基于量綱分析的油炒表面換熱系數預測模型

張宏文何臘平,2鄧 力,2李翠芹馮倫元陳翠翠余冰妍常 瑞

(1. 貴州大學釀酒與食品工程學院，貴州 貴陽 550025；2. 貴州省農畜產品貯藏與加工重點實驗室， 貴州 貴陽 550025；3. 貴州大學化學與化工學院，貴州 貴陽 550025)

中式烹飪歷史悠久，技法形式復雜多樣，其中油炒具有過程短促激烈、非穩態性顯著等特點，復雜性遠高于水傳熱和汽傳熱[1]，是中式烹飪獨有的典型技法。油炒烹飪的過程特征是開放容器中被攪拌流體—顆粒食品的加熱過程。在該過程中傳熱方向是熱源→容器→流體→食品顆粒[2]。流體—顆粒表面換熱系數(fluid-to-particle heat transfer coefficients,hfp)是描述傳熱的關鍵性過程參數。hfp是流體與單位面積的食品顆粒表面之間存在溫度梯度時，流體對流到顆粒表面的熱對流速率，其數值取決于油炒過程中流體與食品顆粒相對運動速度、流體熱物性及食品顆粒特征的綜合。hfp對油炒烹飪中食品顆粒的全局溫度分布有決定性影響，從而影響中心成熟值(Mc值)、表面過熱值(Os值)等[3]溫度依賴性品質動力學參數，在烹飪品質控制與優化中有重要意義。目前，中國的烹飪行業產值已達到4.27萬億元[4]，隨著食品加工業的快速發展，對烹飪的基礎研究日益迫切，亟需油炒等烹飪過程中諸因素下hfp的準確測量及預測。

在食品熱處理中hfp的獲得難度較大，主要有集中參數法、表面熱流量測量法和中心溫度測量法[5]。文獻[6]中總結實測食品顆粒溫度及hfp的具體方法有：靜態顆粒法[5,7-8]、移動熱電偶法、液晶法、發射法、微生物法[時間溫度積分器(time-temperature integrators,TTIs)[9-10]]。由于油炒烹飪過程中食品顆?？焖贌o規則移動，靜態顆粒法、移動熱電偶法等試驗測定手段存在較大誤差，液晶法和發射法準確性也不高，微生物法則存在制作繁瑣問題。因此，采用數值法并結合傳熱學試驗是計算得到較為準確的hfp唯一方法。

量綱分析是Backingham于20世紀初提出的一種在物理領域中建立數學模型的方法，可有效分析和探索物理量之間的關系[11]1-8。相較于其他計算方法，該方法對數據進行合理降維，在減少計算量的同時保證計算精度，能最大程度地反映影響建模的關鍵參數。早在1938年，Froszling利用量綱分析法建立了空氣中廢水的hfp：Nu=2.0+0.55Re1/2Pr1/3。在食品熱處理領域，Chandarana等[12]得出立方體硅脂顆粒分別在淀粉液和水中hfp的無量綱預測式：Nu=2.0+0.028 2Re1.6Pr0.89和Nu=2.0+0.033 3Re1.08。Zuritz等[13]研究了蘑菇形鋁質顆粒在CMC溶液中的傳熱過程，得到了無量綱預測式：Nu=2.0+28.37Re0.233Pr0.143(dm/dt)1.787。目前利用量綱分析方法預測hfp主要在殺菌領域[14-15]，而應用于油炒過程中hfp預測尚未報道。

本研究基于量綱分析法中Π定理推導hfp的無量綱預測模型，考察油炒過程中不同火候、不同流體流速模擬食物攪拌與顛鍋過程，結合實測hfp驗證模型準確性。以期為油炒烹飪提供一種普遍適用、方便、經濟的hfp研究測定方法。

1 材料與方法

1.1 試驗材料

豬里脊肉、食用調和棕櫚油：市售。

1.2 儀器與設備

計算機：E5-572G-528R型，8 GB內存，I5-421M雙核處理器，宏碁電腦(上海)有限公司；

烹飪傳熱學及動力學數據采集分析系統：貴州大學自研[16]；

鎧裝熱電偶：WRTK-103型，寧波奧崎自動化儀表設備有限公司；

可調速恒溫油浴鍋：DF-101T-5型，上海力辰邦西儀器科技有限公司；

切片機：BL658型，深圳市博萊電子電器有限公司；

S型皮托管：SPT-08-500型，上海億歐儀表設備有限公司。

1.3 烹飪流體—顆粒多孔介質熱/質傳遞模型

1.3.1 控制方程 在油炒過程中，食品顆粒內部任一位置的溫度隨時間的變化而變化，在笛卡爾坐標系中，呈現三維非穩態溫度分布；顆粒無內熱源，熱物理參數密度、比熱容、導熱系數相對溫度，可視為常數，因此，內部導熱過程適用簡化的三維非穩態導熱微分方程[2]：

(1)

式中：

ρp——食品顆粒密度，kg/m3；

Cpp——食品顆粒比熱容，J/(kg·℃)；

T——食品顆粒微元溫度，℃；

t——時間，s；

kp——食品顆粒導熱系數，W/(m·℃)；

Δ——拉普拉斯算符。

1.3.2 初始條件和邊界條件

(1) 初始條件：初始溫度Ts為室溫24 ℃，Tf為流體溫度，由油浴鍋控制。

(2) 邊界條件：流體—顆粒對流加熱過程中，其邊界控制方程為：

kp▽T=-hfpTs-Tf，

(2)

式中：

▽——漢密爾頓算符；

hfp——流體—顆粒表面換熱系數，W/(m2·℃)；

Ts——顆粒表面溫度，℃；

Tf——流體溫度，℃。

目前數值法計算hfp的研究尚不充分，本課題組前期建立了考慮表面蒸發的烹飪流體—顆粒多孔介質熱/質傳遞模型[17]，經解析法驗證，實測與模擬的時間—溫度的相關系數R達到0.997以上。根據數學物理方程解的唯一性定律[18]，當非穩態傳熱的定解條件一定時模型的解唯一，采用試差法計算實測與模擬的時間—溫度相關系數的最大值是，此時模型中的hfp認為是實際值。

1.4 量綱分析的基本原理：Π定理

Π定理[11]9-18[19-20]是量綱分析理論的核心，由美國物理學家Buckingham于1914年提出，用數學公式解釋Π定理如下：

設n個物理量之間滿足下列函數關系式：

f(x1、x2、……、xn)=0，

(3)

式中：

x1、x2、……、xn——物理量。

n個物理量中含有p個基本量綱(p

F(Π1、Π2、……、Πm)=0，

(4)

式中：

F——待求函數關系；

Π1、Π2、……、Πm——無量綱數群(準數)，且m=n-p。

綜上，說明Π定理將多因素影響的物理系統中的各變量經過交叉計算，導出較少無量綱準數，有利于抓住影響系統的關鍵因素，從而構建物理方程式的結構形式。

1.5 hfp的無量綱預測模型的構建

1.5.1 影響烹飪過程中hfp的主要因素 根據傳熱學原理[21]可知，影響表面換熱系數的因素有食品顆粒的特征尺寸、溫度、流體的流速、黏度、密度、比熱容以及導熱系數等。其中，溫度是主導因素[5,22-23]，為了溫度的無量綱化，將溫度分為流體溫度Tf和參考溫度T參。用函數關系式表達為：

f(hfp,l,v,Tf,T參,μ,ρ,Cpf,λ)=0。

(5)

式(5)中9個物理量的符號、單位及量綱見表1，可以看出其由4個基本量綱：長度L、質量M、時間T和溫度θ組成。

表1 試驗物理量及量綱

1.5.2 確定無量綱Π數的數目 依據Π定理，無量綱Π數的數目：

m=n-p=9-4=5。

(6)

若Π1、Π2、Π3、Π4和Π5表示無量綱準數，則式(5)可表示為

Π5=F(Π1,Π2,Π3,Π4)。

(7)

1.5.3 確定準數形式 以長度L、質量M、時間T和溫度θ作為基本量綱，建立其量綱矩陣，見表2。

通過MATLAB軟件中null函數對表2中量綱矩陣進行齊次線性方程求解，得到式(8)中5個無量綱準數：

表2 量綱矩陣

(8)

將式(8)中各Π項進行代數變換，得到式(9)中的4個無量綱準數：

(9)

為了簡便，假設T參為100 ℃，同時，該試驗的9個變量中，除hfp為因變量外，其他均為自變量，所以將含有hfp的Π4可作為因變Π項，應滿足：

(10)

此時，方程等號兩邊的量綱必須相同，當用基本量綱的冪次式表示時，各個基本量綱的冪次相等，稱為量綱齊次性。式(10)以冪函數的形式表示為：

(11)

即，

Nu=ReaPrb(Tf/100)c。

(12)

1.6 試驗方法

1.6.1 原料準備 將購買的新鮮豬里脊肉切分后放入冰箱-18 ℃冷凍室，12 h后用切片機切割。為保證后續熱電偶準確插入肉片中心，采用半厚粘接法[24]，即先將肉片切割為試驗所需厚度的1/2，后用微量的透明耐熱結冷膠粘連，粘連好的肉片可以耐受高溫加熱，不會出現起泡、分離等影響數據采集的現象。將肉切為4 cm×4 cm(長×寬)，厚度為0.1，0.2，0.3，0.4 cm的規格，再用結冷膠粘連，使之最終形成厚度為0.2，0.4，0.6，0.8 cm的肉片，置于冰箱4 ℃冷藏室12 h左右。

1.6.2 試驗過程 首先使用標準溫度計校準油浴鍋油溫和熱電偶溫度。將肉片從冰箱中取出置于室溫下，待肉片溫度接近室溫時，開啟烹飪傳熱學及動力學數據采集系統，連接電腦，用采集系統中熱電偶末端插入肉片的幾何中心處，如圖1所示。按照表3所示的試驗條件，在可調速恒溫油浴鍋中進行油炸試驗，每組試驗5次，同時用采集系統記錄中心—時間—溫度。

圖1 試驗裝置及半厚粘接法示意圖

1.6.3hfp的試算法計算 假設一個hfp，由1.3烹飪流體—顆粒多孔介質熱/質傳遞模型中得到模擬中心—時間—溫度，將1.6.2中得到實測中心—時間—溫度平均處理。在MATLAB中計算實測與模擬的中心—時間—溫度的擬合優度：相關系數R；改變hfp，先以50 W/(m2·℃)為精度，后以10 W/(m2·℃)為精度，重復性地計算擬合優度，選擇擬合優度最好的hfp，作為本次試驗的hfp。

表3 試驗條件?

1.6.4 流體的熱物性參數 可調速恒溫油浴鍋中為食用級棕櫚油，熱物性參數如表4所示。

表4 棕櫚油的熱物性

1.7 數據擬合計算

對式(12)的等號兩端進行取對數運算：lgNu=algRe+blgPr+clg(Tf/100)+d，轉化為多元線性問題，使用SPSS 23軟件進行多元線性回歸，記錄回歸模型中的系數及決定系數R2，將線性回歸結果作指數逆變換之后得到各待定參數的回歸值，即為無量綱預測模型。

2 結果與討論

2.1 烹飪流體—顆粒多孔介質熱/質傳遞模型準確性驗證與hfp結果

首先驗證所選擇烹飪流體—顆粒多孔介質熱/質傳遞模型和數值計算的準確性，限于篇幅，本文列舉了具有代表性的100～160 ℃流體下的溫度數據，即表3中試驗序號2～5組，分別將豬里脊肉的數值模擬與試驗測量中心—時間—溫度進行對比，如圖2所示。通過MATLAB中相關系數程序對模擬和實測中心—時間—溫度曲線進行相關性分析，結果顯示，模擬和實測兩者的相關系數R>0.98，擬合性較高。因此，說明該數值模型具有較高的可靠性和準確性。

將不同試驗條件下實測的時間—溫度數據經1.6.3節計算得到的hfp列于下表5，hfp的范圍在250～850 W/(m2·℃)。從表5可以發現hfp隨溫度的升高而增大，這是由于流體溫度越高，食品顆粒單位面積表面的溫度梯度越大，從而換熱越快，與文獻[7, 23, 25]的研究成果相一致。流體—顆粒相對運動速度的大小會影響hfp，流速越大，換熱越劇烈，hfp越大。文獻[26]量化了攪拌頻率和攪拌速度對對流換熱的影響，與本文的試驗結果類似。文獻[27]中顆粒的特征尺寸有等體積當量直徑、體積/表面積和直徑等，本文采用常見的等體積當量直徑。本節試驗表明，特征尺寸與hfp具有負相關。Ramaswamy等[28]綜述了不同作者測量hfp的文獻，關于特征尺寸與hfp的變化趨勢少數研究者與上述不同，但從流體力學及傳熱學角度分析支持本節觀點。

2.2 hfp的無量綱預測模型的擬合與修正

將本試驗中得到的各無量綱量進行對數運算，如表6所示，轉化為多元線性問題后使用SPSS 23軟件進行多元線性回歸分析，可得到殘差散點圖如圖3，以及hfp與各因素的回歸方程：

lgNu=0.921lgRe+2.678lgPr+3.427lg(Tf/100)-3.046

R2=0.898。

(13)

從圖3回歸分析的殘差散點分布圖中可以看出，各個殘差的置信區間均包含零點，但第6和13這2個數據的殘差離零點較遠，回歸模型對原始數據的擬合效果一般，為提高式(13)中多元回歸方程的擬合效果，將這2個數據視為異常點并剔除，并對剩余各點進行多元線性回歸擬合分析，從而得到新的多元線性回歸方程：

圖2 不同溫度下實測溫度與模擬溫度對比及相關系數R

試驗序號hfp/(W·m-2·℃-1)hfp擬合相關系數R試驗序號hfp/(W·m-2·℃-1)hfp擬合相關系數R13600.984 485500.998 423900.994 295000.999 534500.998 8102500.983 945900.993 9113000.983 756500.985 3124000.991 367000.985 8135900.993 975900.993 9148500.993 3

表6 各無量綱Π數

圖3 回歸分析的殘差分布圖

lgNu=0.876lgRe+3.206lgPr+4.18lg(Tf/100)-4.09,

(14)

R2=0.973。

修正后的多元線性回歸方程的決定系數R2接近于1，說明與原回歸方程相比修正后回歸方程的擬合優度得到較大提高，回歸方程較好地符合原始數據。將式(14)經指數逆變換之后得到各待定參數的回歸值，即得到無量綱預測關系式：

Nu=10-4.09Re0.876Pr3.206(Tf/100)4.18,

(15)

R2=0.973。

圖4 Nu的實測計算值與預測模型預測值的比較

2.3 hfp預測模型準確性驗證

為檢驗上述建立油炒烹飪過程中hfp的預測模型(即無量綱預測關系式)的準確性和合理性，采用外加試驗驗證預測模型。為保證驗證實驗樣本具有代表性，選取表3試驗外的5組自變量的值，通過式(15)求出Nu與對應的hfp，相關參數具體見表7。

通過表7中預測模型計算值和實測結合數值計算值的hfp可知，兩者的相對誤差分別為0.48%，3.86%，4.67%，1.61%，3.33%。兩者的平均相對誤差為2.79%，滿足食品與烹飪工程計算的要求，說明預測模型的誤差在可接受范圍內，驗證了該預測模型及方法的科學性和先進性。

表7 hfp預測模型計算值與實測數據計算值的比較

2.4 基于量綱分析原理的hfp預測模型的應用

經過2.3節對hfp的預測模型的準確性驗證，說明該預測模型可用于實際應用，在未來的自動化烹飪中，通過傳感器采集，可以實時計算出烹飪過程中的hfp，以便操作者對火候進行調控。為中式烹飪基礎研究帶來一種普適性的研究方法，使烹飪的基礎研究更加方便、經濟，對中式烹飪自動化、工程化和現代化有著深遠的意義。

文獻[3]提出成熟值理論，在文獻[29]的完善下，最終成熟值定義為：由特定人群感官評價判定某一特定品質的成熟程度相對參考溫度的等效加熱時間。通常測定成熟值需要熱電偶插入食品顆粒冷點，但在劇烈的油炒烹飪中并不適用，雖然TTIs法可以解決這一問題，但其不具有普適性。本文構建的預測模型可以較為準確地預測hfp，結合本文中采用的烹飪流體—顆粒多孔介質熱/質傳遞模型，可以計算全局溫度分布和中心成熟值(Mc值)及表面過熱值(Os值)等參數，對食物的成熟程度進行預測，從而預判對烹飪的終止，達到科學烹飪的目的。在文獻[30]中論述了基于TTIs將手工烹飪轉變為自動烹飪的方法，同樣，本文建立的預測方法結合TTIs為手工烹飪轉變為自動烹飪提供了技術支撐，提高了準確性。

3 結論

為研究油炒烹飪過程中對食品顆粒溫度分布以及動力學參數有重要影響的表面換熱系數hfp?；诹黧w—顆粒多孔介質熱/質傳遞模型結合傳熱學試驗模擬油炒加熱過程并計算獲得hfp；考察特征尺寸、溫度、流速、流體性質 (黏度、密度、比熱容和導熱系數) 等變量因素，采用量綱分析方法對hfp涉及的主要因素進行降維處理得到Nu、Re、Pr、Tf/100 4個無量綱準數，從而得到初步預測模型：Nu=10-3.046Re0.921Pr2.678(Tf/100)3.427，R2=0.898，經過殘差分析修正后獲得可準確計算hfp的多元線性預測模型：Nu=10-4.09Re0.876Pr3.206(Tf/100)4.18，R2=0.973。驗證實驗結果表明在油炒溫度為80～160 ℃ 時，相對誤差最小為0.48%，最大為4.67%，該模型預測值與實測計算值擬合效果良好。但烹飪過程涉及諸多復雜因素，食品顆粒在油炒等其他烹飪過程中的品質變化復雜多變，應結合傳質系數、食品顆粒導熱系數等熱物性參數綜合考慮，雖不同的烹飪體系對傳熱參數的適用性有所區別，但本研究獲得的預測模型可為其他食品熱烹飪過程的hfp計算提供一定參考。