數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列問題中的應(yīng)用分析

◆黃天宇

(江蘇省常州市北郊高級中學(xué))

一、引言

數(shù)列問題是數(shù)學(xué)領(lǐng)域非常重要的一個分支，也是高中所必修必考內(nèi)容之一，其主要是由于在現(xiàn)實中應(yīng)用十分廣泛，如人們的儲蓄額度、社會人口、分期付款等最終都可以抽象為數(shù)列問題，甚至有科學(xué)家曾說沒有數(shù)的序列就沒有數(shù)學(xué)問題，可見數(shù)列在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要地位。數(shù)列本質(zhì)上是指一列有序的數(shù)，但實際研究和應(yīng)用中這組數(shù)據(jù)都存在一定的規(guī)律，如典型的有等差數(shù)列、等比數(shù)列、斐波那契數(shù)列等。但遇到不能快速發(fā)掘規(guī)律的數(shù)列，往往有一些特殊的方法得以解決。本文提出的數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用于數(shù)列問題求解便是其中的一種，在實際應(yīng)用中具有特定的優(yōu)勢。

本文正是基于一些特殊數(shù)列的求解問題，采用常規(guī)直接推導(dǎo)時遇到困難，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法解決這類問題的優(yōu)勢，從多角度闡述數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列問題中的求解，為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)奠定理論基礎(chǔ)。

二、數(shù)學(xué)歸納法

1.數(shù)學(xué)歸納法概念

數(shù)學(xué)歸納法作為一種演繹數(shù)學(xué)證明方法是有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程的，通過被用于從局部正確到全部正確的推理應(yīng)用，也就是一種科學(xué)合理的由特殊到一般的推導(dǎo)證明歸納，借助這種有限步驟實現(xiàn)無限問題的解決，其思路來源于數(shù)論的理解，即如果一個自然數(shù)集合中，如果包含自然數(shù)1，在假設(shè)也包含自然數(shù)n的情況下，則可以證明一定包含自然數(shù)n+1，所以該集合是一個自然數(shù)集合。歷史上經(jīng)典的有骨牌現(xiàn)象等都可以用數(shù)學(xué)歸納法給予解釋。

2.數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟

經(jīng)過高中對數(shù)學(xué)歸納法的理解、應(yīng)用，對于一般的數(shù)學(xué)歸納法可以應(yīng)用經(jīng)典的數(shù)學(xué)歸納法步驟進(jìn)行解答，其一般的解題步驟如圖1所示。

通過上述三步的合理推導(dǎo)，只需要簡單的陳述即可完成結(jié)論的證明。可見，該方法的思路清晰明了，原理簡單可行，在數(shù)學(xué)理論中具有十分重要的作用。

三、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列問題有時求解非常困難，有的甚至一眼知道結(jié)果，但是往往卻很難用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)給予證明，而數(shù)學(xué)歸納法卻是很好的方法，對這類問題有著很好的應(yīng)用背景。

1.數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列通項或求和中的應(yīng)用

數(shù)列中的通項公式和求和公式往往都是借助現(xiàn)成等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行得到，但現(xiàn)實求解過程中又會遇到一起無法用經(jīng)典結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)的，則需要特殊問題特殊解決。例如：

2.數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列不等式證明中的應(yīng)用

數(shù)列解答題中的不等式證明，往往難度系數(shù)較大，通常難以得分，最為常用的方法是放縮法，即當(dāng)要證明不等式AA，去證明CB，尋找中間量C

3.數(shù)學(xué)歸納法在探索數(shù)列參數(shù)范圍中的應(yīng)用

數(shù)列問題中一些未知參數(shù)的求解往往較難，但有時候如果思路變通，即可以采用一些特殊的方法進(jìn)行處理，進(jìn)而達(dá)到解題的目的。

四、結(jié)論

綜上，借助對數(shù)學(xué)歸納法的理解和掌握，通過對數(shù)學(xué)歸納法的思想和解題步驟的總結(jié)歸納，加深對其應(yīng)用的掌握程度。同時借助幾個典型的應(yīng)用案例，開辟性地闡述了應(yīng)用思路的來源、應(yīng)用過程的分析和應(yīng)該結(jié)果的分享。從使用結(jié)果來看，數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列問題中具有兩點優(yōu)勢：(1)理解和掌握數(shù)學(xué)歸納法有助于對復(fù)雜問題有快速且有條理的去解決問題，尤其是數(shù)列的證明問題；(2)借助數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，可以對思考問題的思維進(jìn)行有效鍛煉，提高對內(nèi)在邏輯的推演，提高綜合分析能力。