恒模和相似性約束下機(jī)載MIMO雷達(dá)快速波形設(shè)計優(yōu)化算法

童日武，張劍云，周青松

(國防科技大學(xué)，安徽 合肥 230037)

0 引 言

不同于地基雷達(dá)，機(jī)載雷達(dá)[1]能夠有效克服由于地球曲率引起的探測盲區(qū)問題，并且具有很高的機(jī)動性，因此無論是在軍事還是民事領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。通常情況下，機(jī)載雷達(dá)采取下視工作模式，對地面目標(biāo)進(jìn)行探測、跟蹤、識別等等。然而大地同樣能夠?qū)走_(dá)信號進(jìn)行反射形成地雜波，地雜波強(qiáng)度大，分布范圍廣，更重要的是由于機(jī)載平臺的運動，地雜波的多普勒頻譜范圍大大展寬，這些將嚴(yán)重影響機(jī)載雷達(dá)對地面動目標(biāo)的檢測性能。因此如何采取有效的手段抑制地雜波，從而提高對地面目標(biāo)的檢測性能一直是一個研究的重點和熱點問題。

傳統(tǒng)雜波抑制方法主要是從雷達(dá)的接收端進(jìn)行信號處理，空時自適應(yīng)處理技術(shù)(STAP)是抑制雜波的有效工具，大量研究表明通過STAP技術(shù)可以顯著提高雷達(dá)對地面動目標(biāo)的檢測性能[2]。然而機(jī)載雷達(dá)往往面臨著復(fù)雜多變的外界環(huán)境，如地形的多樣性導(dǎo)致雜波的非均勻性，干擾數(shù)量和種類的增多導(dǎo)致接收端處理自由度的下降等因素會嚴(yán)重降低STAP抑制雜波的性能。但是如果將雷達(dá)發(fā)射端的自由度加以利用，基于已知先驗信息對發(fā)射端波形優(yōu)化[3]，使得雷達(dá)能夠根據(jù)外部環(huán)境的特點實時調(diào)整發(fā)射波形，則能夠進(jìn)一步提高雷達(dá)抑制雜波的能力。

多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)是一種新體制雷達(dá)[4]，相比于傳統(tǒng)雷達(dá)具有很多優(yōu)勢。其最大特點是發(fā)射端具有很高的自由度，每個發(fā)射陣元可以獨立發(fā)射不同的信號。MIMO雷達(dá)可分為如下兩大類：一類是分布式MIMO雷達(dá)[5]，其特點是天線間距足夠大，具有空間分集特性；另一類是集中式MIMO雷達(dá)[6]，其特點是天線間距很近，在波長量級，具有波形分集特性，能夠在不增加雷達(dá)實際物理孔徑條件下形成較大虛擬陣列，有效提高對目標(biāo)的檢測、識別能力，因此非常適用于空間受限的機(jī)載平臺。近年來對MIMO雷達(dá)的研究得到了廣泛的關(guān)注，主要包括MIMO-STAP[7]和MIMO雷達(dá)波形設(shè)計[8]等。

文獻(xiàn)[9]研究了機(jī)載雷達(dá)發(fā)射方向圖設(shè)計方法，但沒有對雷達(dá)發(fā)射波形設(shè)計進(jìn)行研究；文獻(xiàn)[10]和[11]雖然研究了雜波環(huán)境下MIMO雷達(dá)波形設(shè)計問題，但所研究的對象都不針對機(jī)載MIMO雷達(dá)，文獻(xiàn)[10]研究的是靜態(tài)環(huán)境下的雜波抑制問題，文獻(xiàn)[11]研究的是抑制距離模糊雜波問題；文獻(xiàn)[12]和[13]雖然對機(jī)載MIMO雷達(dá)波形設(shè)計進(jìn)行研究，但都只單獨考慮了波形的恒模約束問題，沒有同時對波形施加恒模和相似性約束，并且所使用的優(yōu)化算法都是通過半正定松弛(SDR)后求解半正定規(guī)劃(SDP)問題，再使用高斯隨機(jī)化方法恢復(fù)出優(yōu)化波形，具有較高的計算復(fù)雜度，并且使用高斯隨機(jī)化方法并不能保證在迭代過程中目標(biāo)函數(shù)單調(diào)非減。

針對以上文獻(xiàn)研究的不足之處，本文基于先驗信息對機(jī)載MIMO雷達(dá)波形設(shè)計問題進(jìn)行進(jìn)一步研究，不同于文獻(xiàn)[12]和[13]，本文同時考慮了波形的恒模和相似性約束問題，并提出了一種快速迭代優(yōu)化算法，在每次迭代過程中能夠直接給出波形的閉式解，避免了求解SDP問題和使用高斯隨機(jī)化方法恢復(fù)波形，具有較低的運算復(fù)雜度。

1 信號模型

1.1 目標(biāo)信號

當(dāng)?shù)孛婺繕?biāo)距離機(jī)載雷達(dá)很遠(yuǎn)時，其俯仰角可以忽略不計，因此本文只考慮目標(biāo)的方位角。假設(shè)目標(biāo)方位角已知為θ0，對于第m個脈沖信號而言，雷達(dá)接收到的目標(biāo)信號經(jīng)過基帶采樣后可表示為：

(1)

(2)

(3)

為方便計算和表示，將接收波形矩陣Yt,m向量化，有：

yt,m=vec(Yt,m)=

(4)

其中：

(5)

式中：IL表示L×L的單位陣；s=vec(S)；?表示克羅內(nèi)克積。

(6)

其中：

(7)

式中：p(f0)=[1,ej2πf0,…,ej2π(M-1)f0]T，表示歸一化多普勒頻率為f0的時間導(dǎo)向矢量。

1.2 雜波信號

機(jī)載雷達(dá)在下視工作時會面臨強(qiáng)地雜波的干擾，同時由于機(jī)載平臺的運動，以雷達(dá)為中心的等距離環(huán)所包含的所有地雜波會存在多普勒偏移的分布，因此容易使得目標(biāo)被強(qiáng)主瓣雜波(多普勒域)所淹沒，嚴(yán)重影響了雷達(dá)的檢測性能。因此必須通過STAP技術(shù)，從空域和多普勒域同時抑制雜波干擾。

雜波信號指的是不感興趣的回波信號，其本質(zhì)上與目標(biāo)信號并無差異。本文在雜波建模的同時考慮了目標(biāo)所在距離環(huán)[14]的雜波信號以及目標(biāo)相鄰距離環(huán)的雜波信號。

圖1畫出了3個雜波距離環(huán)，分別為目標(biāo)所在距離環(huán)以及目標(biāo)前后的距離環(huán)。將每個等距離環(huán)內(nèi)的雜波看成為若干等份雜波塊的組合，因此雜波信號可以表示為所有雜波塊信號的疊加。

圖1 雜波距離環(huán)

以目標(biāo)所在距離環(huán)為參考標(biāo)準(zhǔn)，對于第r(r=0表示目標(biāo)所在距離環(huán)；r>0表示目標(biāo)后面距離環(huán)；r<0表示目標(biāo)前面距離環(huán))個距離環(huán)而言，假設(shè)共有Nc個雜波塊，則其第k(k=1,2，…,Nc)個雜波塊相對于第m個脈沖信號而言的雜波信號可表示為:

(8)

式中：αc,r,k，fc,r,k，θc,r,k分別表示距離-角度位置為(r,k)的雜波塊對應(yīng)的幅度，歸一化多普勒頻率，方位角。

(9)

式中：r∈{0,±1,±2,…}；(m,n)∈{1,2,…,L}2。

(10)

αc,r,kA(r,fc,r,k,θc,r,k)s

(11)

其中：

(12)

當(dāng)r=0時，Jr=IL,則對于目標(biāo)有A(f0,θ0)=A(0,f0,θ0)。為方便表示和運算，將A(f0,θ0)表示為A0，將A(r,fc,r,k,θc,r,k)表示為Ac,r,k。

則對于2R+1個雜波距離環(huán)而言，總的雜波信號表示如下：

(13)

雷達(dá)接收機(jī)接收到的總信號為目標(biāo)信號，雜波信號以及接收機(jī)內(nèi)部噪聲的疊加，即：

y=yt+yc+n=

(14)

2 問題闡述

2.1 最大化輸出SINR

雷達(dá)接收機(jī)接收到回波信號后需要對信號進(jìn)行處理以提高檢測性能，而SINR是衡量檢測性能的一項重要指標(biāo)，SINR越高意味著發(fā)現(xiàn)概率越高，因此本文以最大化輸出信號的SINR為優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行波形設(shè)計。

yout=wHy=

(15)

故輸出SINR表示為：

RSIN(w,s)=

(16)

2.2 恒模和相似性約束

在工程實踐當(dāng)中，雷達(dá)發(fā)射機(jī)放大器通常工作在飽和狀態(tài)，無法對波形幅度進(jìn)行調(diào)制，因此為了能夠充分利用發(fā)射機(jī)放大器放大功率，往往要求發(fā)射的波形具有恒模特性。本文對波形施加恒模約束，為方便表示和計算，假設(shè)波形具有歸一化發(fā)射能量，即‖s‖2=1，那么波形s的第i個元素s(i)表示如下：

(17)

式(17)又可表示為：

(18)

式中：φi表示si的相位。

對波形施加相似性約束可以使得波形享有已知參考波形的良好特性[16]，如線性調(diào)頻信號具有良好的脈沖壓縮特性和理想的模糊度特性。相似性約束的本質(zhì)是在已知參考波形的鄰域?qū)ふ液线m的解，表示如下：

(19)

式中：s0表示已知參考波形，且有‖s0‖2=1；s0(i)表示波形s0的第i個元素；ε(0≤ε≤2)表示相似度，當(dāng)ε=0時，s(i)=s0(i)；當(dāng)ε=2時，不存在相似性約束，退化為恒模約束。

由于同時施加恒模約束和相似性約束，s(i)只有相位上的自由度，式(19)可進(jìn)一步表示為[16]：

φi=args(i)∈[γi,γi+δ],i=1,2,…,NTL

(20)

其中：

γi=args0(i)-arccos(1-ε2/2)

(21)

δ=2arccos(1-ε2/2)

(22)

由以上設(shè)計指標(biāo)和約束條件，可得以下優(yōu)化問題：

(23)

忽略目標(biāo)函數(shù)中的常數(shù)項不影響優(yōu)化結(jié)果，則有:

(24)

3 優(yōu)化算法

優(yōu)化問題(23)是一個NP-hard問題，無法在多項式時間內(nèi)給出最優(yōu)解，但可以通過優(yōu)化算法獲得其高度近似解。文獻(xiàn)[12]、[13]在求解只有波形恒模約束的優(yōu)化問題時所使用的優(yōu)化算法都是通過循環(huán)迭代w和s，在每次迭代過程中都需要求解SDP問題，并需要使用高斯隨機(jī)化方法恢復(fù)出優(yōu)化波形。然而該算法存在以下幾點不足：一是由于求解SDP問題并使用高斯隨機(jī)化方法恢復(fù)出秩1約束的波形近似解，計算復(fù)雜度較高；二是使用高斯隨機(jī)化方法不能保證在迭代過程中目標(biāo)函數(shù)單調(diào)非減。

考慮以上文獻(xiàn)中算法的缺點，本文提出了一種新的迭代算法，不需要循環(huán)迭代w和s，且能夠避免求解SDP問題和使用高斯隨機(jī)化方法獲得波形的近似解，在每次迭代過程中能夠直接給出波形的閉式解，具體算法如下。

當(dāng)固定s時，問題(24)轉(zhuǎn)化成如下無約束優(yōu)化問題：

(25)

其中：

Rcn(s)=Rc(s)+INRLM

(26)

(27)

問題(25)等價于如下著名的最小方差無失真響應(yīng)(MVDR)問題[17]：

(28)

其閉式解如下：

(29)

由上可知wopt和s之間的關(guān)系，將式(29)代入到式(23)中，經(jīng)過一番整理后得到如下優(yōu)化問題：

(30)

觀察可發(fā)現(xiàn)分式規(guī)劃問題(24)已經(jīng)被轉(zhuǎn)化成一個非分式規(guī)劃問題。

令：

(31)

則第l次迭代過程中，問題(30)轉(zhuǎn)化成如下優(yōu)化問題：

(32)

首先拋去約束條件，可得：

(33)

由類功率迭代法[18]易知其具有歸一化能量的波形閉式解為：

(34)

求得s后再考慮恒模約束和相似性約束，可得：

(35)

式中：φu(i)表示u(sl)的第i個元素的相位；?m∈{-1,0,1}。

求得φi后，由式(18)可求得s(i)。

算法總結(jié)如表1所示。

表1 本文提出的算法

對于文獻(xiàn)[12]、[13]中算法，在每次迭代過程中更新一次w的計算復(fù)雜度為Ο((NRLM)3),解一次SDP問題的計算復(fù)雜度為Ο((NTL)3.5)，使用高斯隨機(jī)化恢復(fù)s的計算復(fù)雜度為Ο(P(NTL)2),P表示隨機(jī)化次數(shù)。故該算法每次迭代總的計算復(fù)雜度為：Ο((NRLM)3)+Ο((NTL)3.5)+Ο(P(NTL)2)。

對于本文所提的算法，在每次迭代過程中只需要更新一次u(s)，計算復(fù)雜度為Ο(NTL·(NRLM)2)。

綜上可以看出，本文所提出的算法具有更低的計算復(fù)雜度。

4 仿真分析

S0(m,n)=

(36)

式中：m=1,2，…,NT；n=1,2,…,L；s0=vec(S0)。

4.1 本文算法和文獻(xiàn)[12]中算法2性能比較

表2給出了2種算法在只考慮恒模約束情況下的性能指標(biāo)，包括SINR(dB),CPU運行時間time(s)，迭代次數(shù)l，圖2給出了2種算法的SINR隨迭代次數(shù)的變化曲線。

表2 本文算法和文獻(xiàn)[12]算法性能比較

圖2 2種算法SINR隨迭代次數(shù)變化曲線

從表2和圖2可以看出，在只考慮恒模約束時本文所提算法比對比算法的SINR略高,并且本文算法的運算速度更快，僅需要2次迭代即可停止，耗費時間為24.398 2 s,而對比算法則需要10次迭代才能夠停止，耗費時間為187.457 3 s。從對比結(jié)果可以看出，本文算法不僅和對比算法具有相同的優(yōu)化效果，而且具有更快的運算速度。

4.2 相似度對SINR的影響

表3給出了相似度ε=2,0.5,0.1時使用本文算法得出的優(yōu)化結(jié)果。

表3 相似度對SINR的影響

從表3中可以看出，隨著ε的減小，優(yōu)化后的SINR也不斷減小，這是符合理論預(yù)期的。因為ε的不斷減小，意味著波形s的可行集在不斷減小，從而導(dǎo)致相位的自由度越來越低，最終體現(xiàn)為優(yōu)化后的SINR值不斷降低。另外從表3中也可以看出無論ε取何值，該算法都具有很快的運算速度。

圖3給出了在ε=2,0.5,0.1時SINR隨迭代次數(shù)的變化曲線。從圖3中可以看出波形優(yōu)化后的SINR由最初未波形設(shè)計時(即使用參考信號S0)的9.773 3 dB得到了較大幅度的提升。特別在ε=2時，SINR提高了將近7.5 dB。

圖3 不同相似性約束下SINR隨迭代次數(shù)變化曲線

4.3 波形性質(zhì)分析

圖4給出了優(yōu)化波形的幅度曲線，從圖中可以看出，無論相似度取多少，優(yōu)化后的波形振幅恒定，說明了本文算法所設(shè)計的波形能夠滿足恒模約束的要求。

圖4 波形幅度

圖5給出了在ε=2,0.5,0.1時雷達(dá)第一個發(fā)射陣元對應(yīng)的發(fā)射波形的脈沖壓縮特性曲線圖[10]。

圖5 波形脈沖壓縮特性曲線

從圖5可以看出，隨著ε的減小，脈壓旁瓣水平不斷下降，越來越接近于參考波形LFM的脈壓旁瓣，說明了本文算法能夠?qū)Σㄐ纹鸬较嗨菩约s束的效果。

4.4 雜波抑制效果分析

最后，本文給出了在ε=2，r=0時空-時互模糊函數(shù)的二維響應(yīng)圖，分析了波形優(yōu)化后對雜波的抑制效果。空-時互模糊函數(shù)定義如下：

P(r,f,θ)=|wHA(r,f,θ)s|2

(37)

從圖6可以看出，在目標(biāo)位置形成峰值，在雜波脊位置形成一條深零陷，說明了本文算法能夠有效抑制雜波。

圖6 空-時互模糊函數(shù)二維響應(yīng)圖

5 結(jié) 論

本文研究了機(jī)載MIMO雷達(dá)在強(qiáng)地雜波環(huán)境下的波形設(shè)計問題，進(jìn)一步提高了雷達(dá)抑制雜波的性能。本文對波形同時施加了恒模約束和相似性約束，并提出了一種有效的快速迭代優(yōu)化算法。仿真結(jié)果表明了本文所提算法能夠有效提升SINR,進(jìn)一步增強(qiáng)了對雜波的抑制能力，并且該算法具有較低的運算復(fù)雜度，所設(shè)計的波形具備恒模特性和相似性特點。下一步可能的工作是研究在雜波兼頻譜擁擠環(huán)境下機(jī)載MIMO雷達(dá)的波形設(shè)計問題。