N個平面最多可將空間分成多少個部分

王慧玲

江漢油田廣華中學 湖北潛江 433124

在立體幾何中有一個問題：“3個相互平行的平面可將空間分成幾部分？”答案是“4個部分。”接著提出：“3個平面可將空間分成幾部分？”的問題，由于去掉了“相互平行”的條件，這個問題必須分類討論回答：

1.當3個平面相互平行時，分空間為4個部分；

2.當有且僅有兩個平面平行時，分空間為6個部分；

3.當3個平面兩兩相交于一條直線時，分空間為6個部分；

4.當3個平面兩兩相交，3條交線不交于同一點時，分空間為7個部分；

5.當3個平面兩兩相交，3條交線交于一點時，分空間為8個部分。

于是我們得出“3個平面最多可將空間分為8個部分”的結論。在這一背景下，提出了值得深入研究的新課題：“4個平面最多可將空間分為多少部分？n個平面又將空間最多分成多少部分？”

首先應明確，當這n個平面滿足以下條件時，所分割的部分數是最多的。

1.這n個平面兩兩相交；

2.沒有三個以上的平面交于一點；

3.這n個平面的交線任兩條都不平行。

對于一般情況一下子不易考慮，我們不妨試著從簡單的，特殊的情況入手來尋找規律。設n個平面分空間的部分數為an，易知：

當n=1時，a1=2；

當n=2時，a2=4；

當n=3時，a3=8；

當n=4時，情況有些復雜，我們以一個四面體為模型來觀察，三棱錐的4個面延展后就成了4個平面兩兩相交，且交線互不平行，每3個平面相交于一點，4個交點就是三棱錐的4個頂點。每個頂點各自“對著”一部分空間，4個頂點，6條棱，4個面“對著”14個部分空間，但4個面中間圍了一部分空間，所以4個平面最多可將空間分成15個部分。可知a4=15。

從以上幾種情況，很難找出一個一般性的規律，而且當n的值繼續增大時，情況更復雜，看來這樣不行。那么，我們把問題再進一步簡單化，將空間問題退化到平面問題，三維退化到二維，二維退化到一維。

一、n個點最多可將一條直線分割成多少個部分

記n個點最多可將一條直線分成部分數為cn，易知，且每增加一個點，會把原有的線段（射線）中的某一個線段（射線）一分為二，即

二、n條直線最多可將平面分割成多少個部分

假設這n條直線中，任兩條不平行，任三條不交于同一點，設n條直線最多可將平面分割成 個部分，那么：

當n=k時，設k條直線將平面分成了bk個部分，接著當添加上第k+1條直線時，這條直線與前k條直線相交有k個交點，這k個交點將第k+1條直線分割成k+1段，而每一段將它所在的區域一分為二，從而增加了k+1個區域，故得遞推關系

顯然當k=1時， ，當k=1，2，……n-1時，我們得到個式子：

我們來歸納一下解決這個問題的思路：從簡單情形入手，確定bk與bk+1的遞推關系，最后得出結論。接下來我們回到原問題，用剛才的思路來解決空間的問題。

三、n個平面最多可將空間分割成多少個部分

設k個平面將空間分割成ak個部分，再添加上第k+1個平面，這個平面與前k個平面相交有k條交線，這k條交線，任意三條不共點，任意兩條不平行，因此這第k+1個平面就被這k條直線分割成bk個部分。

而這個bk部分平面中的每一個，都把它所通過的那一部分空間分割成兩個較小的空間。所以，添加上這第k+1個平面后就把原有的空間數增加了bk個部分。由此的遞推關系

當k=1，2，3……n-1時，我們得到如下n-1個關系式：