基于模糊層次分析法的射擊有利度分析模型

李彩峰，徐 鋒，張玉梅，孟麗潔，王 偉

（北方自動(dòng)控制技術(shù)研究所，太原 030006）

0 引言

射擊有利度是評估武器火力打擊效果的一種指標(biāo)，它的計(jì)算是火力分配中重要的一環(huán)，防空火炮的射擊有利度是指其對空襲兵器施行打擊的有利水平，結(jié)合對來襲兵器的威脅度評估和射擊有利度，可以有效地分配防空火力單元。對射擊有利度有影響的內(nèi)容具有多因素、多層次的特點(diǎn)，因此，適合構(gòu)建多層次結(jié)構(gòu)模型。再使用層次分析法的理論就可以分析出各個(gè)因素的權(quán)重，然后再結(jié)合火炮和空襲兵器的具體參數(shù)即可計(jì)算出射擊有利度。

層次分析法中所有的計(jì)算都依賴于其比較判斷矩陣的構(gòu)建，而采用傳統(tǒng)理論構(gòu)建的比較判斷矩陣存在如下缺陷：1）采用數(shù)值1～9表示相對重要的程度，同時(shí)采用其倒數(shù)表示相對不重要的程度，這種表示方法不具備線性性。2）比較判斷矩陣的一致性需要計(jì)算矩陣的最大特征值，計(jì)算復(fù)雜度相對較高。3）判別矩陣的一致性驗(yàn)證CR＜0.1缺乏理論依據(jù)。4）一致性的驗(yàn)證與人類的思維差異性較大。5）判斷矩陣在出現(xiàn)不一致的情況下時(shí)再調(diào)整較為復(fù)雜。針對這些問題，按照比較重要程度的線性關(guān)系，再結(jié)合人類思維的一致性，從而提出模糊一致矩陣，構(gòu)建模糊層次分析法。本文利用文獻(xiàn)[1]中構(gòu)建的防空火炮的射擊有利度模型比較了兩種方法。

1 模糊層次分析法

1.1 層次分析法

層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一種將定性分析轉(zhuǎn)化為定量分析的有效方法。層次分析法的實(shí)現(xiàn)一般需要以下4個(gè)步驟。

1.1.1 建立模型

建多層次模型是層次分析法的基礎(chǔ)。如圖1所示，多層次模型由最上層的目標(biāo)層、制約目標(biāo)層的準(zhǔn)則層和對準(zhǔn)則層直接相關(guān)的方案層[2]。

圖1 多層次模型結(jié)構(gòu)

構(gòu)建準(zhǔn)則層是為了細(xì)分影響決策目標(biāo)的因素，這些影響因素具有獨(dú)立性，根據(jù)需要可將準(zhǔn)則層再分解，構(gòu)建樹狀的多層次模型，如圖1所示，模型中的每一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)都與備選方案直接相關(guān)。

1.1.2 生成比較判斷矩陣

建立比較判斷矩陣是建模過程中由定性轉(zhuǎn)為定量的關(guān)鍵一步，一般情況下使用表1表示兩個(gè)因素之間的相對重要程度。

相對應(yīng)地，使用這些數(shù)字的倒數(shù)表示相對不重要的程度。通過一定的調(diào)查方法，比如專家咨詢法，得出各個(gè)準(zhǔn)則之間的重要關(guān)系數(shù)值，生成比較判斷矩陣，該矩陣中第i行第j列的元素表示第i個(gè)元素相比于第j個(gè)元素的重要程度，一般而言，該矩陣對角線對稱的元素互為倒數(shù)[3-4]。

1.1.3 一致性檢驗(yàn)

在實(shí)際情況下，比較判斷矩陣中元素的選取可能不符合實(shí)際情況，比如元素1相對于元素2重要程度為9，元素2相對于元素3重要程度為3，但是元素1相對于元素3的重要程度為2，就不符合一致性規(guī)則。因此，一個(gè)為經(jīng)過一致性檢驗(yàn)的比較判斷矩陣是無法使用的。層次分析法采用如下步驟進(jìn)行檢驗(yàn)：1）計(jì)算一致性指標(biāo)，其中n表示元素的個(gè)數(shù)，即比較判斷矩陣的階數(shù)，表示比較判斷矩陣的最大特征值。2）查詢一致性指標(biāo)RI，如表2所示。

1.1.4 結(jié)果計(jì)算

根據(jù)比較判斷矩陣可以得到各個(gè)因素的權(quán)重，計(jì)算方法有幾何平均法、算數(shù)平均法、最小二乘法和特征向量法等。然后給出各個(gè)方案在不同的葉子節(jié)點(diǎn)上歸一化后的值，將歸一化后的值與權(quán)重相乘后相加直到求出決策目標(biāo)的值，即根據(jù)決策目標(biāo)值的大小比較各個(gè)方案的優(yōu)劣[5-6]。

1.2 模糊一致矩陣

針對引言中提到的層次分析法中比較判斷矩陣存在的問題，采用模糊一致矩陣代替?zhèn)鹘y(tǒng)層次分析法中的比較判斷模型，可以較好地解決這些問題。

1.2.1 定義

設(shè)存在階數(shù)為n的方陣Cn×n，其第i行第j列的元素為cij，滿足以下3個(gè)條件：

則稱方陣C為模糊一致矩陣，如果方陣不滿足條件2，則稱其為模糊矩陣。

1.2.2 特性

模糊一致矩陣具備模糊性、對稱性和一致性：

1）模糊性，鑒于需要得出各種因素之間的權(quán)重，故而將兩種元素之間的關(guān)系定義為模糊關(guān)系“XX比XX重要”，所以可以使用0到1之間的數(shù)值衡量這種關(guān)系，如果使用其他數(shù)值，就可以使用歸一化方法將其放縮到0到1之間。

2）對稱性，關(guān)系“兩者同樣重要”可以選取0到1之間的中間值0.5來表示，大于0.5的值表示前者比后者重要，相應(yīng)地，小于0.5的值表示后者比前者重要，假設(shè)元素1比元素2的重要關(guān)系的數(shù)值為m，那么根據(jù)上述取值的方式可知1-m則表示元素1不比元素2重要的程度，即元素2比元素1重要的程度。這即模糊一致矩陣的對稱性。

3）一致性，使用數(shù)值A(chǔ)表示元素1比元素2重要的程度，B表示元素2比元素3重要的程度，C表示元素1比元素3重要的程度，根據(jù)人類思維的一致性，C-B表示元素1相對于元素2的相對重要程度，再加上元素2相對于本身的重要程度即元素1比元素2的重要程度，即A=C-B+0.5。

模糊性從模糊關(guān)系的角度給出了元素之間重要程度的關(guān)系，對稱性從線性角度給出了衡量比較元素之間重要程度的數(shù)量值，一致性不僅是從邏輯上給出了其定義，而且其檢驗(yàn)相對于計(jì)算最大特征值的方式計(jì)算復(fù)雜度低。

進(jìn)一步對模型概率估計(jì)結(jié)果進(jìn)行了研究,以對比UIF-IMM 2與UIF-IMM 1兩種方法,找出提高位置和角度精度的原因.如圖5所示,UIF-IMM 2考慮了基于各種傳感器的累積似然函數(shù),使濾波器能夠更精確地估計(jì)模型概率,從而對狀態(tài)和協(xié)方差進(jìn)行更精確的融合和估計(jì).

類似于比較判斷矩陣，可以給出模糊一致矩陣的度量及其含義，如表3所示。

表3 模糊一致矩陣的度量及其含義

2 實(shí)例

文獻(xiàn)[1]構(gòu)建了一種基于層次分析法的防空火炮的射擊有利度模型，本節(jié)將使用模糊層次分析法重新構(gòu)建該模型，并比較兩者之間的差異。

2.1 模型

利用層次分析法構(gòu)建如圖2所示的防空火炮對不同批次的空襲目標(biāo)的射擊有利度層次結(jié)構(gòu)模型：

圖2 射擊有利度的多層次模型

射擊精度越高、有效射擊時(shí)間越長、穿越次序越早、目標(biāo)被彈面積越大，對射擊越有利。而針對射擊精度而言，目標(biāo)高度越低、目標(biāo)速度越低，射擊精度越高，目標(biāo)航路捷徑等于瞄準(zhǔn)死界半徑時(shí)，射擊精度最大，大于瞄準(zhǔn)死界時(shí)，航路捷徑越大，精度越低，小于瞄準(zhǔn)死界時(shí)，無法瞄準(zhǔn)故而精度為0。針對目標(biāo)被彈面積而言，可以根據(jù)不同類型的目標(biāo)判斷其被彈面積[7-8]。

空襲武器的飛行高度、飛行速度、航路捷徑、飛行時(shí)間、機(jī)型大小、穿越次序一般無法直接用于模型，需要使用效用方法將這些數(shù)據(jù)歸一化后帶入模型，效用方法參見文獻(xiàn)[1]。

2.2 數(shù)據(jù)計(jì)算

2.2.1 比較判斷矩陣與模糊一致矩陣

使用歸一化方法可以直接將比較判斷矩陣轉(zhuǎn)化為模糊矩陣，然后對模糊矩陣進(jìn)行修正可以得到模糊一致矩陣。由文獻(xiàn)[1]中層次分析法得到的比較判斷矩陣如表4、表5所示。

表4 準(zhǔn)則層1對射擊有利度的比較判斷矩陣

表5 準(zhǔn)則層2對射擊精度的比較判斷矩陣

其中C1表示射擊精度，C2表示有效射擊時(shí)間，C3表示穿越次序，C4表示被彈面積，D1表示目標(biāo)高度，D2表示目標(biāo)速度，D3表示航路捷徑，利用歸一化方法將比較判斷矩陣轉(zhuǎn)化為如表6、下頁表7所示的模糊矩陣。

表6 準(zhǔn)則層1對射擊有利度的模糊矩陣

表7 準(zhǔn)則層2對射擊精度的模糊矩陣

表8 準(zhǔn)則層1對射擊有利度的模糊一致矩陣

表9 準(zhǔn)則層2對射擊精度的模糊一致矩陣

2.2.2 計(jì)算射擊有利度

計(jì)算射擊有利度需要首先計(jì)算準(zhǔn)則層相對于其目標(biāo)的效用，即準(zhǔn)則層對其目標(biāo)的影響力度的大小，這里使用權(quán)重表示。使用ωi表示第i個(gè)因子的權(quán)重。比較判斷矩陣一般使用特征值法求解權(quán)重。而對于模糊一致矩陣，可以推導(dǎo)出其權(quán)重?cái)?shù)值滿足：

其中rij表示模糊一致矩陣中的第i行第j列元素，a是一個(gè)調(diào)節(jié)因子，其范圍是（0，0.5]，其大小表示人們對各個(gè)影響因素差異性重視度的大小，本文將a的取值為0.5。求解可得兩種矩陣的權(quán)重如表10、表11所示。

表10 準(zhǔn)則層1對射擊有利度的權(quán)重表

表11 準(zhǔn)則層2對射擊精度的權(quán)重表

可以看出，雖然在數(shù)值上，兩種矩陣所得的權(quán)重?cái)?shù)值不同，但是在整體的起伏上，其結(jié)果大致相似。

為了得到射擊有利度，首先從文獻(xiàn)[1]獲得空襲兵器的參數(shù)，如表12所示。

表12 6批不同空襲兵器的部分參數(shù)表

利用原文獻(xiàn)中的效用方法將這些數(shù)據(jù)做歸一化處理可得下頁表13所示。

將目標(biāo)高度、目標(biāo)速度和航路捷徑與其對應(yīng)的權(quán)重相乘后求和可得到射擊精度的效用值，如表14所示。

使用同樣的方法對射擊精度、有效射擊時(shí)間、穿越次序和目標(biāo)類型做處理可得出防空火炮對各個(gè)批次空襲兵器的射擊有利度，如表15所示。

可以看出，這兩種方法得出一致的排序，而且在具體的數(shù)值上差別不大。但是使用模糊一致矩陣在計(jì)算復(fù)雜度上減小了，同時(shí)在檢驗(yàn)一致性和矩陣修正兩方面有了很大的簡化。

3 結(jié)論

模糊層次分析法針對傳統(tǒng)的層次分析法存在的計(jì)算復(fù)雜度高，一致性判斷概念相對模糊以及和人類的思維不符，比較判斷矩陣數(shù)據(jù)的限定缺乏依據(jù)，一致性調(diào)整復(fù)雜的問題給出了改進(jìn)，本文一方面從理論上給出了模糊層次分析法的優(yōu)越性，另一方面使用實(shí)例，使用兩種方法生成數(shù)據(jù)并進(jìn)行了對比，證實(shí)了模糊層次分析法取得了和層次分析法一致的結(jié)果。綜合這兩方面可知模糊層次分析法具有更好的實(shí)用性。

表13 6批不同空襲兵器的歸一化數(shù)據(jù)

表14 兩種不同方法得出的射擊精度效用值

表15 兩種不同方法得出的射擊有利度