“整式乘法與因式分解”中考試題賞析

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“整式乘法與因式分解”這一章，我們從計(jì)算圖形的面積入手，得到了單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則和完全平方公式、平方差公式，并通過推演證實(shí)了這些法則和公式的正確性。學(xué)習(xí)本章時(shí)，同學(xué)們對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式不僅要會(huì)正向看，還要學(xué)會(huì)反向看，弄清整式乘法與因式分解是兩種互逆的變形，弄清楚各自的功能，以避免兩者混淆。本章內(nèi)容不但對(duì)后續(xù)的方程和函數(shù)的學(xué)習(xí)有重要的意義，而且在各地中考中也頻繁出現(xiàn)。下面讓我們一起來欣賞一組中考題。

考點(diǎn)1：分解因式

例1 （1）（2018·連云港）分解因式：16-x2=_______。

（2）（2018·淄博）分解因式：2x3-6x2+4x=_____。

【分析】第（1）題16和x2都可寫成平方形式，且它們符號(hào)相反，符合平方差公式特點(diǎn)，利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可。第（2）題首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案。

【解答】（1）16-x2=（4+x）（4-x）。

（2）2x3-6x2+4x=2x（x-1）（x-2）。

【點(diǎn)評(píng)】本題第（1）小題主要考查利用平方差公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵。第（2）小題主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正確分解常數(shù)項(xiàng)是解題關(guān)鍵。

考點(diǎn)2：因式分解的應(yīng)用

例2 （2016·濱州）把多項(xiàng)式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3），則a、b的值分別是（ ）。

A.a=2，b=3 B.a=-2，b=-3

C.a=-2，b=3 D.a=2，b=-3

【分析】運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則求出（x+1）（x-3）的值，對(duì)比系數(shù)可以得到 a、b的值。

【解答】∵（x+1）（x-3）=x·x-x·3+1·x-1×3=x2-3x+x-3=x2-2x-3，∴x2+ax+b=x2-2x-3。∴a=-2、b=-3。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則。

考點(diǎn)3：因式分解、求代數(shù)式的值

例3 （2018·成都）已知x+y=0.2，x+3y=1，則代數(shù)式x2+4xy+4y2的值為________。

【分析】原式因式分解后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值。

【解答】∵x+y=0.2，x+3y=1，∴2x+4y=1.2，即x+2y=0.6，則原式=（x+2y）2=0.36。故答案為0.36。

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于條件求值，解題時(shí)需要通過因式分解將所求代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為與已知條件有關(guān)的式子，再通過整體思想代入求值即可。

考點(diǎn)4：整式的乘法、去括號(hào)法則

例4 （2018·吉林）某同學(xué)化簡a（a+2b）-（a+b）（a-b）出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過程如下：

原式=a2+2ab-（a2-b2） （第一步）=a2+2ab-a2-b2（第二步）=2ab-b2（第三步）

（1）該同學(xué)解答過程從第_______步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤原因是_______；

（2）寫出此題正確的解答過程。

【解答】（1）該同學(xué)解答過程從第二步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤原因是去括號(hào)時(shí)沒有變號(hào)；

（2）原式=a2+2ab-（a2-b2）=a2+2ab-a2+b2=2ab+b2。

【點(diǎn)評(píng)】在計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式時(shí)要注意防止漏乘，運(yùn)用平方差公式時(shí)要注意括號(hào)內(nèi)是一個(gè)整體，因括號(hào)前為“-”，故括號(hào)去掉后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào)。

考點(diǎn)5：列代數(shù)式、整式的混合運(yùn)算

例5 （2018·寧波）在矩形ABCD內(nèi)，將兩張邊長分別為a和b（a＞b）的正方形紙片按圖1、圖2兩種方式放置（圖1、圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示。設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2。當(dāng)AD-AB=2時(shí)，S2-S1的值為（ ）。

圖1

圖2

A.2a B.2b C.2a-2b D.-2b

【分析】利用面積的和差分別表示出S1和S2，然后利用整式的混合運(yùn)算計(jì)算它們的差。

【解答】S1=（AB-a）·a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）·a+（AB-b）（AD-a），

S2=AB·（AD-a）+（a-b）（AB-a），

∴S2-S1=AB·（AD-a）+（a-b）（AB-a）-（AB-a）·a-（AB-b）（AD-a）=（AD-a）（AB-AB+b）+（AB-a）（a-b-a）=b·AD-ab-b·AB+ab=b（ADAB）=2b。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題解題時(shí)能正確表示出S1和S2是關(guān)鍵，矩形的邊長雖未具體給定但一定為定值，所以將（AD-a）以及（AB-a）視為公因式提取，使較為復(fù)雜的代數(shù)式變得簡單，從而得出結(jié)論。

小試身手

1.分解因式：3a2-6a+3=________。

2.分解因式：（m+1）（m-9）+8m=_______。

3.將下列多項(xiàng)式因式分解，結(jié)果中不含有因式a+1的是（ ）

A.a2-1 B.a2+a

C.a2+a-2D.（a+2）2-2（a+2）+1

4.若a+b=2，ab=-3，則代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值為_______。

5.有一張邊長為a厘米的正方形桌面，因?yàn)閷?shí)際需要，需將正方形邊長增加b厘米。木工師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的三種方案：

小明發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗(yàn)證公式：a2+2ab+b2=（a+b）2。

對(duì)于方案一，小明是這樣驗(yàn)證的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2。

請(qǐng)你根據(jù)方案二、方案三，寫出公式的驗(yàn)證過程。

參考答案

1.3（a-1）22.（m+3）（m-3）3.C4.-12

5.方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，