基于柯西中值定理的極限研究

王曉松 徐瑩

摘 要：柯西中值定理是微積分的一個基本定理，它在拉格朗日中值定理的證明及許多未定型極限的運算上都起著重要的作用。本文基于柯西中值定理進行極限延伸，重點對其定理及其證明進行研究。

關鍵詞：柯西中值定理；柯西定理；極限；證明

一、引言

柯西是法國著名的數學家和天文學家，他發明的許多定理和公式都以其姓名來命名，如柯西中值定理、柯西積分定理、柯西積分公式、柯西不等式等。其中柯西中值定理是微積分學中一個非常重要的定理，它對于許多等式、不等式的證明、極限的運算方面都起著至關重要的作用。本文基于柯西中值定理，與函數極限的概念相結合，重點研究兩種特殊類型的極限及其證明。

二、柯西定理及證明

定理1（柯西中值定理）：若函數[f（x）]，[F（x）]滿足：

（1）在[a，b]上連續。

（2）在[a，b]上可導，且[F'x]在[a，b]內每一點均不為零，則至少存在一點[ε∈a，b]，使得：[fb-f（a）Fb-F（a）=f'εF'ε]。

定理2：若函數[f（x）]定義于區間[a，+∞]上，且在每一個有窮的區間[a，b]內是有界的，則：

（1）[limx→+∞f（x）x]=[limx→+∞fx+1-f（x）]。

（2）[limx→+∞f（x）1x=limx→+∞f（x+1）x]（[f（x）≥C≥0]），假定在等式右端的極限都存在。

證明：

（1）記[limx→+∞fx+1-f（x）=A]，任給[ε>0]，必存在正數[X0>a]，使當x[≥X0]時，恒有[fx+1-fx-A<ε2]。

現設x[>X0+1]，于是，恰有一個正整數n（依賴于x），滿足n[≤x-X0

令[τ=x-X0-n]，則0[≤τ<1]，x=[X0+τ+n]。

有[f（x）x-A=nxfx-fX0+τn-A+fX0+τx-X0+τAx]。

易得[nxfx-fX0+τn-A≤fX0+τ+n-fX0+τn-A]

=[1nk=1nfX0+τ+k-fX0+τ+k-1-A]

[≤1nk=1nfX0+τ+k-fX0+τ+k-1-A<1n·nε3=ε3]。

由假定，[f（x）]在[X0≤xX1]時，恒有[f（X0+τ）x<ε3（0≤τ<1）]；

另外，顯然存在正數[X2]，使當x[>X2]時，恒有[（X0+1）Ax<ε3]。

令X=max[X0+1，X1，X2]，于是，當X[>X]時，必有[f（x）X-A<ε3+ε3+ε3=ε]。

由此可知：[limx→+∞f（x）x=A]，故（1）得證。

（2）由假定[f（x）≥C>0]，記[limx→+∞f（x+1）f（x）=A']，顯然[A'≥0]，下證[A'>0]。事實上，若[A'=0]，則存在正數[X0]，使當x[≥X0]時，必有0[

于是0[

由此可知，[ limx→+∞fX0+n=0]，此顯然與[f（x）≥C>0]矛盾，故此有[A'>0]。

由于[f（x）≥C>0]且[f（x）]在每個有窮區間[a，b]內有界，故函數[lnf（x）]在每個有窮區間[a，b]內也有界，并且[limx→+∞lnfx+1-lnf（x）=limx→+∞lnf（x+1）f（x）=lnA']。

于是，將（1）的結果用于函數[lnf（x）]，即知[limx→+∞lnf（x）x=lnA']。故有[limx→+∞f（x）1x=limx→+∞elnf（x）1x=limx→+∞elnf（x）x=elnA'= A']。

證明完畢。

三、結論

柯西中值定理是微積分中一個非常著名的定理，它在微積分、復變函數等多門數學學科中都起著至關重要的作用，它的證明、應用及其延伸一直是教師探討學習的重要內容。本文對柯西中值定理進行了極限延伸，重點研究兩種特殊類型的極限類型并進行證明。在教學過程中，教師應指引學生將其結論運用到具體的解題過程中，并對柯西定理進一步深入研究推導，得出更多結論并實際應用。

參考文獻

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[4]陳潔.柯西定理的推廣及其應用[J].韶關大學學報（自然科學版），2000（02）：41-4.

作者簡介

王曉松（1983—），女，安徽省宿州市人，助教，學士，主要從事數學與應用數學研究。

徐瑩（1984—），女，安徽省宿州市人，二級教師，本科，主要從事小學數學教育研究。