排列組合中的分組、分配問題的有效解法

張力瓊

[摘? ?要]分組、分配問題是排列組合問題中的典型問題，研究此類問題的解法，能幫助學(xué)生更好地理解排列組合的知識(shí)，也能提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]排列組合;分組;分配;問題

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）08-0030-02

排列組合中的分組、分配是一對(duì)相互聯(lián)系又易于混淆的概念，很多學(xué)生在具體題目的解答時(shí)伴有一種源于題目要求本身的疑惑和不確定，也有對(duì)這兩個(gè)概念的錯(cuò)誤解讀，因此大大降低了解答結(jié)果的準(zhǔn)確率，形成解題時(shí)的心理困惑.下面筆者就分組和分配的概念、分類、解法等做梳理，詳細(xì)介紹兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，以幫助學(xué)生正確理解和解決此類問題.

一、明辨概念，準(zhǔn)確理解

概念是最準(zhǔn)確的表述，而其邏輯嚴(yán)密、語言簡練、學(xué)科特征強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)往往會(huì)讓中等以下能力的學(xué)生在理解中存在一定困難.因此，教師的樸素解讀是學(xué)生理解的重要一步.

1.分配.把n個(gè)不同元素依據(jù)確定的條件分配給 m個(gè)不同對(duì)象，稱為分配問題.包括定向分配和不定向分配兩類.其關(guān)鍵詞：不同元素、不同對(duì)象、條件、分配.

2分組.把 n 個(gè)不同元素按照確定的條件分成m組（或m堆），稱為分組問題，包括平均分組、非平均分組和混合分組三類.其關(guān)鍵詞：不同元素、條件、分組.

從以上概念的關(guān)鍵詞足以看出，分配與分組聯(lián)系緊密、區(qū)別明顯.共同點(diǎn)：它們的每一個(gè)對(duì)象或每組分得的元素之間是無順序要求的.主要區(qū)別：分配問題涉及被分配的元素和接受元素的對(duì)象;分組問題則僅有被分組的元素，沒有接受元素的對(duì)象，各組之間無須考慮順序.

二、確認(rèn)分組，分類解析

分組問題中，元素間、組之間均無順序要求，一般包括三類：平均分組、非平均分組、混合分組.

1.平均分組.平均分組是指把n個(gè)不同元素平均分成m個(gè)組，每組r個(gè)元素.在具體問題解答中易于重復(fù)，造成分組方法成倍增加，所以需要通過元素個(gè)數(shù)較少的實(shí)例幫助學(xué)生理解，并推證出正確的計(jì)算公式.

[例1]把1、2、3、4這四個(gè)數(shù)平均分成2組，有多少種不同的分法？

分析：顯然是平均分組問題，與元素的順序無關(guān)，是組合問題.很多學(xué)生會(huì)列式為 [C24C22 ]= 6（種），并堅(jiān)信其正確性.下面通過列舉法來說明正確的分組方法數(shù).

1、2、3、4的各種分法情況列舉如右圖所示.

從右圖可以看出，[C24C22]=6（種）恰是平均分組且進(jìn)行定向或不定向分配的結(jié)果，而平均分組的結(jié)果應(yīng)該是[C24C22A22=3]（種）.這個(gè)錯(cuò)誤的產(chǎn)生源于各組元素個(gè)數(shù)相同、組之間也無序的特點(diǎn).因此，列舉法可以讓學(xué)生有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)和深刻的理解.于是得出平均分組的方法種數(shù)計(jì)算公式：

把n個(gè)不同元素平均分成m個(gè)組，每組元素r個(gè)，則共有分法[CrnCrn-r…CrrAmm] （種） .

2.非平均分組.非平均分組是指把n個(gè)不同元素分成m個(gè)組，每組的元素個(gè)數(shù)都不相同.由于這種分組方式不會(huì)出現(xiàn)因選取元素的先后順序而造成分組重復(fù)，所以按照選取元素所得到的方法種數(shù)就是實(shí)際分組方法種數(shù).其計(jì)算公式如下：

3.混合分組.混合分組是指把n個(gè)不同元素分成m個(gè)組，有一部分組內(nèi)元素個(gè)數(shù)是相同的，另一部分組內(nèi)元素個(gè)數(shù)不同.這類分組問題容易誤為非平均分組而計(jì)算錯(cuò)誤，所以需要以實(shí)例加以說明，從而正確解決.

解析：（1）屬于平均分組，其分法有[C26C24C22A33=15]（種）.

（2）非平均分組，共有[C16C25C33=60]（種）.

（3）混合分組，共有[C16C15C44A22=15]（種）.

通過例題解析，可以對(duì)分組的不同類型有一個(gè)更加清晰的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)其特征、算法的理解和熟悉.

三、明辨分配，不重不漏

分配問題是指把不同的元素分配給幾個(gè)不同對(duì)象，其各組間有確定的順序要求.一般包括兩類：定向分配和不定向分配.

1.定向分配.定向分配是指不同接受對(duì)象對(duì)接受的元素個(gè)數(shù)有確定要求，于是分組結(jié)果就是分配結(jié)果.

2.不定向分配.不定向分配中，各個(gè)不同對(duì)象對(duì)接受的元素個(gè)數(shù)不做限制，事實(shí)上就是先分組后排列的問題，其分組方法種數(shù)乘以所有對(duì)象個(gè)數(shù)的全排列數(shù).借助以上分析易于得出解不定向分配問題的一般原則：先分組后排列.

[例4]六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？

（1）分給甲、乙、丙三人，其中甲1本，乙2本，丙3本;

（2）平均分給甲、乙、丙三人，每人2本;

（3）分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本;

（4）分給甲、乙、丙三人，其中兩人各1本，一人4本.

分析：這組題屬于分配問題.第（1）題為定向分配問題，分組的分法種數(shù)即為分配結(jié)果;其余三題是不定向分配問題，這是此類問題中比較困難的一類. 因分給三人，同一本書給不同人是不同分法，所以歸為排列問題. 事實(shí)上可看作“分為三組，再將這三組分給甲、乙、丙三人”，因此只要將分組方法數(shù)再乘以組數(shù)的全排列數(shù)即可.

（1）共有[C16C25C33=60（種）];

（2）共有[C26C24C22A33?A33=90]（種）;

（3）共有[C16C25C33?A33=360]（種）;

（4）共有[C16C15C44A22?A33=90]（種）.

通過以上例題解析，可以對(duì)分配問題中的基本類型形成一個(gè)既有區(qū)別又有聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，并能分門別類，對(duì)應(yīng)解答.

總之，熟練掌握上述規(guī)律和結(jié)論，即能依據(jù)各自特征正確區(qū)別分組和分配，并靈活解決相關(guān)問題. 同時(shí)，把握分配規(guī)律，還能將一些其他的排列組合問題轉(zhuǎn)化為分配問題解決.在這里不再一一贅述.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）