乘法公式與因式分解那些事

◎陳曉靚

在如今的數學課本中，乘法公式與因式分解的表達形式是非常簡潔美觀的，這種呈現形式得益于數學符號的引入。而在引入數學符號之前，歷史上偉大的數學家們就已經發(fā)現了一些乘法規(guī)律。下面，我們就來說說歷史上與乘法公式、因式分解相關的人與事。

數學軼事1：不懂幾何者勿入

這句話是刻在希臘數學家歐幾里得（公元前330年—公元前275年）在少年時期就讀學園的大門牌匾上的。這所學園的創(chuàng)立者是大名鼎鼎的柏拉圖（公元前427年—公元前347年）。他在大門上立這塊牌匾的目的是讓世人知道數學的重要性，更要能體會美妙的幾何世界。在柏拉圖數學思想的熏陶下，歐幾里得開始了對幾何原理的系統研究。他敏銳地察覺到數學公理化理論的發(fā)展趨勢。在隨后的歲月里，歐幾里得到處游學，收集和研究前輩大師們的專著與理論，最終，在公元前300年完成了那部偉大的《幾何原本》。同學們可能不知道，乘法公式并不是來源于代數學，準確地說應該源于幾何學。在這本注重數形結合的著作中，歐幾里得給出了乘法公式的兩個例題。

（1）兩數和的平方公式：若任意兩分一條線段，則在整條線段上的正方形的面積等于各個小段上的正方形的面積之和加上由兩小線段構成的長方形面積的2倍。

如圖1所示，S正方形ABCD=S正方形BHEI+S正方形EFDG+2S長方形AIEF。

即完全平方公式：（a+b）2=a2+b2+2ab

圖1

（2）如果把一條線段先分成兩條相等的線段，再分成兩條不相等的線段，那么，不相等的兩條線段構成的長方形與兩個分點之間的距離形成的正方形的面積和，等于原線段一半上的正方形的面積。

如圖2所示，S正方形CEFB=S正方形LEON+S長方形AKND

即平方差公式：a2=（a+b）（a-b）+b2，即（a+b）（a-b）=a2-b2

圖2

可見，偉大的數學家歐幾里得用美妙的幾何證明法呈現了如今的乘法公式。

數學軼事2：英雄所見略同

在小學里，我們曾經聽老師講過大數學家歐拉（公元1707年—公元1783年）小時候圍羊圈的故事，從這個故事中得知，周長相同的不同長方形，其面積是不同的，其中正方形的面積最大。你知道為什么嗎？具體來說，設正方形的邊長為a，周長為4a，面積為a2。將正方形的一邊增加b，將其鄰邊減少b（0≤b＜a），得到一個周長為4a的長方形，它的長和寬分別為a+b和a-b，面積為（a+b）（a-b）。現在，我們只需要比較a2和（a+b）（a-b）的大小。

無獨有偶，在公元3世紀，古希臘數學家丟番圖（公元246年—公元330年）在其《算術》一書中設置了以下問題：已知兩數的和為20，乘積為96，求這兩個數。丟番圖給出了這樣的解答：兩個數不能同時大于10，也不能同時小于10，必定一個大于10、一個小于10。如圖3所示，可設一個數為10+x，另一個數為10-x，得（10+x）（10-x）=96。

在解決上述問題時，兩位跨越時代的數學家不約而同地都應用到了平方差公式，可見乘法公式在數學歷史長河中的重要地位。

數學軼事3：萊布尼茲的錯誤

萊布尼茲（公元1646年—公元1716年）是德國的一位偉大數學家，他是微積分理論的創(chuàng)立者之一。他所處的那個時代，因式分解已經非常成熟。在一次偶然的因式分解演算中，他發(fā)現：

若n是自然數，n3-n=n（n+1）（n-1）是3的倍數；

n5-n=n（n2+1）（n2-1）=n（n+1）（n-1）（n2+1）是5的倍數；

n7-n=n（n3+1）（n3-1）=n（n+1）（n-1）（n2+n+1）（n2-n+1）是7的倍數。

這一系列的演算結論讓萊布尼茲喜出望外，于是他迫不及待地對外宣布：對任意的正奇數k，nk-n恒是k的倍數。

同學們，你是否懷疑這個結論的正確性？果不其然，沒過多久就有人找到了反例：29-2=512-2=510。顯然，510不是9的倍數，輕而易舉地推翻了萊布尼茲的這個結論。可見，數學是非常嚴謹的，數學權威們有些時候也會犯科學性的錯誤。同學們，我們都應時刻保持質疑的精神。

人類的進化史就是數學的發(fā)展史，數學推動了歷史的前進，改變了人類思考與解決問題的方式。萬物變，唯數學永恒。