抓住思想方法助力數學解題

◎朱 萍

作為初中學生，掌握一些重要的數學思想方法不僅重要，而且必要。沒有脫離數學知識的數學思想方法，也沒有不包含數學思想方法的數學知識。有了數學思想方法作靈魂，各種具體的數學知識點就不會孤立、零散。如果我們在學習數學的過程中，能始終抓住數學的思想方法，那么學好數學知識、正確熟練解題將不再是難事。以下就談一下“整式乘法和因式分解”這一章中我們會遇到的數學思想方法。

一、數形結合思想

“數無形，少直觀，形無數，難入微”，利用“數形結合”把代數和幾何相結合，幾何問題用代數方法解答，代數問題用幾何方法解答，就可使所要研究的問題化難為易、化繁為簡。在本章的學習過程中，數形結合始終貫穿其中，教材從同一個圖形面積的不同計算方法引入，通過歸納得出法則或公式，最后通過驗算證實結論，讓我們體會到了借助圖形直觀發現整式乘法法則和乘法公式的好處，真正感悟數形結合的思想。

例1先閱讀后作答：我們已經知道，根據幾何圖形的面積關系可以說明完全平方公式，實際上還有一些等式也可以用這種方式加以說明，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用圖1的面積關系來說明。

圖1

（1）根據圖2寫出一個等式_____；

圖2

（2）已知等式：（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，請你畫出一個相應的幾何圖形加以說明。

【分析】第（1）小題長方形是由4個正方形和5個小長方形組成，從整體和分割兩個不同的角度分別表示該圖形的面積，就可列出等式。第（2）小題是反過來給出等式，要畫出相應的幾何圖形。題目前半部分提示我們：是否可以把等式的兩邊看成是長方形的面積的不同表示，左邊的x+p和x+q分別看成長方形的長和寬，右邊的多項式x2+（p+q）x+pq可以看成組成該長方形的各個圖形的面積和，易看出組成該長方形的圖形為一個邊長為x的正方形，三個長寬分別為x和p、x和q、p和q的長方形，從而很快畫出幾何圖形。

解：（1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）所畫圖形如下：

二、轉化思想

轉化思想是數學解題中的一種重要的思想方法，又稱化歸思想。它可以是已知與未知的轉化、特殊與一般的轉化、具體與抽象的轉化、動與靜的轉化等。在解題時，我們往往會用到把未知向已知轉化，從而求解。

例2 已知x2+2y2-2xy+2y+1=0，求x+2y的值。

【分析】本題已知的方程不是我們已經學過的一元一次方程，常規方法顯然不能解。由于該方程中含有x和y的平方項，并且有-2xy這個單項式，可以想到把原方程左邊的多項式轉化成兩個完全平方式，得到非負數之和為零的形式，進而求出字母的值。

解：∵x2+2y2-2xy+2y+1=0，

∴x2-2xy+y2+y2+2y+1=0，

∴（x-y）2+（y+1）2=0，

∴（x-y）2=0，（y+1）2=0，

∴x=-1，y=-1，

∴x+2y=-3。

三、分類討論思想

當我們研究的對象出現不確定因素的時候，就要按不同的情況進行分類討論。正確應用分類討論思想，是完整解題的基礎。

例3 多項式9x2+1加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的單項式可以是_______。

【分析】題目要滿足的條件是成為一個整式的完全平方，而整式包括單項式和多項式，如果結果是單項式的平方，那么加上的單項式就是-9x2或-1；如果結果是多項式的完全平方，則我們需要結合完全平方式的特征來看。完全平方式：a2±2ab+b2，其中有兩個平方項，符號都為正，中間項是兩數乘積的兩倍，符號是正負都可，那么如果把題中的兩項都看成平方項，不難得出添加的單項式應為±6x；若題中兩項看成一個是中間項、一個是平方項，則應添

解：-9x2或-1或±6x或

四、整體思想

整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。我們在解決數學問題時，往往只看到眼前的條件，或是只關注局部的問題，從小處著手，按常規方式思考問題，這樣往往會進入死胡同。事實上，我們在研究和解決數學問題時，如果能采用整體視角觀察思考，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，并進行整體處理，就會發現思路一下子拓寬了，過程優化了，題目變得簡單了。

例4 若x2+4x-4=0，則3（x-2）2-6（x+1）·（x-1）的值為（ ）。

A.-6 B.6 C.18 D.30

【分析】這題是求代數式的值。初中階段，代數式求值問題一般有兩種方法：一是把字母的值求出來，然后直接代入求解；二是整體代入求值。本題已知方程不是一元一次方程，在七年級階段，我們是無法求解的，即便以后會求，代入計算也是比較繁瑣的。這時我們就要考慮把方程變形成x2+4x=4，利用整體代入的方法求代數式的值。此處不急于做出選擇，把待求的代數式化簡、合并、整理后再做決定。

解：先化簡3（x-2）2-6（x+1）（x-1）=-3（x2+4x）+18，由x2+4x-4=0得 x2+4x=4，所以原式=-3×4+18=6，故選擇 B。