三角函數及其圖像在物理學中的應用

溫昊翔

（惠州市榕城中學，廣東 惠州 516000）

前言：三角函數的知識被廣泛的應用在了物理學當中，這是由于物理學研究的對象大都是矢量，運算矢量使不僅要考慮到其大小，還要考慮到適量的方向，這時就必須使用到三角函數知識了。較為常見的處理適量的方法就是正交分解或三角形法則，這些法則都需要三角函數知識理論的支撐。

一、簡述三角函數及其圖像

較為常見的三角函數如下：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx。公式中的自變量的單位是弧度[1]。在學習物理知識與解析物理題的過程當中，經常會用到三角函數的知識，尤其是正弦函數與余弦函數。下面對正弦函數、余弦函數和它們的圖像進行解析。

正弦函數與余弦函數都是周期函數，并且周期都是2π。正弦函數的圖像如圖一所示，是奇函數，其在坐標系內的圖形以原點為對稱。正弦函數的圖像如圖二所示，是偶函數，其在坐標系內的圖像以y軸為對稱。

圖一：物體的動態平衡

圖二：土塊勻速運動

二、三角函數及其圖像在物理學科當中的應用

三角函數闡述除了直角三角形當中三個邊與各個角存在的關系，為物理量之間創造了關聯[2]。因此我們在解題的過程當中，一般都是以函數具有的特征、變化規律的知識為基礎進行運算，得出物理量的變化趨勢、求解值等。

以幾道例題作為例子，闡述三角函數及其圖像在物理學科當中的應用[3]。

1、基于函數的增減性，分析物理量產生的變化

例1一個物體的質量為m，m被輕繩AB懸掛在天花板之上。我們此時用水平向左的力F來緩緩地拉動輕繩的中點O，情況如圖三所示。用Y代表繩子OA段受到的拉力大小，在O點在移動的過程當中，F于Y產生了怎樣的變化？

習題解析：把OA段與豎直方向的夾角設為α，重力加速度是g，則平衡條件如下所示：

角度α隨著O點的移動而不斷增大，tanα是增函數，F呈增大趨勢；cosα是減函數，Y呈增大趨勢。

總結：在解析諸如此類的動態平衡問題時，要以函數的增減性為基礎，來判斷力產生了怎樣的變化，是最為基礎的力學問題之一，并且，也可以使用矢量圖來觀察力的變化。

2、基于函數的變化規律計算物理量的最值

例2 如圖四所示，一個質量為m的小方塊以靜止狀態在水平面上，以一個大小為F的恒力拉它，讓方塊在水平面上做勻速直線運動。設F與水平面的夾角為θ，在夾角θ逐漸向90度變化時，F會發生怎樣的變化？（物體與水平面之間的摩擦系數已知，為μ）

習題解析：力的平衡條件如下：

Fcosθ=μ（mg-Fsinθ）

總結：例如acosθ+bsinθ此類的三角函數，把a、b作為直角邊構造出一個輔助三角形，將其轉化為sin（α+θ）或者是cos（α+θ），然后對極值進行運算。

3、根據函數的性質進行近似計算

圖三：光路圖

例3 如圖所示，一個玻璃球內裝滿了水，其厚度可以忽略不計，設該球體的直徑d為12cm，已知水的折射率求沿著水平方向觀察該球體的直徑數值。

習題解析：人的視線沿著球體的直徑方向看去，以肉眼不能夠目測其長度。也就是說，用人眼來對直徑進行測量時，得到的結果是不準確的，會與實際數值發生一定的偏差。從圖中我們可以看出，P點與B點的距離十分進，從A點射出的光纖，以P點為折射點折射到空氣當中，PC這條線是折射到空氣當中的光纖，人眼是逆著PC線觀察到的A點，也就是A’點，也就是說A’B的距離就是我們要進行計算的。

該題中的法線也就是OP線，PB長度較短，則角i、r與α的角度都很小。基于幾何知識，α+（i-r）=r，可以得出α=2r-i。PB=ABsinr，因此PB=A’Btanα。基于折射定律，sini=nsinr，在角i、r數值小時，可以得到i=nr。這樣得出水平方向看球體的直徑公式如下：

在帶入已知的直徑12厘米數據等，求得A’B的數值為18厘米。

總結：我們在進行物理習題的解析式，運用三角函數，要合理的進行近似與取舍。

結語：綜上所述，我們在進行日常物理習題的計算當中，經常會應用到數學知識點，尤其是三角函數的知識，在解題過程中能夠得到廣泛的使用。本文主要介紹了正弦函數、余弦函數在物理學當中的應用。經過對例題進行解析和判斷，證明了三角函數在解析物理習題時有著重要的作用。