考慮學習效應與物流的單元制造系統優化研究

柳春鋒 王 艷 王居鳳

1(杭州電子科技大學管理學院 浙江 杭州 310018) 2(中國計量大學信息與計算科學系 浙江 杭州 310018)

0 引 言

單元制造系統CMS(Cellular Manufacturing System)是一種基于成組技術GT(Group Technology)的混合系統。由于產品創新周期的縮短以及客戶需求的多樣化，CMS應運而生[1]。

近年來高鐵等制造業興起，其內部原有的傳統制造系統反應慢、適應力差等特點造成生產管理上的困難，因此越來越多的制造業開始尋求靈活的單元制造方式來應對難題[2]。此外，豐田采用的柔性單元制造系統，使其內部各種形式的浪費在一定程度上得以消除，并且形成一套標準的操作程序[3]。CMS適合生產多品種少批量的產品，并帶來可觀的效益，例如庫存成本的降低、交貨期的縮短以及靈活的設施布局等[4]。

研究表明，物料搬運費用在生產經營活動總開銷中的比例高達20%～50%[5]。合理的單元構建可以大幅度地減少生產中的物流成本。另外，學習效應的存在使得員工實際生產時間變得難以估計，因而對生產成本的核算也非常困難。

Koulamas等[6]提出了廣義的學習效應概念，構建了與工件加工時間之和有關的學習模型。Liu等[7]在分析動態單元制造系統中員工學習遺忘效應的基礎上提出了人員分配和生產計劃的綜合決策模型。Toksar等[8]研究了一種基于位置依賴的具有模糊學習效果的單機調度問題，建立了模糊混合整數非線性規劃模型，目標是最小化最大完工時間、總完工時間和總加權完工時間。

Hazarika等[9]提出了一種啟發式遺傳算法來優化單元構建中的產品加工路徑，從而最小化單元間物流成本。Soto等[10]設計了一種帝國主義競爭算法來解決單元間物流成本的最小化。Bychkov等[11]研究了單元化制造模式下產品在單元間移動的物流成本優化問題，并構建了一種新的混合整數線性規劃模型。Aalaei等[12]提出了單元制造系統中產品庫存成本與員工總工資的優化模型與方法。

雖然以往學者從不同視角研究了員工學習或產品物流，但同時考慮學習效應與物流因素的單元化制造文獻還較罕見，而且員工學習因素對產品轉移的影響還有待進一步深入探討。

因此，本文試圖構建一個集成員工學習效應與產品物流的單元化制造優化模型。目標是使產品的庫存成本、延期交貨成本以及產品物流成本在合理的人員分配、最佳產品路線下達到最小值。同時，為解決這個復雜的問題，設計遺傳算法來尋找模型的最優解。

1 問題假設與描述

本文研究的優化問題基于以下假設：

(1) 生產計劃假設：研究單周期多單元的生產系統，且認為設備在生產過程中不會發生故障。各種產品的市場需求在計劃生產期內可確定，并可按需求數量在各單元內進行流水線生產。

(2) 單元假設：單元數與產品類型數相同，且各單元內工序數量相同，不同單元的相同的對應位置具有相同的功能。

(3) 處理時間假設：由于設備新舊版本、產品復雜度、以及員工工作與學習能力的差異，導致員工處理各任務的時間不同。

(4) 物流成本假設：生產過程中允許產品(在制品)在單元間進行移動，同種產品在單元間的單位物流成本相同，不同產品的單位物流成本不同；單元內發生的移動成本可忽略不計。

單元制造系統優化問題的描述如下：假設由P位多技能員工在C個單元中處理Q類產品，每個單元均包含J個工序。

如圖1所示，假設產品1有兩條備選生產路線，路線一：C11→C12→C13→C14；路線二：C11→C12→C23→C14。路線一的物流成本為零；假設路線二中C23位置的設備比C13版本更高，處理時間會小于同功能的C13，因此路線二的總處理時間小于路線一，但產品在單元間發生了兩次移動，產生了物流成本。

圖1 生產流程圖

通常工人在一開始不熟悉任務的生產運作，隨著員工加工同一類產品數量的增加，員工的學習效應使加工每件同類產品的時間越來越短。不過，加工時間也會由于工人技能提升的邊際效應逐漸趨向一個穩定值。

企業管理者需要通過對員工、產品和機器的合理匹配，以及對最優生產路線的確定，達到庫存成本、延期交貨成本以及物流成本的最小化。

2 模型建立

2.1 參數介紹

(1) 輸入參數：

P：員工總數，p表示員工索引(p=1,2,…,P)；

Q：產品類型總數，q代表產品索引(q=1,2,…,Q)；

M：機器設備總數，m代表機器索引(m=1,2,…,M)；

dq：產品q的生產期限；

Nq：產品q的市場需求或生產量；

J：各單元中工序數量，j表示工序的索引(j=1,2,…,J)；

C：單元總數量，c代表單元的索引(c=1,2,…,C)；

θq：產品q的單位時間延期成本；

φq：產品q的單位時間庫存成本；

Lq：產品q在單元間的單位物流成本。

(2) 決策變量：

Xpcj：若員工p被分配到單元c的第j道工序，則Xpcj=1，否則為0；

Yqcj：若產品q被分配到單元c的第j道工序，則Yqcj=1，否則為0。

2.2 單元化制造中的學習效應

根據單元化制造特征，員工學習效應可采用以下改進模型[6]。

考慮學習效應時員工p在單元c的第j道工序對第n件產品q的實際處理時間Spqncj：

Spqncj=tqcj·max{f(p,q,n,mcj),hq}

(1)

f(p,q,n,mcj)=[1+(n-1)(1-βq)epmcj]α

(2)

模型中涉及的參數：

(1)f(p,q,n,mcj)：學習效應系數函數，取值范圍為(0,1]，n指產品q加工件數的索引；

(2)ep：與員工學習能力相關的學習效應因子，ep值越大員工的學習能力越強，0.75≤ep≤0.95；

(3)βq：產品類型q的復雜度，βq值越大產品越復雜，0<βq<1；

(4)mcj：在單元c的第j道工序上機器的能力系數，mcj值越大機器版本越高，機器效率越高，0

(5)α：與加工時間相關的學習效應因子，α≤0；

(6)hq：截斷參數，即考慮學習效應后員工在處理產品q時，隨著生產產品件數的增加，員工處理每件產品的時間會慢慢趨于一個穩定值hq，0

(7)tqcj：產品q在單元c的第j道工序的標準處理時間。

學習效應函數圖像是一條緩慢下降的曲線。例如，對于q=1，c=1，j=1，為參數賦值：t111=22.20，N1=2 100，β1=0.5，e1=0.943，α=-0.11，h1=0.5，m11=0.26，可得如圖2所示的學習效應曲線。

隨著產品的持續生產，最終生產一件產品的時間取決于該產品瓶頸工序的處理時間，產品在瓶頸工序的移動也會對生產運作產生重要影響。

2.3 目標函數與約束條件

考慮員工學習效應以及產品物流構建一個生產模型，目標函數為最小化庫存成本與延期成本，以及物流成本：

MinC=ω1+ω2

(3)

(1) 第一部分：ω1為考慮員工學習效應對實際完工時間影響后的庫存成本與延期交貨成本。

(2) 第二部分：ω2為產品在單元間的物流成本。

式中：|Yqcj-Yqc(j+1)|表示同一產品的相鄰工序在單元間是否發生了移動。

約束條件：

?q,n

(4)

(5)

(6)

Xpcj,Yqcj∈{0,1} ?p,q,c,j

(7)

約束式(4)對于給定的第n件產品q確定了瓶頸工序位于單元c*的第j*道工序；約束式(5)確保各單元的各工序只分配一個員工；約束式(6)確保各單元的各工序只處理一類產品；約束式(7)規定了決策變量Xpcj和Yqcj為二元變量。

3 遺傳算法與實驗

遺傳算法是一種基于生物進化理論發展起來的高效的搜索與優化方法，能自動獲取和引導優化的搜索空間，自適應地調整搜索方向。它通過一定的編碼方式，將問題中的各類信息轉化為一條特定的染色體，反復搜索得到最優染色體，即所求優化問題的解[13]。下面結合實例說明算法的有效性和模型的合理性。

3.1 實例描述

以某光纖連接器制造企業為例，制造系統中有6個直線型制造單元，各單元有6臺不可移動的生產設備(安裝、拋光、組裝、表面檢查、光學檢查、以及包裝設備)。共有6類產品(FC、SC、MT-RJ、LC、MU、及MC型)需要生產，每單元生產一類產品；有36位多技能員工，每臺機器分配一個員工，各單元的各工序只處理一類產品(即C=Q=J=6,P=36)。令tqcj∈[0.01，99.99]，由于tqcj的取值與產品、工序和單元有關，因此共取6×6×6個隨機值。按照學習效應式(1)和式(2)可進一步求出產品的實際處理時間Spqncj。另外，α取-0.11，其他參數賦值見表1和表2。

表1 與學習效應函數相關的參數(1)

表2 與學習效應函數相關的參數(2)

對部分參數特殊化處理來體現算法的有效性。首先，對于表1中產品1，將N1、θ1及L1設置得較其他產品低，而d1和φ1較其他產品高，屬于非加急產品；對于產品6而言，參數設置與產品1相反，屬于加急產品。其次，表2中對角線位置的機器設置為低效機器，即能力系數較低(下劃線已標出)。

3.2 遺傳算法

(1) 染色體編碼：考慮到構建的模型由兩部分目標函數組成，所以解的結構(即染色體)設計為二維結構[7]，即解的結構由解一和解二組成。解一輸出36個員工在36臺機器上的分配情況，形狀為6×6的矩陣，如圖3所示。為了簡化，將解一每行首尾相接組成一條數字串編碼，如圖4所示。

圖3 解一染色體的組成

25306…172433

圖4 解一染色體變體

解二輸出6類產品生產路徑，如圖5所示。

圖5 解二染色體的組成

解二的形狀是一個長方體。共有6個縱截面，每個縱截面表示每類產品的生產路徑信息。為了簡潔，解二用6×6的簡易矩陣表示，如圖6所示。

圖6 解二的簡易矩陣表示

圖6的矩陣中行和列分別代表單元、工序，矩陣里的數字代表產品類型。比如“6”表示在第3單元的第4道工序生產產品6。

(2) 初始種群的生成:根據設定的參數，采用隨機產生染色體的方法構造初始種群。通過預實驗設定初始種群數Nind=200。

(3) 適應度計算:種群中個體的適應度表明其優劣性，某個體x的適應度fx為：

(8)

式中：ξx為個體x的目標函數值；ξmax、ξmin分別為種群中個體目標函數的最大值、最小值；ε為一個很小的正數。

(4) 選擇:采用輪盤賭選擇[15]方法。生成一個輪盤，輪盤每個區的角度與個體的適應度成正比。產生一個隨機數，它落入轉盤的哪個區域就選擇相應的個體。個體的適應度越高，被選擇的概率就越大。按此法從種群中選出90%的個體進行交叉和變異。

(5) 交叉:將選擇出來的個體兩兩之間進行交叉，交叉概率為0.8。解一和解二的交叉規則如下：

① 解一的交叉規則采用部分匹配交叉法：分別在兩條直線數字串中相同位置取兩點，并將兩點中間的基因進行交叉變換，如圖7所示。

圖7 解一交叉示意圖

② 解二交叉規則為：將兩條染色體中的解二部分分別切成左右兩半，將父代1的左側與父代2的右側、父代1的右側與父代2的左側重新組合成新的子代1和子代2。圖8展示了子代1的生成。

圖8 解二交叉示意圖

(6) 變異:基因變異方法為：從種群中依次取一條染色體，以變異概率0.4對該染色體上部分編碼按照一定的規則進行改變。變異規則如下：

解一遵循逆向排序法(Reverse Sorting)。任取染色體上兩點，將它們之間的基因逆向排序，如圖9所示。

圖9 解一變異示意圖

解二變異規則為：任取一個平面，在平面的水平和豎直方向各取兩個點，獲得一個區域(如圖10中虛線框)，區域內以行為單位，將所有行逆向交換順序，如圖10所示。

(a) 變異前

(7) 插入算子：每次進行完交叉、變異之后，將上一代中10%的最優個體復制插入到下一代，以保證每代種群中個體總數不變。

(8) 終止條件：通過多次測試，迭代次數MaxGen=400時最終結果可趨于穩定，以此值作為最大迭代次數來終止運算[14]。

3.3 實例結果

運用MATLAB編寫算法程序，最終得出的目標函數收斂情況如圖11所示。

可以看出，該遺傳算法在第369次迭代時收斂于最優解或近似最優解。此時員工與機器匹配情況、各產品生產路線簡易矩陣表示如圖12和圖13所示。可以看出，生產非加急產品1時，選擇在對角線低效機器加工(圖13中虛線路線)；而生產加急產品6時，則避開對角線的低效機器、在單元間不斷轉移(產生物流)并選擇在高效機器上加工(圖13中實線路線)。此結果說明了算法的有效性。

圖12 員工與機器匹配矩陣

圖13 產品生產路線簡易矩陣

3.4 數值實驗

為了進一步說明模型的合理性，即檢驗對產品物流進行研究的必要性，分別嘗試不同參數設置情況下產品存在物流與無物流時運作成本的比較，具體情況如表3-表7所示。在表5-表7中，N1=1.2a,N2=1.8a,N3=1.8a,N4=2.0a,N5=1.9a,N6=2.1a,a=1.0×10e。

表3 不同C有無物流的成本比較(J=6,N1=1 200,N2=N3=1 800,N4=2 000,N5=1 900,N6=2 100)

表4 不同J有無物流的成本比較(C=6,N1=1 200,N2=N3=1 800,N4=2 000,N5=1 900,N6=2 100)

表5 不同Nq有無物流的成本比較(C=6,J=6)e=2時的成本比較 %

表6 e=3時的成本比較 %

表7 e=4時的成本比較 %

dq、θq、φq、Lq以及tqcj在合理范圍內隨機取值(本例中dq∈[8 000,13 000],θq∈[6,40],φq∈[6,24],Lq∈[0.4,1.2]，tqcj∈[0.01,99.99])；ep、βq、mcj以及hq在各自定義范圍內隨機取值；α取-1。

表3中固定J和Nq值，改變C值，針對每個C值隨機生成10個實例，求出它們目標函數的最小值MIN、最大值MAX和平均值AVE。通過比較有物流與無物流情形下的平均值，計算成本下降百分比。表4中固定C和Nq值，改變J值。表5中固定C和J值，改變Nq值。從以上三種情況可以看出，成本下降百分比可達11.66%～35.39%，即在增大單元、工序規模以及擴大生產量的情況下，產品存在物流總比無物流的運作成本低。此結果說明了模型中討論物流因素的重要價值。

4 結 語

本文研究了在單元制造系統中對員工與機器進行配置從而生產多類型產品的優化問題。多技能員工的學習效應使加工每件同類產品的時間逐步縮短并趨向穩定值，因此員工與機器匹配的復雜度大大增加。由于允許產品在單元間移動及同功能機器的效率差異，使得生產路線對各瓶頸工序的生產時間產生重要影響。以庫存成本、延期交貨成本和物流成本最小化為目標，對該問題建立了0-1非線性規劃模型，設計遺傳算法得出合理的人員機器配置方案以及各產品的最優生產路線。典型實例顯示，生產加急產品時，該算法可使產品在單元間不斷轉移并選擇在高效機器上加工。大量隨機數值實驗也表明，在不同生產規模的單元化制造實踐中，構建合理的單元間產品物流對于有效降低運作成本具有重要的現實意義。

本研究還可從以下方面做進一步探索。首先，可針對工業互聯網環境下，考慮設備移動、租賃及共享等因素對單元制造系統資源配置的影響進行研究；其次，可將單周期生產情況拓展至多周期；最后，可設計有效的啟發式算法，以改善遺傳算法初始種群的質量，實現快速收斂，這對于工業級的大規模問題而言也有重要的研究價值。