對高職數學函數連續性的教學過程研究

一、引言

函數連續性是高等數學中一個重要的基本概念，作為初等函數的重要性質之一，它既是函數極限的進一步研究，又是學生后續學習導數、定積分等概念的基礎。高職院校的學生由于初等數學功底薄弱、邏輯推理能力、學習興趣等方面均有所欠缺，學習函數連續性的概念時往往覺得困難。本文在傳統教學的基礎上運用直觀教學法、問題驅動法、類比法等多種教學方法設計教學過程。學生學習時采用探究式、自主式和合作式等學習方式，這樣的教學過程設計既符合高職學生的認知規律，又有利于培養學生的數學思維，增強學生學習高等數學的信心。

二、函數連續性的教學過程

首先，教師借助多媒體給學生展示長江“三峽大壩”建成前后水流動的對比圖片等自然現象，通過分析水流情況讓學生初步理解函數在某一點的連續的特征，從而可以聯想到函數連續性的本質特征是顯示了客觀世界中物質的連續變化發展。

接下來教師與學生研究函數在某一點的連續的問題，借助多媒體給學生展示以下七幅函數圖像：

學生觀察以上函數圖像并思考：函數圖1、2在點x=1是否連在一起？函數圖3在點x=0是否連在一起？圖4～7中，函數y=f（x）圖像在點x0是否連在一起？在學生分組討論、回答的過程中，教師點明函數在某一點連續的實質就是函數的圖像在此點連在一起，是函數圖像在這一點特征的一種描述。這樣做充分利用了數形結合的思想，使得學生對函數在某一點連續以及不連續有了比較直觀的認識。進一步引導學生觀察以上函數圖像中當x無限接近圖中連續的點和不連續的點時函數值y的變化情況，聯想極限的定義，不難得出函數在某一點連續可以用極限的描述，用數學語言描述就是函數y=f（x）在點x0連續的定義1：

對于高職的學生來說，定義1的應用比較直接，定義2的出現加深了學生對函數在某一點定義的理解。對比上述兩個定義和圖1～7，學生不難發現函數圖3在點x=0處，圖4在x=x0處均不連續，再根據定義可以聯想到要想函數在某一點連續，必須函數在這點有定義才可以，那么有定義的就一定連續嗎？啟迪學生繼續觀察分析圖5～7，學生很容易得到結論：函數圖像在某一點有定義也不一定連續，必須函數在該點的極限值等于函數值，顯然連續的概念是以極限概念為基礎的。進一步聯想左、右極限的理論并且觀察圖5～7，經過知識的類比和遷移，學生很容易理解和掌握函數在某一點處左、右連續的概念及函數在點x0處連續的充分必要條件是函數在點x0處既左連續又右連續。從而總結歸納出函數在某一點連續必須滿足的三個條件：

最后，學生在深刻理解了函數在某一點的連續后，教師繼續將函數連續的定義推廣到函數在區間內的連續性，即函數f（x）在開區間（a，b）內每一點都連續，則稱函數f（x）在開區間（a，b）內連續，或函數為區間（a，b）內的連續函數，（a，b）稱為函數的連續區間。如果函數f（x）在（a，b）內連續，且在a點右連續，在b點左連續，就稱函數f（x）在閉區間[a，b]內連續。連續函數的圖像是一條連綿不斷的曲線。

以上教學設計充分體現了直觀的教學方式，將抽象復雜的數學概念形象化，讓學生切身體會到數學概念源于生活，主動參與教學過程獲得新知識，體現學習高職數學的價值，增強學習高等數學的信心。

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責任編輯 陳春陽