月痕壽命研究

陸 林，李海陽，劉將輝

(國防科技大學空天科學學院，長沙410073)

1 引言

月痕是指人類活動在月面形成的痕跡，如航天員的腳印、月球車的車輪印記等。由于月球沒有大氣，月面活動產生的痕跡能夠長期保留而不消逝。雖然月球表面區域很大，但一旦留痕就很難消除，從它的這種特性來說，留痕的空間即月痕也是一種有限資源，可以作為民眾個性表達、紀念、盟誓乃至投資及宣傳的載體，是一種有望在近期獲得開發回報的資源[1]。

月痕壽命的長短在一定程度上影響月痕資源的開發價值，而影響月痕壽命的因素主要分為自然因素和人為因素兩方面，本文分別從這兩方面因素出發，分析它們對月痕的影響，估算月痕的壽命，為月痕資源開發提供理論支撐。

2 自然因素對月痕的影響

對月痕產生影響的自然因素主要包括微小流星體的撞擊和靜電浮揚月塵的沉積。下面分別分析它們對月痕壽命的影響。

2.1 微小流星體的撞擊

微小流星體通常是指小于1 g的流星體，平均密度為0.5 g/cm3；在沒有大氣保護的情況下，即便是很小的流星體，撞擊月球的速度也在2.4～7.2 km/s之間[2]。微小流星體的撞擊對月痕的影響主要有兩方面，一方面是撞擊月面以及二次濺射物導致的月塵沉積對月痕的影響，另一方面是在月面形成的撞擊坑對月痕的破壞。

2.1.1 微小流星體撞擊以及二次濺射物導致的月塵沉積

月面受到微小流星體撞擊的通量如式(1)所示[2]：

式中，Nt是在月面每平方米區域內，平均每秒受到質量大于或等于m的微小流星體的撞擊次數。m是微小流星體的質量，單位為克。由式(1)求得在月面平均每平方米區域內，每年累計受到微小流星體撞擊的次數與微小流星體質量的關系如圖1所示。

圖1 微小流星體撞擊次數與質量的關系Fig.1 Correlation of micrometeoroid flux and weight

微小流星體的撞擊導致月面產生二次濺射物，其平均密度是 2.5 g/cm3，平均速度是0.1 km/s。月面二次濺射物的通量如式(2)[2]：

式中，Nej是在月面每平方米區域內，平均每秒受到質量大于或等于m的二次濺射物的撞擊數量。由式(2)可得在月面平均每平方米區域內，每年累計受到二次濺射物撞擊的數量與微小流星體的質量關系如圖2所示。

圖2 二次濺射物數量與微小流星體質量的關系Fig.2 Correlation of secondary ejecta flux and weight

由于微小流星體的通量Nt對應的微小流星體質量是大于或等于m的，所以在微小流星體撞擊的影響下，月面每平方米區域內平均每秒沉積的月塵總質量不超過Mt如式(3)所示：

同理，在二次濺射物的影響下，月面每平方米區域內平均每秒沉積的月塵總質量不超過Mej如式(4)所示：

2.1.2 微小流星體撞擊形成的月面撞擊坑

月球表面的撞擊坑直徑從幾微米到幾十千米不等，統計結果顯示，撞擊坑的直徑越大，分布的越稀疏。撞擊坑的形狀主要有以下特征：直徑小于10 km的撞擊坑大致成碗形，直徑大于10 km的撞擊坑底部為平表面，形狀為盆形[3]。由于直徑大于10 km的撞擊坑的數量非常少，所以假設撞擊坑形狀均為碗形，在月面上的截面均為規則的圓形。

由文獻[4]可知，微小流星體的質量可以表示為式(5)：

式中，Me是速度為U的微小流星體撞擊月球時產生噴射物的質量，ρp為微小流星體的密度，ρt為月壤的密度。深度為P，直徑為D的撞擊坑的體積為式(6)[5]：

已知微小流星體的平均密度為0.5 g/cm3，平均撞擊速度為20 km/s，月壤的平均密度為3 g/cm3，撞擊坑的深度與直徑的比值為1∶5，結合式(5)、(6)可得到微小流星體質量與撞擊坑直徑的關系如式(7)：

假設每個撞擊坑只由一個微小流星體撞擊形成，結合式(1)，可得月面撞擊坑數目與撞擊坑直徑的關系如式(8)：

由此能夠得到在月面每平方米區域內，平均每年累計形成的撞擊坑數目與撞擊坑直徑的關系如圖3。

圖3 月面撞擊坑數目與直徑D的關系Fig.3 Correlation of the number and diameter of craters on lunar surface

假設每個撞擊坑對月痕的破壞面積為撞擊坑在月面形成的圓形截面面積，則在月面每平方米的區域內，直徑大于或等于D的撞擊坑平均每秒能夠對月痕造成破壞的面積至少是SD，如式(9)所示：

因為撞擊坑數目Nt對應的撞擊坑直徑是大于或等于D的，所以在月面每平方米的區域內，平均每秒因撞擊坑而遭受破壞的總面積最大為S，如式(10)所示：

2.2 靜電浮揚月塵的沉積

月塵的靜電浮揚現象主要是由太陽風和太陽輻射引起的[6]。如圖4所示，月表月塵的帶電機制主要有太陽輻射引起的光電效應、太陽風中的電子流和離子流作用，細小的帶電月塵在月表電場的作用下發生靜電浮揚[6]。經研究發現，月塵靜電浮揚現象與月塵粒徑和太陽高度角有關[7]。月塵粒徑越小，越容易發生靜電浮揚現象，亞微米級的月塵能達到月球表面100 km以上的高度，粒徑大于1 μm的月塵平均運動高度在10 m以下，大于100 μm的月塵很難發生靜電浮揚；太陽高度角越小，越容易發生靜電浮揚現象，月球表面晨昏線處靜電浮揚現象最劇烈，形成一條從月球北極延伸至南極的狹長薄膜狀的月塵風暴，并隨著月表晨昏線的移動而移動[8-9]。

圖4 月塵靜電浮揚機制Fig.4 Mechanisms of electrostatic floating of lunar dust

根據靜電浮揚月塵運動狀態的不同，可以將其分為靜態懸浮月塵和動態浮揚月塵[10]，如圖5所示。在這兩類靜電浮揚月塵中，靜態懸浮月塵主要是懸浮在距月面10 cm范圍內的局部電場中的微米級月塵顆粒，動態浮揚月塵主要是浮揚高度可達幾千米以上的亞微米級的月塵顆粒。因為月球表面晨昏線處月塵靜電浮揚現象最劇烈，大量月塵從黑暗半球浮揚、到明亮半球沉積[10]，所以假設月表晨昏線處的靜電浮揚月塵均為動態浮揚月塵，其沉積對月痕的壽命產生主要影響，而其它區域的靜電浮揚月塵均為靜態懸浮月塵，對月痕的影響可忽略不計。

如圖5(b)所示，根據月塵的動態噴泉模型[11]，月塵顆粒一旦獲得足夠的電荷，直至克服重力Fg和粘性力Fc，即Fq＞Fg+Fc時，將離開月球表面，在高度為λD的鞘層區域內加速上升，其中λD為月表離子的德拜長度。因為月塵顆粒小、質量輕，在到達λD的高度前，重力相對于初始的靜電加速作用可忽略不計。月塵顆粒以一個向上的速度Vexit離開鞘層區域，在月面重力作用下以近似彈道的軌跡落回月球表面。

圖5 靜電浮揚月塵的靜態懸浮和動態“噴泉”模型Fig.5 Static levitation and dynamic fountain model of lunar dust

月塵顆粒在鞘層區域內的加速度為式(11)：

式中，aq是靜電加速度，gL＝1.62 m/s2為月球表面重力加速度。假設aq只在月球表面鞘層區域內作用，大小為式(12)：

式中，φs是月球表面電勢，ε0是真空介電常數8.85×10-12F/m，ρ是月塵顆粒的密度，單位為kg/m3，rd為月塵顆粒的半徑。月球表面帶電離子的德拜波長[7]為式(13)：

式中，npe0是月球表面的光電子密度，kB是玻爾茲曼常數1.38×10-23，Tpe是太陽輻射的溫度，qe是基本電荷量。月塵顆粒離開鞘層區域時的速度Vexit為式(14)：

式中，Zmax是月塵顆粒能夠到達的距月面最高的高度[11]，大小為式(15)：

其中，式(15)成立的條件是aq＞gL。 月塵顆粒到達Zmax的高度時所需時間為式(16)：

式中，tsh是月塵顆粒通過鞘層區域的時間，tbal是月塵顆粒離開鞘層后以彈道軌跡上升到最高處的時間。因為動態浮揚月塵的浮揚條件是aq＞gL，則能夠發生動態浮揚的月塵顆粒的最大半徑為式(17)：

顆粒半徑小于或等于rmax的月塵在電場的作用下將會發生動態浮揚，大于rmax的月塵將會保持靜態懸浮或者停留在月球表面。

已知月表晨昏線處電子流的溫度為1.1×105K，電子流密度為7 e/cm3[10]，由式(13)可得月表晨昏線處帶電離子的德拜波長為8.66 m。月表晨昏線處電勢為-36 V，則發生動態浮揚的月塵顆粒的最大半徑為0.9 μm。動態浮揚月塵顆粒上升的最大高度Zmax、所需時間tmax與月塵顆粒半徑rd的關系分別如圖6、圖7所示。

圖6 浮揚最大高度與月塵顆粒半徑關系Fig.6 Correlation of the maximum height reached and dust grain radius

圖7 到達最大高度所需時間與月塵顆粒半徑的關系Fig.7 Correlation of the time taken to reach Zmaxand dust grain radius

在粒徑小于20 μm的月塵顆粒中，有90%的顆粒粒徑小于2 μm，中值粒徑在 0.1～0.4 μm 之間[12]，而發生動態浮揚的月塵粒徑均小于0.9 μm，故假設動態浮揚月塵粒徑均為0.25 μm。進而得到動態浮揚月塵的最大浮揚高度Zmax為113.28 m，所需時間tmax為12.3056 s。

由McCoy的“0”模型[13]可知，月表晨昏線處單位面積區域上垂直方向的月塵柱密度為10-9g/cm3。因為動態浮揚月塵上升到最大高度的時間tmax為12.3056 s，所以在每平方厘米的區域內，平均每秒發生動態浮揚的月塵的質量為8.1264×10-11g。 由于月球晝夜交替周期為四周，月表晨昏線移動速度為4.3 m/s，假設月表晨昏線在移動時，所掠過區域內揚起的月塵，在晨昏線經過后，全部沉積到月面上，那么在月面每平方米的區域內，平均每年沉積的動態浮揚月塵質量約為1.1377×10-5g。

3 人為因素對月痕的破壞

影響月痕的人為因素主要有以下四種：①航天員的行走。航天員穿著較大的保護靴在月面行走時，由于月球低重力、高真空的環境，月塵很容易被踢起，因此航天員行走時不僅留下的腳印可能會破壞原有的月痕，而且被踢起的月塵在沉積后也會對月痕產生影響。據有關資料[14]顯示，因航天員行走導致月塵顆粒揚起的最大高度和速度分別是4 m、3.6 m/s。②采樣、鉆孔、施工等活動。航天員在月面上進行此類活動時，不可避免的會破壞月面原有痕跡。③月球車的漫游。月球車在月面上以3.56 m/s勻速行進時卷起的月塵可達20 m遠[15]，在月面上留下的車輪印記和卷起的月塵均會對月痕產生不同程度的影響。④飛行器的著陸與起飛。飛行器在著陸或起飛時，發動機噴射出的燃氣羽流將與月塵發生相互作用，激起大量月塵，月塵顆粒以較低的初射角度向外噴射，形成向四周擴散的月塵云，這些月塵在離著陸點不同的距離沉積后也會對月痕產生不同程度的影響。

在這四種因素中，飛行器的著陸與起飛激起的月塵最多[16]，月塵擴散的區域最大，對月痕的破壞也最嚴重，因此主要從飛行器的著陸與起飛這一因素出發，分析其對月痕壽命的影響。

Katzan等[16]根據Surveyor III和Apollo 12的著陸情況，采用正態分布函數統計方法逼近實際的數據，確定其中的參數，再基于待解決的問題的實際觀測結果，對相應變量進行修正，大致估算出月塵顆粒的分布，分析了推力為13400 N的月球探測器在月球表面著陸時發動機羽流對附近月塵的作用，計算了距離著陸點不同位置的月塵顆粒數分布。

根據該方法，設噴射角度為θ，由于月塵顆粒運動軌跡幾乎是水平的，因此θ取0～1°。 當給定θ時，揚起月塵顆粒總數與離著陸點距離的關系如式(18)：

4 沙痕試驗

上文對影響月痕的自然因素和人為因素進行了具體分析，得到了不同因素對月痕的影響結果，但對月痕壽命進行估算還需要確定月痕被完全覆蓋時所需月塵的厚度。因此，設計并開展如下沙痕試驗。

4.1 試驗過程

通過進行沙痕試驗，測量一定深度的沙面痕跡被完全覆蓋時所需細沙的厚度，進而估計一定深度的月痕被完全覆蓋時所需月塵的厚度，為月痕壽命的估算提供事實依據。

首先，在氣流平穩的天氣下，選擇一個平坦的沙面區域，如圖8(a)所示。然后在平坦的沙面上刻劃出深度為2 cm的“月”字痕跡，如圖8(b)所示。

接著用篩子將細沙均勻地篩落在沙面區域上，以此來模擬沉積的月塵對月痕的覆蓋過程，隨著細沙的不斷沉積，沙痕的清晰度也在不斷地下降，如圖9所示。

經過一段時間后，沙痕已經變得十分模糊。為了更加準確地確定沙痕是否到達無法辨認的程度，在試驗過程中請了十個人對沙痕的清晰程度作出判斷，最終選擇了以下三種狀態的沙痕作為沙痕無法辨認的樣本，如圖10所示。

圖8 試驗的初始情況Fig.8 Beginning of experiment

圖9 不斷模糊的沙痕Fig.9 Constantly vague sand trace

圖10 沙痕無法辨認時的樣本Fig.10 Unidentifiable sand trace samples

將沙痕的辨認難度分為完全可辨認、易辨認、難辨認、很難辨認、無法辨認5個等級，分別計為1、2、3、4、5 分，10 個人分別對以上 3 個樣本的辨認難度作出了各自的判斷并進行打分，打分結果如表1所示。

由表1可知，十名試驗人員對3個樣本的平均打分分別為3.9分、4.5分、5分。樣本3的平均打分為5分，因此可以認為樣本3的沙痕為最終無法辨認的狀態，即沙痕被完全覆蓋。

4.2 結果分析

在確定沙痕無法辨認的狀態后，測得此時覆蓋沙痕的細沙厚度為3.8 cm，即深度2 cm的沙痕被完全覆蓋時至少需要3.8 cm厚的細沙。因為月壤的平均孔隙比大于地球上細沙的孔隙比[17]，由此可推算深度為2 cm的月痕被完全覆蓋時需要的月塵厚度一定大于3.8 cm。

表1 沙痕樣本的辨認難度打分結果Table 1 Results of grades on recognizable degree of sand trace samples

5 月痕壽命估算

本節基于不同因素對月痕壽命的影響的分析，結合沙痕試驗的結果，分別估算月痕在不同因素影響下的壽命。假設在月球表面平坦區域存在一個30 cm×20 cm×2 cm的月痕，由沙痕試驗的結論可知，完全覆蓋此月痕至少需要30 cm×20 cm×3.8 cm的月塵。月塵顆粒的密度范圍為2.3～3.1 g/cm3[18]，假設月塵顆粒密度均為2.7 g/cm3，則該月痕被完全覆蓋至少需要6156 g的月塵。

首先，估算月痕在微小流星體撞擊及二次濺射物的影響下的壽命。由式(3)、(4)計算可得，在月面每平方米區域內，平均每年沉積的月塵總質量分別不超過1.5316×10-6g、0.1285 g。在這種情況下，平均每年覆蓋到該月痕上的月塵總質量最多為0.007 1009 g，沉積的月塵厚度隨時間的變化如圖11所示。當月塵厚度超過3.8 cm時，月痕被完全覆蓋，則完全覆蓋此月痕至少需要866 932年的時間，即在微小流星體撞擊及二次濺射物的影響下，該月痕的壽命大于866 932年。

其次，估算月痕在撞擊坑破壞下的壽命。由式(10)計算可知，在月面每平方米的區域內，平均每年因撞擊坑破壞的總面積不超過1.185×10-6m2，那么月痕被破壞的概率與時間的關系如圖12所示。

圖11 沉積的月塵厚度與時間的關系Fig.11 Correlation of thickness of dust deposition and time

假設月痕被破壞的概率超過0.5，便視作此月痕被完全破壞，則月痕被完全破壞需要超過421 941年的時間，即在撞擊坑的破壞下，該月痕的壽命大于421 941年。

再次，估算月痕在靜電浮揚月塵沉積的影響下的壽命。假設月表晨昏線在經過此月痕時，一秒鐘所掠過的4.3 m×4.3 m區域內揚起的月塵，在晨昏線經過后，全部沉積到該月痕上。那么每年有質量約為2.1036×10-4g的月塵沉積到該月痕上，沉積的月塵厚度隨時間的變化如圖13所示。由圖13可知，沉積的月塵厚度超過3.8 cm需要大于2.926×107年的時間，即在靜電浮揚月塵沉積的影響下，該月痕的壽命大于2.926×107年。

最后，估算月痕在飛行器著陸與起飛的影響下的壽命。在離著陸點距離為x的地方，將在0～1°之間的100個噴射角度下到達該處的月塵顆粒數累加，得到擴散至該處的月塵顆粒總數，經過轉換后得到距著陸點x處的單位面積區域內月塵沉積的質量。根據 Surveyor III實際觀測的數據[16]——距著陸點155 m處月塵沉積質量為1 mg/cm2，對模型的系數進行修正。最終經過轉換得到沉積的月塵厚度與到著陸點距離的關系，如圖14所示。

圖13 沉積的月塵厚度與時間的關系Fig.13 Correlation of thickness of dust deposition and time

圖14 沉積的月塵厚度與到著陸點距離的關系Fig.14 Correlation of thickness of dust deposition and distance from landing site

由圖14可以看出，沉積的月塵厚度在距著陸點約100 m處達到最大，超過3.5×10-4cm。在距著陸點3500 m及更遠的地方，沉積的月塵幾乎為零。根據不同位置沉積的月塵厚度，可以得到完全覆蓋月痕時，飛行器著陸或起飛的次數與月痕到著陸點距離之間的關系，如圖15所示。

圖15 飛行器著陸或起飛次數與距離的關系Fig.15 Correlation of number of spacecraft landing or launch and distance

假設著陸點距上述月痕100 m，則一次著陸或起飛對該痕跡不足以產生嚴重的影響，月痕依舊能夠保持很久。若該月痕被完全覆蓋，將需要進行10 160次著陸或起飛。未來如果在月球開發基地建設的過程中以及建成之后，每年都將需要飛行器運輸一些保障基地正常運轉和航天員日常生活的物資，假設采用此種推力的飛行器每年在同一著陸點分別進行一次著陸和起飛，那么該月痕的壽命為5130年，若采用更大推力的飛行器進行運輸時，揚起月塵的沉積量將會更多，月痕壽命也會隨之縮短。

6 結論

1)由月痕壽命估算的結果可知，月痕一旦在月面形成，在沒有人為破壞的情況下，其壽命至少長達數十萬年，完全可以作為一種資源用于開發。

2)關于人為因素對月痕的破壞，飛行器的著陸與起飛對月痕壽命的影響程度較大。未來在進行月痕資源開發時，為避免其對月痕的影響，可以在月球上建立專門的著陸場，確保著陸場離月痕資源開發區域的距離超過3500 m。