利用想象表象提升初中生幾何學習品質的實踐與思考

楊劍

[摘? 要] 數學研究的對象之一是“形”，數學中的形是數學抽象的產物. 在初中幾何教學中，數學抽象意味著學生對形進行加工，其中的加工方式之一就是想象，而想象的產物往往就是想象表象. 作為數學教師，我們要研究幾何教學中學生構建想象表象的契機，并抓住這個契機，培養學生的學習品質.

[關鍵詞] 初中幾何;想象表象;學習品質

數學教學的對象是數與形，其中“形”在初中數學教學中最充分的體現，就是幾何內容的學習. 幾何學習的對象自然是各種各樣的形，而這些形又不是實際生活中物體的形，而是經過數學抽象之后形成的形. 從數學抽象的角度來看，這些形既可以視作數學抽象的產物，也可以視作學生想象的結果，因為想象的過程就是抽象思維發揮主要作用的過程. 同時，在初中幾何的學習中，有些圖形已經完全脫離了實際生活，客觀上只來自學生的想象，尤其是學生基于抽象圖形進行深度思維加工的時候，學生大腦中所形成的圖形基本上都是想象的產物，這在心理學上被稱為想象表象. 研究表明，初中數學幾何教材作為數學形象知識的載體，對于提高初中生的邏輯思維能力、培養學生的想象力來說，發揮著重要的作用，能真正促進學生幾何思維品質的提高. 基于這樣的判斷，筆者以為，在初中幾何教學中，教師要善于抓住幾何教學的契機，提升學生的學習品質.

初中幾何教學中想象表象的存在

表象是人見過的事物在大腦中留下的印象;想象表象是人在經驗基礎上通過思維加工形成的表象，其在實際生活中可能并不存在，但想象表象確實能夠支撐人去認識事物. 想象表象得以構建的主要原因在于人的想象，大量的實踐研究以及相關的理論研究表明，想象是一種特殊的思維活動，是憑形象思維和邏輯思維對頭腦中已經接受和貯存的各種信息、材料、表象進行重新排列組合、改造，創造出未出現事物的形象……想象的基本材料是表象，表象貧乏的人，想象不可能豐富.

在初中幾何教學中，學生有豐富的構建想象表象的機會. 例如，在“三角形的邊”的教學中，教師幫學生建構三角形的邊的認識時，可以出示圖1，將塔吊的吊臂與兩邊的鋼索組合的圖形抽象成一個三角形，這樣三條邊的認識對于學生來說就變得非常直觀了. 如果進一步從學生表象構建的角度去分析，可以發現，其實學生大腦中所構建出來的三角形與教師所想象的有所不同. 根據筆者所做的調查，有相當一部分學生在認識三角形的時候，大腦中首先出現的是“三個角”，這符合學生對三角形概念的最直接反應，因為有三個角所以該圖形被稱為三角形（這實際上也是數學概念自身的特征之一，初中幾何中的數學概念基本上都是基于抽象得到的圖像的最直觀的特征來進行命名的，包括角的符號、平行的符號等，實際上這也是經由直觀想象后得到的表象的產物）. 同時，學生認識了三角之后，會進一步認識三邊，所以后來在看到只有三條邊的圖形時，往往就直觀地認識到這就是三角形. 由于學生加工三角形所需要的思維過程并不復雜，通過想象構建出來的三角形表象也比較直接，因而教師即使不認真引導學生進行加工，學生也可能通過自己的經驗及思維構建出來. 但不可否認的是，對于許多類似于此的幾何知識，學生都有類似的想象活動，大量的能夠支撐幾何學習的想象表象也是在此過程中出現的.因此可以認為，初中生的幾何學習離不開想象表象的存在，而學生在幾何學習中也必然要借助想象表象去構建最基本的圖形，并在此基礎上構建復雜的圖形，同時認識圖形及圖形變換中存在的規律.

基于想象表象培養學生的學習品質

就筆者的分析來看，初中生在幾何學習中，想象表象有時候是自然形成的，這得益于學生在生活中已經形成了一定的構建想象表象的能力. 而遇到復雜圖形或復雜問題的時候，其想象表象構建往往會有一定的困難，而教師幫助學生克服這個困難，就可以在促進學生更好地理解幾何概念與規律的同時，提升自身的學習品質. 下面以“三角形”教學中的幾個細節來說明.

示例一：三角形知識學習之后進行的簡單總結.

筆者提出的問題是：根據三角形三個內角的大小，我們可以對三角形進行什么樣的分類？

提出這個問題之后，筆者沒有給學生呈現任何圖像，而是讓學生基于這個問題去思考，同時提醒他們可以在草稿紙上畫一畫. 在巡視觀察的過程中，筆者發現學生會在草稿紙上畫出不同類型的三角形，其中有銳角三角形，有直角三角形，也有鈍角三角形. 但可以看到，有些學生起初有些模糊，隨后畫出的三角形也不是分類思想下的畫圖結果. 于是筆者就在小組討論的過程中追問：你為什么會畫出這些三角形？你畫的三角形有沒有重復的？（因為有的學生畫的是兩個形狀不同的銳角三角形）這樣的追問，可以讓學生對分類標準更加明確，于是大腦中的三角形就與三角形的分類形成了良好的對應. 這個對應其實就是學生在展開思維與想象，最終形成的三角形分類結果也就清晰了.

示例二：探究三角形兩邊之和大于第三邊的性質.

筆者在教學中給出的問題是：有一只螞蟻在三角形的一個頂點處，它想到達相鄰的另一個頂點，有幾條路徑可以選擇呢？它們的長度一樣嗎？

上述問題的提出同樣不急著給出圖形，而是讓學生結合問題的文字描述，自己在大腦中想象相應的圖形（可以在草稿紙上畫圖）. 調查表明，學生此時的想象重點已經不是三角形本身了，而是根據螞蟻可能走的兩條路徑，所得的“兩邊之和”與“第三條邊”的長短關系了. 這是一個問題，這個問題會驅動學生去猜想這個長短關系，并嘗試做出證明. 我們有理由認為，此時學生大腦中的想象表象是有效的，甚至是動態的：當螞蟻沿著兩條路徑爬的時候，孰長孰短？這驅動著學生進行深度思考，同時能促進問題得到有效解決.

示例三：三角形知識的應用.

應用通常都是通過習題來完成的，通常情況下，教師可以循序漸進地呈現問題，而不急著提供圖形. 例如：如果用一根長為20 cm的繩子圍成一個等腰三角形，且腰是底邊的2倍，那各邊的長是多少？筆者以為，像這樣的問題，教師一定不能直接提供圖形給學生，而應當讓學生通過自己的想象去構建圖形，這樣才能給學生真正思考的機會，才能讓學生在思考的過程中調用已經學過的知識去形成想象表象.

以上三個例子針對三角形學習中的不同環節，同時又具有一些共同點，例如不急著向學生呈現圖形等. 筆者以為，在初中幾何教學中，結合問題的難度判斷是否向學生提供圖形，是一個重要的策略，而不提供圖像，讓學生展開想象，一定是培養學生鞏固幾何知識、綜合性運用幾何知識解決問題的重要途徑. 而從學習品質的角度來看，正是學生習慣于想象表象的構建，才使得學生對用思維加工幾何圖形形成了良好的直覺，從而支撐良好學習品質的形成.

從核心素養視角看想象表象研究

核心素養是當下基礎教育研究的熱門概念，那么從核心素養的角度來認識幾何教學中的想象表象培養，會有什么發現呢？

筆者以為，核心素養本質上是要培養學生的必備品格與關鍵能力，而對于課堂教學而言，能力培養顯而易見又是重中之重. 那么，在初中幾何教學中讓學生充分地進行想象表象的構建，從而增強對圖形的感知能力、組合能力、變化能力，然后對圖形中相關的角和邊賦值，于是數學問題就真正為學生所內化了. 顯然，這是一種關鍵能力，其不僅指向學生幾何學習的當下，還指向學生走出數學課堂之后面對生活中的各種各樣的形的思維加工，筆者以為，這是核心素養的重要組成部分.

實際上，幾何學習中學生進行的想象表象的構建，本身就是一種能力支撐的結果，沒有一定的想象能力，沒有必要的抽象思維以及邏輯推理能力，一個成功的想象表象是構建不出來的. 反過來，構建想象表象的過程，又增強了學生的想象能力、抽象能力和邏輯推理能力（例如上面所舉的三角形學習的例子中，學生就有豐富的數學抽象、邏輯推理與直觀想象的過程，而所形成的三角形認識，某種程度上也可以視作學生形成的數學模型），其直接指向數學學科核心素養中的數學抽象、邏輯推理與直觀想象，因而促進了核心素養的養成. 既然核心素養的養成是有保證的，那說明其對應著學生學習品質的提升，畢竟學習品質與核心素養的培育之間存在著前者促進后者、后者彰顯前者的關系.

綜上所述，在初中幾何教學中，教師需要努力引導學生進行想象表象的構建，這樣不僅可以提升學生解決幾何問題的能力，還可以促進數學學科核心素養的養成.