：“美是到處都有的，對于我們的眼睛，不是缺少美，而是缺少發現. ”從數學研究的意義上來說，數學正是各種幾何圖形、各種不同數據的完美結合，它們相映成趣，構造出了美好的數學世界. 在數學解題教學中，我們可以通過隨處可見的例子，把美的享受傳遞給學生，使他們在欣賞美的同時，感受到數學研究的無限魅力.

案例1圖1所示的圖形是由若干個點組成的. 假如三角形每條邊（包括兩個端點）有n（n>1）個點，則每個圖形總的點數s是多少？當n=5，7，11時，s分別是多少？

這道題從圖形上給人以美的感覺，能激發學生的探究興趣. 在教學過程中，教師可以引導學生仔細觀察圖形的結構特點，通過直覺感受總點數s與n的變化關系，于是心算出當n=5，7，11時，s的值.

案例2用運算符號“+”“-”“×”“÷”以及括號，把四個4連成一個算式，使這個算式的結果分別等于從1到9這九個數.

這道題主要考查學生的想象力和觀察能力. 通過認真觀察，加上正確的想象，學生就會寫出如下算式：

4-4+4÷4=1 ? ? ?4×4÷（4+4）=2

（4+4+4）÷4=3? ? ?（4-4）×4+4=4

（4×4+4）÷4=5 ? （4+4）÷4+4=6

4+4-4÷4=7? ? ?（4+4）÷4×4=8

4+4+4÷4=9

這九個等式的左邊四個4與運算符號的有機結合，婀娜多姿，給人以翩翩起舞的遐想;右邊從1到9排列，整齊有序，足以達到美觀的視覺效果，能使學生進一步欣賞到數學規律的內在美. 在教學中，以上每一個結果不止一種算法，能讓學生在感受美的同時開拓思維.

案例3如圖2，已知正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，求所圍成的圖形（陰影部分）的面積.

[圖2]

這道題首先留給學生印象深刻的就是這個圖形，它能使學生聯想到正方形的玻璃框中鑲嵌著4片美麗的花瓣，這樣美的外形，顯然可以激發學生的求知欲望. 本題的目標是求一個不規則圖形的面積，從表象上看，學生會感到困難，似乎無公式可套，無規律可循，但學生會在這個圖形美的吸引下，通過仔細觀察其中存在的規則，得出結論：S=2π·

2-a2=πa2-a2.

利用數學美思考解題思路

法國數學家龐加萊認為：“數學的優美感，不過是問題的解答適合我們心靈需要而產生的一種滿足感. ”因此，數學美不只是用來感受和認識內容的，它還具有指引我們進行數學發現和創造的意義，能夠促使我們的解題水平不斷提高[1].

1. 內容的統一美

數學的統一美，美在數學對客觀世界和諧、井然有序的真實反映上. 比如，梯形的面積計算公式S=（a+b）h就是典型的一例. 它把三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形的面積計算統一在了一個式子之中. 當a，b，h發生變化時，就可以計算不同形狀的圖形的面積.

案例4猜想：（x-1）（xn-1+xn-2+…+x2+x+1）=______.

請你利用上面的猜想，完成下面的題目：（-2）50+（-2）49+（-2）48+…+（-2）+1.

對于本題，學生很難求出（x-1）（xn-1+xn-2+…+x2+x+1），于是教師可以引導學生先從簡單的情形入手，即分別算出（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，…，從而發現內在規律.

在教學中，教師應經常采用類似的解題訓練，幫助學生掌握知識的本質特征，加強橫向聯系，從而揭示統一性，引導學生對統一性與整體的各部分知識進行辨別、分析，找出異同點，并側重于異中取同.

2. 方法的簡潔美

簡潔美是數學美的重要標志，用最簡單的方法解決復雜的問題，是人們共同的期盼和追求. 在教學中，如果用簡單的觀點、簡化的方法對問題進行整體處理，或者實施分解、變換、降次等轉化策略，往往會使處理問題的方法新穎、獨特[2].

案例5已知3x2-2x-7=0，求.

學生開始都以常規的思路去審視本題，先求出x，再求，結果誤入歧途，使問題變得更加復雜. 教學中，只要教師引導學生觀察題目，進行簡單的變形，本題就會是另一番景象，即通過移項可得3x2=2x+7，問題就會迎刃而解.

案例6計算：-0.8+2.1-0.75-2.1+35+0.8-4+.

最初，學生按照常規運算順序逐個進行有理數的加減運算，發現運算過程很煩瑣. 當教師提醒學生優先結合相反數時，學生頓時豁然開朗，臉上流露出欣喜的微笑. 這一刻，學生領悟到了問題的實質，感受到了簡潔的樂趣，從真正意義上理解了方法的簡便.

法國哲學家狄德羅說過：“數學中所謂美的問題，是指一個難以解決的問題，所謂美的解答，是指一個困難復雜問題的簡易解答.”由此可見，在解題教學中尋找解題的簡易途徑和多種方法，就是對數學美的追求.

3. 形式的對稱美

形式的對稱性是數學科學美的直觀體現. 在幾何中，圖形的對稱美是幾何學的重要內涵. 在教學中，如果我們引導學生用對稱的眼光去審視，采用對稱的方法調整、變換元素關系，有些問題就會迎刃而解.

案例7已知，如圖3，在△ABC中，AB=3AC，∠BAC的平分線交BC于點D，過點B作BE⊥AD交AD的延長線于點E，求證：AD=DE.

由于試題給了角平分線和垂直的條件，所以教師在教學中如果從對稱角度循循善誘，學生很快就會聯想到完整的等腰三角形，即把圖3補充成圖4，并過點E作EG∥BC交AF于點G，即可得出結論.

這樣明快的解題思路和完美的對稱圖形，本身就會給予學生美的啟迪，能使學生在感受圖形美的同時，感受到運用對稱方法解題的樂趣. 這樣不僅能培養學生的形象思維能力，而且能促進學生想象力的發展.

4. 思維的奇異美

英國哲學家培根說：“沒有一個極美的東西不是在勻稱中有著某種奇異. 美就在于奇特而令人驚異. ”數學中的奇異美是指結論的新穎奇巧，出乎意料，往往能引起思想上的震動， 這是吸引許多人喜歡數學的原因之一.

案例8已知方程x2-2x-1=0，不解方程，求一個一元二次方程，使它的根是原方程各根的平方.

解答本題，利用根與系數的關系，順理成章，但有一位同學卻給出了這樣的解答：令y=x2是所求方程的根，則得x=±，代入原方程得（±）2-2（±）-1=0，即y2-6y+1=0為滿足題意的方程.

在我看來，這就是奇異. 在教學中，教師應充分鼓勵學生用新穎、奇特的方法，巧妙地分析和解決問題，幫助學生自由地思考，自主地調控思維過程，從而揭示隱藏在奇異背后的數學美.

結束語

數學是美的，人的愛美天性在青少年時期表現得尤為突出[3]. 數學教師應抓住這個最佳時期，不失時機地揭示數學之美，進行審美教育，并能學用結合，充分發揮數學美在解題中的導向功能.

古希臘數學家普羅克洛斯說過：“哪里有數，哪里就有美. ”在解題過程中，我們應關注數學美，追求數學美，并按照美的標準和方式思考. 只要我們善于發現數學的內在美，那數學學習就不是一件難事. 每個學生在提高自己數學審美能力的同時，也一定會有更大的收獲. 所以，我們不要做聽課機器，而要善于動腦，善于發現，在探究數學之美的道路上收獲意想不到的解題思路，總結有效的解題方法.

參考文獻：

[1]徐利治，王光明. 數學方法論選讀[M]. 北京：北京師范大學出版社，2010.

[2]張國棣. 談中學數學的審美教育[J]. 數學通報，2010，49（7）.

[3]文衛星. 引導學生欣賞與發現數學美——以極限教學為例[J]. 數學教育學報，2012（2）.