基于整距匝電勢的相繞組電勢表達式之推導

(華南理工大學電力學院，廣東廣州 510640)

0 引言

在導出交流繞組相繞組電勢表達式時，傳統電機學教科書[1～11]都是從一根導體的電勢表達式出發的。這種方法基于磁場切割導體感生電勢。法拉第電磁感應定律還有另一種表現形式，那就是e=-Ndφ/dt，即磁通變化感生電勢。本文主要介紹這種方法。

說明：(1) 本文只討論一對極基波情形。多對極及諧波情形不難類推。(2) 電動勢簡稱為電勢。(3)匝有時也稱線匝。

1 短距匝和整距匝的電勢

1.1 短距匝電勢

當轉子轉到如圖1所示位置時，轉子基波磁場的分布圖如圖2所示。

圖1 短距線匝示意圖

圖2 基波磁場分布圖

短距線匝的節距記為y，極距記為τ，短距線匝在定子內圓所張的電角度記為γ，易知

(1)

γ的補角記為ε，ε=π-λ。θ為沿定子內圓建立的電角度坐標，其原點位于磁極中心線。此時，穿過短距線匝的磁通達到最大值，記之為Φγ。穿過整距線匝的磁通最大值記為Φτ，取整距線匝的節距等于極距τ之意。顯然，當γ=π時，Φγ=Φτ。

穿過短距線匝的磁通之瞬時值記為φγ，轉子角速度記為ω，以圖2所在瞬間作為時間原點，則有

φγ=Φγcosωt

(2)

下面計算Φγ

記定子內圓之半徑為r，沿定子內圓積分的長度微分記為dx，則有

dx=rdθ

(3)

記定子鐵心軸向長度為l，沿定子內圓積分的面積微分記為ds，則有

ds=ldx

(4)

穿過面積微分ds的磁通微分記為dφ，則由式(3)、式(4)兩式知

dφ=bds=blrdθ

(5)

因極距長度為τ，故有

τ=πr

(6)

由式(5)、式(6)，參見圖2，并計及式(1)，知

=Φτkp

(7)

式(7)中，引入了短距系數kp。

(8)

顯然，短距系數與傳統方法的無異。

以式(7)代入式(2)，得

φr=Φτkpcosωt

(9)

記短距匝電勢為Et(有效值)、et(瞬時值)，t取turn(匝)之意。f為與角頻率ω對應的時間頻率。注意到匝數為1，由法拉第電磁感應定律可知

=ωΦτkpsinωt

(10)

=4.44fΦτkp

(11)

1.2 整距匝電勢

為了與短距情形區別，記整距匝電勢為ET。當γ=π時，有kp=1，可知

(12)

顯然，整距是短距的一種特殊情形。

2 線圈的電勢

線圈的匝數記為Nc，線圈電勢記為Ec，c取coil之意。由式(11)、式(12)易知

Ec=NcEt=4.44fΦτNckp

=ETNckp=ETNceff

(13)

Nceff=Nckp

(14)

式(13)中，Nceff是短距線圈折算到整距線圈時的匝數，可稱為“短距線圈的有效匝數”，eff取effective之意。

3 線圈組的電勢

線圈組的匝數記為Nq，線圈組電勢有效值記為Eq，q取一個線圈組含q個線圈之意。槽距電角度記為α。分布系數記為kd。由傳統的推導方法可知，

Eq=qEckd

(15)

以式(13)代入式(15)，可得

Eq=ETqNckpkd=ETNqeff

(16)

Nqeff=qNckpkd

(17)

式(16)中，Nqeff是由短距、分布線圈構成的線圈組折算到由整距、集中線圈構成的線圈組時的匝數，可稱為“線圈組的有效匝數”。

4 相繞組的電勢

相繞組的電勢記為EΦ。相繞組的并聯支路數記為a，支路匝數記為Nb，b取branch之意。支路匝數，傳統稱為“每相串聯匝數”，意義含混。難道還有“每相并聯匝數”不成？顯然，沒有。故本文特別提出“支路匝數”名稱，以取代“每相串聯匝數”。只是名稱不同而已，所指的對象是相同的。

記相繞組總匝數為NΦ，繞組極對數為p。

對單層繞組言，NΦ=pNq。

對雙層繞組言，NΦ=2pNq。

對單、雙層繞組言

(18)

ks=1/a，a≥1，ks≤1。ks稱為并聯系數(s代表shunt，并聯之意)，它表示與串聯比較，并聯引起相繞組電勢計算匝數的減少。采用支路匝數時，相繞組電勢為

EΦ=4.44fNbkpkdΦτ

(19)

將式(18)代入式(19)，得

EΦ=4.44f(ksNΦ)kpkdΦτ

=(4.44fΦτ)NΦkpkdks

=ETNΦeff

(20)

NΦeff=NΦkpkdks

(21)

式(21)中，NΦeff是考慮到短距、分布、并聯三個因素后，計算相繞組電勢時，折算到整距線匝的有效匝數，可稱為“相繞組有效匝數”。

5 結語

5.1 基于整距匝電勢ET，本文導出

(1)線圈電勢表達式為

Ec=ETNceff

(22)

Nceff=Nckp

(23)

(2)線圈組電勢表達式為

Eq=ETNqeff

(24)

Nqeff=qNckpkd

(25)

(3)相繞組電勢表達式為

EΦ=ETNΦeff

(26)

NΦeff=NΦkpkdks

(27)

5.2 各電勢表達式有一共同特點，都等于整距匝電勢ET與相應的有效匝數之乘積，非常整齊。這顯然具有美感，且還便于記憶。

5.3 各有效匝數表達式也有共同特點，都是實際匝數與相應系數的乘積，這些系數層層遞進，與繞組的結構過程(短距、分布、并聯)相對應，從kp到kpkd，再到kpkdks，同樣具有美感，便于記憶。

5.4 本文的方法與傳統電機學教科書的方法相比較，雖然兩種方法都對，但是，本文的方法更有美感，更易于理解、記憶。