電場中v-x圖像的斜率最大場強最大嗎

倪 娜

(哈爾濱德強高中 黑龍江 哈爾濱 150036)

【題目】一帶正電的檢驗電荷q，僅在電場力作用下沿x軸從x=-∞向x=+∞運動.其速度v隨位置x變化的圖像如圖1所示，x=x1和x=-x1處，圖線切線的斜率絕對值相等且最大.則在x軸上( )

A．x=x1和x=-x1兩處，電場強度相同

B．x=x1和x=-x1兩處，電場強度最大

C．x=0處電勢最低

D．從x=x1運動到x=+∞過程中，電荷的電勢能逐漸減小.

原答案：B,D.

圖1 題目題圖

該題在各教輔資料里經常遇見，而且流傳已久，甚至在模擬題中也常常出現.對于選項B，不論在網絡中還是在各資料中所有答案都是定性的說明，“在x=x1處，斜率最大，所以場強最大”，而大家多又隨波逐流，為了不使謬誤永傳，在此對本題做出定量分析，與大家探討.

1 建立模型辯對錯

結合題意和圖1，可建立模型.在豎直線上有相距2R的等量正電荷，x軸為等量正電荷連線的中垂線(或均勻帶電圓環中軸線)，以兩電荷連線中點為原點，帶電粒子q從無窮遠處沿x軸正向運動，如圖2所示.

圖2 模型圖

由等量正電荷的電場分布可知，在中垂線上有兩個場強最大的點，而場強最大的點處加速度最大，加速度對應的是v-t圖像的斜率，而不是v-x圖像的斜率.從而定性說明選項B是錯的.

2 數學論證定是非

2.1 寫出在中垂線上各點的場強表達式

場強大小表達式

式中x為坐標的絕對值.

由于

由以上兩式整理得

(1)

2.2 建立速度與場強的關系

設：檢驗電荷在無窮遠處速度為v0，取無窮遠電勢為零，檢驗電荷位于x處時電勢能為

由能量守恒

整理上式得

(2)

2.2.1 建立v2對位置坐標x的導函數關系

若以v2為函數，x為自變量，將函數v2對x求導數得

(3)

由式(1)和式(3)聯立得

(4)

由此可見，若以v2為縱坐標x為橫坐標，其斜率大小與場強成正比，即斜率最大電場強度也最大，符合原答案.

2.2.2 建立v對位置坐標x的導函數關系

若以v為函數，x為自變量,將函數v對x求導數(即對式2求導),得

(5)

3 討論

將式(1)、(2)代入式(5)整理得

(6)

由式(6)可見，速度對x的導數(即v-x圖線的斜率)，顯然不與場強成線性關系，也就是原圖線斜率最大時，并不能說明場強最大，而場強最大時，v-x圖像的斜率并不一定最大.所以說，這是一道病題，如果原圖(圖1)的縱坐標改為v2，該題才能定性符合實際.

綜上所述，對此題的處理，建議大家要么否定原答案，要么把縱坐標改為v2，才能保證試題的嚴謹性和科學性.