一種求解雙向壓彎混凝土截面極限承載能力的方法

彭庭佳，成立濤，陳宏俊，鳳躍森

(中交第一公路勘察設計研究院有限公司, 陜西 西安 710068)

工程結構中常常遇到雙向壓彎構件，如橋墩、柱子、剪力墻。雙向壓彎構件承載能力的計算問題備受關注。因為進行雙向壓彎計算存在困難，所以通常這些雙向壓彎構件均基于單向壓彎進行設計。

隨著計算機技術的發展和規范要求(比如在應用Eurocode 8進行抗震設計時，規范要求驗算墩、柱在雙向壓彎作用下的極限承載能力)的推動，雙向壓彎問題越來越受到關注。

不同的分析和設計鋼筋混凝土雙向壓彎構件的近似算法不斷被提出，并被設計者采用。自從纖維模型被Kaba 和 Mahin在1984年提出以來，隨著計算機技術的發展和規范要求的推動，采用截面纖維模型解決雙向壓彎問題越來越受到關注。

GB 50010-2010《混凝土結構設計規范》附錄E引入纖維模型，作為任意截面正截面承載力計算的方法。文獻[2]的研究也表明采用纖維模型對構件壓彎極限性能的模擬與試驗數據吻合較好，是一種有效的分析構件壓彎性能的工具。

文獻[6、7]采用與規范附錄E類似的計算方法編寫了T形、L形截面雙向配筋計算的電算程序，結果與試驗結果吻合較好。但規范附錄E中給出的方法以x軸與中和軸的夾角θ和截面重心至中和軸的距離γ為基本變量，利用邊緣混凝土或鋼筋的極限應變確定極限曲率，進而得到極限彎矩。該方法需要通過試算確定θ和γ，才能得到正確解，而如何確定θ和γ并無方便可靠的技術路徑。

該文提出一種基于纖維模型的，求解截面在雙向壓彎作用下的極限承載能力的迭代方法。該方法以截面自然坐標系的轉動曲率和平均壓縮應變為基本變量建立構件剛度矩陣。已知結構配筋，根據截面內力求解截面曲率時，采用牛頓法，收斂速度快；已知結構配筋、軸力和一個方向的彎矩，求解另一方向的極限彎矩時，采用雙層迭代算法，外層迭代采用二分法，內層迭代采用牛頓法。該方法不僅可以求得截面的極限承載力，還可以得到截面的等效屈服剛度。

1 基于截面纖維模型的截面分析方法及程序實現

1.1 方程組的建立

考慮某任意形狀的截面，在該截面質心點建立笛卡爾直角坐標系。對截面進行網格劃分，截面可看成若干混凝土纖維和鋼筋纖維的集合。當纖維個數足夠多時，在工程精度容許的范圍內，可忽略各單元自身的抗彎剛度，將其等效為具有面積的點纖維。程序實現時，僅需記錄各纖維質心處的坐標值、面積和材料特性。為考慮由于鋼筋而減少的混凝土面積，參考文獻[8]，對應于每個鋼筋單元，增設一個材料為混凝土，面積為相應負值的點單元。

對任意截面進行離散化：對混凝土截面進行網格劃分，計算各網格的質心坐標和面積，生成相應的混凝土纖維單元；鋼筋可直接根據其質心坐標和面積，生成相應的鋼筋纖維單元和面積為負的混凝土纖維單元。圖1為一個簡單的矩形截面示例。

圖1 矩形截面示例

各纖維滿足單軸應力應變關系。承載能力極限狀態驗算時，通常不考慮混凝土的抗拉強度、混凝土受壓時的應力-應變關系，較常用的是由一條二次拋物線及水平線組成的曲線，鋼筋的應力-應變曲線多采用簡化的理想彈塑性應力-應變關系。

但上述本構關系可能會帶來截面剛度矩陣的病態，引起計算收斂困難，為了克服該問題，參考文獻[11]的做法為,在極限應變之后增加線性上升段，見圖2。這樣的修改不會對結果造成影響，因為修改僅改變了極限應變之后的應力取值，而這樣的應變取值不會在極限狀態中出現。

圖2 程序采用的混凝土和鋼筋的單軸應力應變曲線模式圖

在截面性能分析中通常采用下述基本假定：

① 截面在變形后仍然保持平截面；

② 各纖維滿足單軸應力應變關系；

③ 鋼筋與混凝土完全連接，無相對滑移;

④ 構件的變形很小，不影響構件的受力體系計算圖形和內力值。

基于上述假定，考慮幾何方程、物理方程、力平衡方程，可建立該問題的非線性方程組。

(1)幾何方程

截面上任一點(y,z)的應變ε(y,z)可用下式描述：

ε(y,z)=εx-zρy+yρz

(1)

式中：εx為截面軸向應變，以壓應變為正；ρy為繞y軸截面轉角，以繞y軸滿足右手螺旋法則為正；ρz為繞z軸截面轉角，以繞z軸滿足右手螺旋法則為正。為方便描述，截面應變參數可表示為：

{ε}={εx,ρy,ρz}

(2)

(2)物理方程

如前所述，各纖維應變滿足單軸應力應變關系。為方便公式推導，將纖維應力用纖維割線模量表達:

σi(ε)=ki(ε)·ε

(3)

(3)力平衡方程

截面所受外力荷載向量為：

{P}={N,My,Mz}

(4)

各分項內力(圖3)正方向規定如下：N以使截面受壓為正；My、Mz以右手螺旋準則，使截面繞y軸、z軸旋轉為正。

圖3 截面內力顯示

根據截面力平衡條件，可得：

(5)

將幾何方程、物理方程代入平衡方程，可得非線性方程：

(6)

將纖維應力用纖維割線模量表達后，可得該問題的矩陣表達形式：

F({ε})=f({ε})·{ε}-{p}={0}

(7)

f({ε})稱為截面的割線剛度矩陣。

故在已知截面尺寸、配筋的情況下，給定軸力和一個方向的彎矩，求解另一垂直方向的極限彎矩問題，可以歸結為一個在給定可行域范圍內的非線性極值問題，描述為：

已知N,My或Mz,在可行域{ε}∈Ω(εc≤εcu,εsu≤εs≤εcu)，求滿足式(7)的Mz或My的極值。

1.2 求解策略

考慮某任意形狀的截面，在該截面質心點建立笛卡爾直角坐標系。對截面進行網格劃分，截面可看成若干混凝土纖維和鋼筋纖維的集合。當纖維個數足夠多時，在工程精度容許的范圍內，當N、Mz給定，求My的極值時，可根據式(7)，得到：

(8)

當ρy確定時，可求解此二元非線性方程組，得到εx、ρz，進而確定截面應變，而后根據式(9)得到My：

My=K21εx+K22ρy+K23ρz

(9)

考慮問題的物理本質，只要N、Mz不過大導致截面破壞，通常截面的荷載位移曲線是單調遞增的，為避免剛度矩陣的病態還需修改超過極限應變后的應力為單調增加。

故此問題的求解可利用二分法求解，流程圖如圖4所示。

流程中需要根據內力求解截面位移，即求解式(7)、(8)。此類非線性方程組可采用牛頓-拉弗森迭代法進行求解。步驟如下：

步驟1：根據初始剛度矩陣f({ε0})，對給定{p}值，求得{ε1}=f({ε0})-1{p}。

步驟2：根據{εi}更新截面狀態，得到新的截面割線剛度f({εi})，計算截面不平衡力{Δp}=-(f({εi})·{εi}-{p})，若滿足收斂準則，返回當前狀態，否則進入步驟3。

步驟3：求解不平衡力對應變形{Δεi}=f({εi})-1{Δp}，{εi+1}={εi}+{Δεi}，返回步驟2。

圖4 計算流程圖

該方法不僅可以求得雙向壓彎截面的極限承載力和截面極限曲率，若設定應變極限為鋼筋屈服應變，還可得到雙向壓彎截面的屈服曲率和開裂彎矩，進而得到截面等效抗彎剛度。

2 計算示例

采用C++編程實現上述截面分析方法，并通過多個算例證明了該方法的收斂性和準確性。

(1)算例1

該算例計算了軌道形實心截面(圖5)和工字形截面在多組雙向壓彎作用下的極限彎矩、開裂彎矩和屈服曲率。應用中采用NETGEN(一款滿足LGPL協議的二維和三維自動網格劃分開源程序)對截面進行三角網格剖分以生成相應的纖維單元。

圖5 軌道形實心截面(單位：cm)

軌道形實心截面被分為520個混凝土纖維單元和44個鋼筋纖維單元，鋼筋直徑為28 mm。

截面混凝土強度等級為MB40，抗壓強度設計值為22.22 MPa；鋼筋標號為B500，抗拉強度設計值為434.78 MPa。

鋼筋采用理想彈塑性應力-應變關系；混凝土采用CEB-FIP Mode Code 采用的二次拋物線模型。

分別計算多組荷載(N、Mz)作用下，截面在另一方向上的極限彎矩(Myu)、開裂彎矩(Myy)和屈服曲率(φyy)，并與GaLa Reinforcement 4.1(該軟件支持非線性徐變、任意截面幾何形狀、任意鋼筋布置、以及軸力及雙向彎曲荷載的計算等)的計算結果對比如表1所示。結果表明該計算方法計算結果可靠，收斂性良好。

表1 軌道形實心截面計算實例

(2)算例2

純彎或單向壓彎是雙向壓彎的特例。對比規范和該算法關于純彎和單向壓彎極限承載能力可驗證該算法的正確性。計算例子摘自文獻[13]，表2為具體對比結果。從表2可見：該算法計算結果與規范算法誤差均小于0.65%。誤差原因在于規范簡化計算時，將混凝土沿高度方向的非線性壓應力簡化為矩形均布受壓，導致混凝土受壓合力點與考慮混凝土受壓非線性略有差異，進而影響極限承載能力計算數值。

(3)算例3

表2 純彎與單向壓彎構件極限承載能力對比

注：① *該對比計算時，未考慮偏心增大系數，彎矩極限承載能力未考慮重要性系數1.1。故表中，彎矩極限承載能力為660 kN×0.526 8 m=347.69 kN·m；② **：文獻中存在數值錯誤，es應為500.09 mm，故彎矩極限承載能力為1 200 kN×(500.09-306.25+40)mm=280.61 kN·m；③ 誤差=(該文電算值-規范公式計算值)/規范公式計算值。

運用該文算法對文獻[7]中T形構件試驗進行電算分析，并與文獻[6]中的分析結果進行對比，具體結果見表3。

從表3可見：該文計算結果與試驗結果有一定誤差，M3/M1為0.692～0.999。電算分析與試驗結果存在差異主要原因是混凝土實際強度、混凝土保護層厚度、鋼筋位置不準確等因素與理論計算時所采用值的差異所致。但與文獻[6]中電算分析結果相比，電算模擬結果接近，誤差為-5.9%～6.8%，主要原因在于文獻[6]中未給出各試件鋼筋保護層厚度，該文計算時采用相同保護層厚度取值。

表3 T形構件雙向壓彎極限承載能力試驗與電算結果對比

3 結論

(1)提出一種基于纖維模型的，求解截面在雙向壓彎作用下的極限承載能力的迭代方法。該方法克服了規范[5]和文獻[6]中纖維模型求解時無方便可靠的迭代算法的弊端。該方法以截面自然坐標系的轉動曲率和平均壓縮應變為基本變量建立構件剛度矩陣。已知結構配筋，根據截面內力求解截面曲率時，采用牛頓法，收斂速度快。已知結構配筋、軸力和一個方向的彎矩，求解另一方向的極限彎矩時，采用雙層迭代算法，外層迭代采用二分法，內層迭代采用牛頓法。

(2)該方法不僅可以求得截面的極限承載力，還可以得到截面的等效屈服剛度和開裂彎矩。同時該方法適用于任意多邊形截面和多種材料。

(3)編程實現了該非線性計算方法，并與規范、試驗和其他計算軟件，進行多種截面和受力模式的對比。結果證明該方法收斂性良好，結果計算準確可靠。