談函數(shù)單調(diào)性證明方法的規(guī)范性及其教學(xué)

蔣培杰 馬恩榮

[摘? ?要]函數(shù)單調(diào)性證明的學(xué)習(xí)對(duì)發(fā)展學(xué)生“邏輯推理”核心素養(yǎng)非常重要. 從一線(xiàn)教師提出的關(guān)于學(xué)生試卷中函數(shù)單調(diào)性證明的評(píng)分困惑出發(fā)，分析學(xué)生解答的關(guān)鍵問(wèn)題所在，在介紹證明范式及其特點(diǎn)的基礎(chǔ)上提出教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生演繹推理的基本范式，并與所在教研團(tuán)體共同制定可以作為高一學(xué)生演繹推理前提的不等式及其性質(zhì)的一致標(biāo)準(zhǔn).

[關(guān)鍵詞]函數(shù);單調(diào)性;規(guī)范性;邏輯推理

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）08-0014-02

一、問(wèn)題的提出

數(shù)學(xué)教育研究工作者走進(jìn)課堂，研究教學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題已經(jīng)成為一種趨勢(shì)，有利于數(shù)學(xué)教育研究的健康發(fā)展和數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的提高. 以下問(wèn)題就是來(lái)自一名中學(xué)教師評(píng)卷時(shí)產(chǎn)生的疑惑. 相應(yīng)試題為：“證明函數(shù)[f（x）=1-3x+2]在區(qū)間[3，5]上單調(diào)遞增.”

在評(píng)卷時(shí)，該教師對(duì)如下學(xué)生的解答（圖1）無(wú)法判定是否能給滿(mǎn)分.

疑惑點(diǎn)在于由[x2+2>x1+2]得到[3x1+2>3x2+2]的合理性上. 這是一個(gè)常見(jiàn)的困惑，也讓學(xué)生感到很不自然：為什么顯然的事情還要詳細(xì)說(shuō)明？而這正是培養(yǎng)學(xué)生“邏輯推理”核心素養(yǎng)的重要機(jī)會(huì). 對(duì)這個(gè)困惑的解答要回到數(shù)學(xué)證明的含義上，深刻理解證明的含義對(duì)中學(xué)一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師發(fā)展學(xué)生的“邏輯推理”核心素養(yǎng)至關(guān)重要.

二、關(guān)于數(shù)學(xué)證明方法以及困惑的解答

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：邏輯推理是從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題，其中一類(lèi)是合情推理，一類(lèi)是演繹推理[1] .我們所說(shuō)的證明指的是演繹推理，是從一般到特殊的推理. 數(shù)學(xué)證明的標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)綜合評(píng)判的動(dòng)態(tài)體系[2]. 換言之，由于大前提不同，同樣一個(gè)解答對(duì)高一新生而言不構(gòu)成證明，而換成高二學(xué)生就是一個(gè)證明. 比如圖1所示解答，對(duì)高一學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)而言這能否構(gòu)成一個(gè)證明要看演繹前提，即命題“[a>b>0?1a<1b]”是否可以作為前提. 對(duì)于高一新生而言，能夠作為前提的自然是初中數(shù)學(xué)教材中的不等式及性質(zhì). 以新人教版初中數(shù)學(xué)教材為例，不等式的性質(zhì)有三條：

這與實(shí)數(shù)大小比較的基本性質(zhì)“（4）[a>b?a-b>0]”就構(gòu)成了一個(gè)可以作為高一學(xué)生演繹推理的前提的標(biāo)準(zhǔn). 標(biāo)準(zhǔn)中并沒(méi)有直接包括命題“[a>b>0?1a<1b]”，該命題也并不是顯然由上述四個(gè)性質(zhì)可得，需要作差變形后才能得到該判斷. 因此圖1的解答可以認(rèn)定為不嚴(yán)謹(jǐn)，但問(wèn)題并不全在于學(xué)生. 多數(shù)情況下，高一數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中并未明確指出必須以上述四個(gè)性質(zhì)（或其他形式的標(biāo)準(zhǔn)）作為函數(shù)單調(diào)性證明差的符號(hào)判定的依據(jù). 關(guān)于評(píng)分的困惑倒是反映出不少一線(xiàn)教師在培養(yǎng)學(xué)生“邏輯推理”核心素養(yǎng)上有所欠缺.

三、函數(shù)單調(diào)性證明的規(guī)范性與教學(xué)

函數(shù)單調(diào)性的證明是學(xué)生進(jìn)入高中初次接觸的證明問(wèn)題，是發(fā)展學(xué)生“邏輯推理”核心素養(yǎng)的重要課題. 函數(shù)單調(diào)性的證明有程式化的操作步驟，不妨以“函數(shù)[f（x）=x2]在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增”為例進(jìn)行證明. 規(guī)范的證明如下：

證明一般分為三步：第①步作差，第②步變形，第③步判斷差的符號(hào). 學(xué)生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是跳過(guò)上述第②步直接由第①步判定差的符號(hào)，但是上述判定符號(hào)的前提（上述四個(gè)不等式性質(zhì)）并不直接包括命題“[0

四、結(jié)論

根據(jù)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞的觀點(diǎn)，“學(xué)會(huì)猜想”和“學(xué)會(huì)證明”是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個(gè)重要目標(biāo)[3]. 而函數(shù)單調(diào)性證明的學(xué)習(xí)是學(xué)會(huì)證明的絕好機(jī)會(huì)之一. 教師應(yīng)該深入挖掘?qū)W生證明不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑颍页鰡?wèn)題本質(zhì).相應(yīng)問(wèn)題的解決往往就是培養(yǎng)學(xué)生證明能力、邏輯推理核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在. 日常教學(xué)中，教師應(yīng)該多學(xué)習(xí)、多思考，有更高的觀點(diǎn)，才能發(fā)現(xiàn)細(xì)致的問(wèn)題，才能洞悉問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)而更好地提高教學(xué)效率.

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

[1]? 中華人民共和國(guó)教育部制訂. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社， 2017.

[2]? 田楓，黃秦安.數(shù)學(xué)證明嚴(yán)格性之相對(duì)意義與綜合評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)[J].自然辯證法通訊，2016（1）：51-55.

[3]? Polya G. How to solve it： a new aspect of mathematical method[M].Princeton：Princeton University Press，1945.

（特約編輯 安? ?平）