一類加法冪等半環(huán)簇的自由對象的模型

王麗麗

(重慶理工大學 理學院， 重慶 400054)

設(S,+,·)是(2，2)-型代數(shù),其中“+”和“·”是S上的二元運算。若S滿足：① (S，+)和(S，·)都是半群；② (S,+,·)滿足等式x(y+z)≈xy+xz和(x+y)z=xz+yz，則稱(S,+,·)是半環(huán)。 如果一個半環(huán)的加法導出半群是一個半格,則稱此半環(huán)為加法冪等半環(huán)[1-6]。

設(S,+,·)是加法冪等半環(huán)，對任意的a,b∈(S,+,·)，定義關系a≤b?a+b=b，則此關系即是其加法半格上的偏序關系。已知半格的自同態(tài)半環(huán)是一個加法冪等半環(huán),且每一個ai半環(huán)都可以嵌入到某一個半格的自同態(tài)半環(huán)中。近年來,出現(xiàn)了許多關于加法冪等半環(huán)研究的文獻[7-12]。眾所眾知,所有的加法冪等半環(huán)形成一個簇,許多的學者對加法冪等半環(huán)簇進行了研究,并且得到了許多有趣的結果[2,5,7-11]。同時,一些學者對某些加法冪等半環(huán)簇的自由對象進行了刻畫,給出了由某些特定等式所確定的加法冪等半環(huán)簇的自由對象的模型[6-7,9]。

令S是一個半群， 用P(S) 和Pf(S)分別表示S的所有子集的集合和所有非空子集的集合，在P(S)上定義運算:

A+B=A∪B，AB={ab|a∈A，b∈B}

則P(S) 和Pf(S)在上述運算下形成加法冪等半環(huán)。事實上,若X+表示非空集合X上的一個自由半群,則Pf(X+)是加法冪等半環(huán)簇中相應于映射k：X→Pf(X+)，x→{x}的自由對象。Zhao等[6]利用半群的閉子半群的概念給出了加法導出是半格的冪等元半環(huán)簇中自由對象的模型。令S是一個半群,C是其子半群，稱C是S的一個閉子半群，當且僅當對任意的a,b∈S，s,t∈S1，

sat,sbt∈C?sabt∈C

A+B=[A∪B]，A°B=[AB],

給出下列記號：[n]表示集合{1,2,…,n}；Sg(2,n,1)表示由(x1x2)n≈x1x2定義的半群簇；Sr(2,n,1)表示由(x1x2)n≈x1x2定義的ai-半環(huán)簇。

本文引入了半群的(2,n,1)-閉子半群的概念,并利用Sg(2,n,1)的自由對象來構造Sr(2,n,1)的自由對象。 因此,本文的結果推廣和豐富了文獻 [2，5-6，8-9]中的結果。本文中用到的其他概念和術語,可參考文獻[1，3-4]。

1 (2,n,1)-閉子集的概念及性質

令S是一個半群，且M是其子集,則稱M為S的(2,n,1)-閉子集,如果：

(?p,q∈S1,ai1,aj2∈S,i,j=1,2,…,n)pai1aj2q∈M?

(?bsl∈{aml|m=1,2,…,n},s∈[n],l=1,2})

pb11b12b21b22…bn1bn2q∈M

令S是一個半群且A是S的一個子集，容易驗證,S的所有包含A的(2,n,1)-閉子集 (至少,S是一個包含A的閉子集) 的交集仍然是S的一個(2,n,1)-閉子集，并且是包含A的S的最小的(2,n,1)-閉子集，稱其為由A生成的S的(2,n,1)-閉子集,記作[A]。如果S是一個有限子集,則稱[A]是有限生成的。

引理1 令S是一個半群。且A是其子集，定義A(k)(k≥0)如下:

A(0)=A

A(k+1)={pb11b12b21b22…bn1bn2q|p,q∈S1,ai1

aj2∈S,i,j=1,2,…n,pai1aj2q∈A(k)

bsl∈{aml|m=1,2,…,n},s∈[n]

l=1,2}∪A(k)

則對任意的A,B∈P(S),

1)A(0)?A(1)?…?A(k)?A(k+1)?…;

2) (?k)A?B?Ak?Bk;

證明

1)是顯然的。

2) 令A?B。將通過對k用歸納法來證明A(k)?B(k)。

當k=0時，因為A(0)=A和B(0)=B,有A(0)?B(0)；當k≥0時，假設A(k)?B(k)，將要證明A(k+1)?B(k+1)。令x∈A(k+1)，需考慮下列2種情況:

①x∈A(k)。 因為A(k)?B(k),有x∈B(k)，由B(k)?B(k+1)可以推出x∈B(k+1)；

②x=pb11b12b21b22…bn1bn2q,p,q∈S1,ai1,aj2∈S,i,j=1,2,…n,pai1aj2q∈A(k),bsl∈{aml|m=1,2,…,n},s∈[n],l=1,2。因為Ak?Bk,有

{pai1aj2q|ai1,aj2∈S,i,j=1,2,…,n}?B(k)

因此x=pb11b12b21b22…bn1bn2q∈B(k+1)，從而證明了A(k+1)?B(k+1)。

{pai1aj2q|ai1,aj2∈S,i,j=1,2,…,n}?A(k0)

{pai1aj2q|ai1,aj2∈S,i,j=1,2,…,n}?M

因為M是(2,n,1)-閉子集，從而可以推出x=pb11b12b21b22…bn1bn2q∈M，證明完畢。

引理2 令S∈Sg(2,n,1)，則對任意的k和A,B,C∈P(S)， 有A?B(k)?AC?(BC)(k)和CA?(CB)(k)。

證明由對偶原理,只需要證明對任意的k和任意的A,B,C∈P(S)，A?B(k)?AC? (BC)(k)。將通過對k歸納來證明這個結論。

1)k=0， 如果A?B(0),則A?B。進一步,有AC?BC，從而推出AC?(BC)0。

2)k≥1， 令A?B(k)，a∈A,c∈C。 因為a∈B(k),只需要考慮下列情況：

①a∈B(k-1)。 由歸納假設有ac∈(BC)(k-1)，因為(BC)(k-1)?(BC)k,得到ac∈(BC)(k)；

②a=pb11b12b21b22…bn1bn2q,p,q∈S1,ai1,aj2∈S,i,j=1,2,…n,pbi1bj2q∈A(k),bsl∈{aml|m=1,2,…,n},s∈[n],l=1,2。顯然,{pai1aj2q|ai1,aj2∈S,i,j=1,2,…n}?B(k-1)。

由歸納假設有

{pai1aj2qc|ai1,aj2∈S,i,j=1,2,…n}?B(k-1)

從而可以得到ac=pb11b12b21b22…bn1bn2qc∈(BC)(k)，因此有ac∈(BC)(k)， 從而有AC?(BC)(k)，證明完畢。

令S是一個半群。在Pf(S)定義二元關系ρ如下:

AB∈ρ?[A]=[B]

顯然,ρ是Pf(S)上的一個等價關系，事實上有：

定理1 令S∈Sg(2,n,1),則ρ是Pf(S)上的一個同余且Pf(S)/ρ∈Sr(2,n,1)。

證明令A,B,C∈P(S)使得(A,B)∈ρ， 要證明ρ是一個半環(huán)同余,只要證明(A∪B,B∪C)∈ρ，(AC,BC)∈ρ和(CA,CB)∈ρ。

A∪C?B(k0)∪C?B(k0)∪C(k0)?

(B∪C)(k0)?[B∪C]

從而[A∪C]?[B∪C]。類似地，[B∪C]?[A∪C]， 因此[A∪C]=[B∪C],并且(A∪B,B∪C)∈ρ。

2) (AC,BC)∈ρ。類似于 1) 的證明,對某個k0，由引理 2可得(AC)?(BC)(k0)。 因為(BC)(k0)?[BC],推導出AC?[BC],從而[AC]?[BC]。類似地,[BC]?[AC]，因此[AC]=[BC],從而有(AC,BC)∈ρ。

3) (CA,CB)∈ρ。類似于2)的證明，要證Pf(S)/ρ∈Sr(2,n,1),只需證A1,A2∈Pf(S),((A1A2)n,A1A2)∈ρ,即[(A1A2)n]= [A1A2]。 令bi∈Ai,i=1,2,則

b1b2=(b1b2)n∈(A1A2)n

因此A1A2?(A1A2)n,進一步有[A1A2]?[(A1A2)n]。

如果x∈(A1A2)n,則存在

ai1,aj2∈S,i,j=1,2,…，n

ai1aj2∈A1A2,bsl∈{aml|m=1,2,…,n}

s∈[n],l=1,2

使得

x=b11b12b21b22…bn1bn2

因為b11b12b21b22…bn1bn2∈(A1A2)(1)?[A1A2],所以

x=b11b12b21b22…bn1bn2∈[A1A2]

因此(A1A2)n?[A1A2]，并且[(A1A2)n]?[A1A2]，得到 [(A1A2)n]=[A1A2]， 證明完畢。

2 滿足(x1x2)n=x1x2的ai-半環(huán)簇的自由對象

證明將通過對k的歸納來證明這一結果。

②a=pb11b12b21b22…bn1bn2q,p,q∈S1,ai1,aj2∈S,i,j=1,2,…n,pai1aj2q∈A(k),

bsl∈{aml|m=1,2,…,n},s∈[n],l=1,2

φ(p)(φ(a11)+φ(a12)+…+

φ(a1n))(φ(a21)+φ(a22)+…

+φ(a2n))φ(q)=φ(p)((φ(a11)+

φ(a12)+…+φ(a1n))(φ(a21)+

φ(a22)+…+φ(a2n)))nφ(q)≥

φ(p)φ(b11)φ(b12)φ(b21)φ(b22)…

φ(bn1)φ(bn2)φ(q)≥

φ(pb11b12b21b22…bn1bn2q)=φ(a)

以上是對p,q∈S的情況的證明，p?S或q?S的情況可類似證明。證明完畢。

接下來利用Sg(2,n,1)的自由對象來構造Sr(2,n,1)的自由對象，這一結果推廣了文獻[6]中的定理 3.5。

證明由定理 1 可知Pf(FX)/ρ是Sr(2,n,1)的一個半環(huán)， 假設S∈Sr(2,n,1)且λ：X→S是任意一個映射。因為(S,·)∈Sg(2,n,1)且FX是Sg(2,n,1) 的自由對象,則存在唯一的一個φ：FX→(S,·)，使得圖1是一個交換圖,即φ°ι=λ。定義一個映射ψ：Pf(FX)/ρ:

圖1 交換圖圖2 半環(huán)

首先,對任意的A,B∈Pf(FX),

因此ψ是Pf(FX)到S上的半環(huán)同態(tài)。

其次,選取任意的x∈X,則

(ψ°κ)(x)=ψ(κ(x))=ψ({ι(x)}ρ)=

ψ(ι(x))=(ψ°ι)(x)=λ(x)

因而ψ°κ=λ。

最后,令θ∶Pf(FX)/ρ→S是一個半環(huán)同態(tài)且使得θ°κ=λ， 定義一個映射α∶FX→(S,·):

α(a)=θ({a}ρ)(a∈FX)

容易驗證α是一個半群同態(tài)，并且對任意的x∈X,

(α°ι)(x)=α(ι(x))=θ({ι(x)}ρ)=

θ(κ(x))=(θ°κ)(x)=λ(x)

因此α°ι=λ，由φ的唯一性,有α=φ。 令A∈Pf(FX),則

從而有θ=ψ，證明完畢。

[A]+[B]=[A∪B],[A]°[B]=

[AB](A,B∈Pf(S))

φ([A])=Aρ(A∈Pf(FX))

φ([A])=φ([B])?Aρ=Bρ?(A,B)∈ρ?

[A]=[B]

所以φ的定義是良好的且是一個單設。

另外,φ顯然是一個滿設且對任意的A,B∈Pf(FX),

φ([A]+[B])=φ([A∪B])=(A∪B)ρ=

Aρ+Bρ=φ([A])+φ([B])

φ([A]°[B])=φ([AB])=(AB)ρ=

(Aρ)(Bρ)=φ([A])φ([B])