復合方程求根問題

肖婧宇

摘 要 復合函數是指自變量進過兩次以上的映射，復合函數等于零求根的問題稱為復合方程。復合方程是高考中的常見考點，需要按順序求解兩次，本來著重討論該問題處理流程。

關鍵詞 復合函數 復合方程 函數零點 數形結合

中圖分類號：O151.2 文獻標識碼：A

1已知函數求根

例1：設R上的函數則關于的函數的零點個數為（D）

A.2 B.3 C.5 D.7

解；設，圖像如圖：

或1，如圖： ， 4個根；

，3個根。

分析：對于這樣的題，先將換元，再解復合方程得到的可能值，最后畫出圖像，根據數形結合得到x的個數。

例2：定義域為R的函數若關于x的方程 + 有5個不同的實數解，則（B）。

A.2B.6 C.2或6 D.4或6

解：設，圖像如圖：

如圖可知：一個最多對應4個x，所以定然有2個，。因為不存在1個對應1個x的情況，所以一定是1個對應2個x，另一個對應3個x，因此有一個一定為4，代入得m=2或6。

m=2時，=1，=4 對應7個根，舍去；

m=6時，=4，=9成立。

分析：對于已知實數解個數的題，應先畫出圖像分析的個數及對應根的個數進行討論。

例3：關于的方程，給出下列四個命題：

（1）存在實數，使得方程恰有2個不同的實根；

（2）存在實數，使得方程恰有4個不同的實根；

（3）存在實數，使得方程恰有5個不同的實根；

（4）存在實數，使得方程恰有8個不同的實根.

其中假命題的個數是（A）

A. 0 B. 1 C. 2 D.3

解：設

（1） ，t無解，x無解；（2） ，，x有4個解；

（3），

（1）k=0，，；

（2）， ，x有8個解；

（3），，，， x有2個解。

分析：對于復合方程中的常數項未知的題，先根據討論該未知量在不同取值范圍內對應f（x）的范圍或取值，再數形結合得到解的個數。

2已知函數圖像求根

例：定義域和值域均為（常數a>0）的函數y=f（x）和y=g（x）的函數圖像如圖所示，給出下列4個命題：

（1）方程f[g（x）]=0有且僅有三個解；

（2）方程g[f（x）]=0有且僅有三個解；

（3）方程f[f（x）]=0有且僅有九個解；

（4）方程g[g（x）]=0有且僅有一個解。

中正確的個數為（B）。

A.1 B.2 C.3 D.4

（1）設，如圖：，，都為0。，， 在g（x）圖像中畫出各對應1個根，共3個根，（1）正確，（2）（3）（4）錯誤。

分析：對于這樣的題，先觀察復合函數為零時內層函數的取值范圍，再在內層函數圖像上作圖觀察根的個數。