拋物線與x軸所圍面積公式

尚佩瑤 魏春強

摘 要：結合初高中知識與高等數學知識，推導出一個拋物線與x軸圍成圖形的面積公式。

關鍵詞：拋物線；面積；韋達定理；定積分

已知，拋物線y=ax?+bx+c（a<0），與x軸交于兩點，A（[x1]，0），B（[x2]，0），求拋物線與x軸圍成圖形的面積。如圖

易知Δ>0且a<0。

根據韋達定理可知[x1+x2]=[-ba]，[x1?x2]=[ca]，

[x2-x1=x2-x12]=[x1+x22-4x1x2]=[b2-4ac-a]，則由積分定義可得：S=[x1x2ax2+bx+c?x]

=[13ax3x2x1]+[12bxx2x1]+[cxx2x1]

=[13ax32-x31+12bx22-x21]+[cx2-x1]

=[x2-x1][[13ax21+x22+x1x2+12bx1+x2+c]]

=[{13a[-ba2-ca]+12b?（-ba）+c}（b2-4ac-a）]

=[-[-b2+4ac6a2（b2-4ac）]]

=[（b2-4ac）（b2-4ac）6a2]

因為Δ大于零，所以[b2-4ac]>0.因此此時S=[（b2-4ac）（b2-4ac）6a2]

反之，當a>0時，仿照以上可得S=[|（-b2+4ac）（b2-4ac）6a2|]。因為Δ大于零，所以[b2-4ac]>0，故[-b2+4ac]<0。又因為所圍成的面積必定大于零，故S=[（b2-4ac）（b2-4ac）6a2]。通過上述推導可知，無論a為除零之外的何值，當Δ大于零時，拋物線與x軸所圍圖形的面積為S=[（b2-4ac）（b2-4ac）6a2]。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學上冊[M].北京：高等教育出版社，2014（7）.