簡化圓錐曲線的計算能力的基本原則

2019-04-10 08:29:08康俊林

師道·教研 2019年2期

康俊林

歷年來，理科數學高考題中，考查圓錐曲線的題目安排在倒數第二題，比最后一題稍容易一些，但是，它的計算量卻常常讓成績中上層次的學生望而卻步，往往是聯立方程后，就置之不理。其實，圓錐曲線的計算是有技巧的，一味機械式地進行運算，只會增加對數學的厭倦感。如果能掌握一些簡化圓錐曲線的計算能力的基本原則，那么學生對圓錐曲線的試題就不會有這么大的抵觸心理了。

原則一：假設未知數，盡量減少未知數的個數。

圓錐曲線中，變量太多就是使計算量增大的基本原因，如果未知數減少了，那么計算量也就減少了，可以更加接近目標。

例1 已知橢圓C ?1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為e=33，直線l：y=x+2與以原點為圓心，以橢圓C ?1的短半軸長為半徑的圓O相切。（1）求橢圓C ?1的方程;（2）拋物線C ?2：y2=2pxp>0與橢圓C ?1有公共焦點，設C ?2與x軸交于點Q，不同的兩點R、S在C ?2 上（R、S與Q不重合），且滿足QR·RS=0，求QS的取值范圍。

原則二：恰當利用對稱性，合理進行消元。

如果假設的變量相當多，又有一些坐標具有對稱性，如果盲目地進行消元，原則上可以進行，但是操作相當復雜。但是如果能恰當利用對稱性，就能合理地進行消元，達到簡化的效果。

例2 已知雙曲線E：x2a2-y24=1a>0的中心為原點O，左、右焦點分別為F ?1、F ?2，離心率為355，點P是直線x=a23上任意一點，點Q在雙曲線E上，且滿足PF ?2·QF ?2=0。（1）求實數a的值;（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值;（3）若點P的縱坐標為1，過點P作動直線l與雙曲線右支交于不同的兩點M、N，在線段MN上異于點M、N的點H，滿足PMPN=MHHN，證明點H恒在一條定直線上。

原則三：合理利用向量的坐標運算，建立各變量的聯系。

在圓錐曲線的試題中，常常會出現共線問題，如果能合理利用向量的坐標運算，那么可以使運算量大幅度地減少。

例3 設橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右頂點分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=32。過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且QP=PC。（1）求橢圓的方程;（2）求動點C的軌跡E的方程;（3）設直線AC（C點不同于A，B）與直線x=2交于點R，D為線段RB的中點，試判斷直線CD與曲線E的位置關系，并證明你的結論。

解析：

（1）由題意可得a=2，e=ca=32，∴c=3，∴b2=a2-c2=1，所以橢圓的方程為x24+y2=1。

（2）設C（x，y），P（x ?0，y ?0），由題意得x=x ?0y=2y ?0，即x ?0=xy ?0=12x，又x2 ?04+y2 ?0=1，代入得x24+（12y）2=1，即x2+y2=4。

即動點C的軌跡E的方程為x2+y2=4。

（3）設C（m，n），點R的坐標為（2，t），

∵A，C，R三點共線，∴AC//AR，

而AC=（m+2，n），AR=（4，t），則4n=t（m+2），

∴t=4nm+2，

∴點R的坐標為（2，4nm+2），點D的坐標為（2，2nm+2），

∴直線CD的斜率為k=n-2nm+2m-2=（m+2）n-2nm2 ?-4=mnm2 ?-4，

而m2 ?+n2 ?=4，∴m2 ?-4=-n2 ?，

∴k=mn-n2 ?=-mn，