談談“函數”

楊婉玲

摘 要 “函數”是中學數學中最基本、最重要的概念。由于函數是以運動變化的觀點對現實世界數量關系的一種刻畫，決定了它是對學生進行素質教育的極好材料。函數所包含的內容十分廣泛，它的概念和思維方法滲透在數學的各個部分。

關鍵詞 中學數學 “函數”

中圖分類號：G642.41 文獻標識碼：A

首先，讓我們來認識一下“函數”。函數概念的形成在歷史上大體分三個階段。

第一階段把函數定義為“解析表達式”。由于17、18世紀工程技術和天體力學研究的需要，引進了變量，研究變量必然涉及到變量與變量之間的關系，于是函數的概念就逐漸形成了。1784年歐拉在《無窮小分析引論》中把單變量的函數定義為“由該變量與數字一起以任意方式構成一種解析表達式”。

第二階段把函數定義為變量之間的單值對應。隨著函數研究的發展和函數廣泛的應用，只停留在把函數理解為解析表達式顯然不夠全面。例如，由列表法、圖象法，所表示的函數關系就不包含在上述定義中，于是產生了把函數定義為“變量之間的單值對應”，柯西給出的定義是“對于x的每一個值，如果y有完全確定的值與之對應，那么y叫做x的函數”現階段初中數學的函數概念就接近這個定義。這樣，函數可以用解析式表示，這樣就把函數概念又一次擴充了。

在集合與對應概念的基礎上，把函數定義為一種特殊的對應。并用y=f（x）表示是函數概念的一次深化，它為函數概念的第三個階段作了準備。由于中學研究的函數主要是數值函數，而且又以連續函數為主，所以高中階段的函數僅限于以集合與對應的概念來解釋數值函數的概念。

了解了函數的形成歷史，在此基礎上，對函數的教學才能有的放矢。不難發現，在中學階段，我們對函數的學習是循序漸進的。在中學數學教材中，函數的教學大致可分為三個階段。

第一階段是在初中代數課程中初步探討了函數的概念。其中初一（上）“字母表示數”一章，旨在讓學生體會字母表示數的必要性，從而引入代數式。實質上這里已經滲透了初步的函數思想。初一（下）“變量之間的關系”一章，通過大量貼近學生生活的實例，讓學生體會變量之間相互關系的普遍性，并通過列表、解析式、圖象幾種方式呈現變量之間的關系。同時也暗示函數的三種表示方式。初二（下）則明確變量之間的這種關系就是函數，并研究較為簡單、應用最為廣泛的一次函數，而其后進一步研究反比例函數和二次函數。

第二個階段舊教材安排在第一冊第二章函數及第四章三角函數。新教材必修1第二章安排了：函數概念與基本初等函數。必修4第一章安排了：三角函數。第二階段實際是對函數概念的再認識階段，即用集合與對應的觀點理解函數的一般定義，加深對函數概念的理解，在此基礎上研究了指數函數、對數函數，（新教材又增加了冪函數）以及后面的三角函數等基本初等函數，從而使學生在第二階段獲得較為系統的函數知識，并初步培養了函數的應用意識，為今后學習打下了良好的基礎。

在舊教材中，函數概念的產生是在映射、一一映射等概念之后。使用的是由一般到特殊的演繹法。但新教材對函數教學的安排有所改變。它在初中的函數基礎上，運用集合與對應的觀點解釋了函數的概念。在函數概念給出后再給出映射的概念。而且學習中對映射的要求也淡化了，一一映射的概念干脆沒有給。原來的函數部分對映射、一一映射這些抽象的概念要求太高，而這些對高中學生來講較難接受，通過這次調整，使這種抽象的概念加以淡化，而且只要求學生從直觀上了解映射的概念。這樣做學生在理解函數的概念上更加直觀、更加明確。而且從學習效果上來看，明顯的學生對函數概念的理解上更加到位、更加深刻。

三角函數方面新教材也作了調整，舊教材三角函數方面的內容共3章23節70多課時，而新教材安排了必修4第一章10節約16課時，第三章5節約8課時。從內容上看，新教材是原教材的縮減，如原教材中的反三角函數和簡單三角方程，縮減為新教材中的鏈接內容。只利用幾個例題簡單明了地給出了反三角函數的定義，三角方程剔除了。這樣做很大程度地減輕了學生的學習負擔，學生在知識層面上更容易接受。

導數作為選修課進入高中新課程后，為研究函數提供了更有力的工具和更廣闊的空間。諸如曲線的切線、函數圖象的形態、函數的單調性、函數的極值與最值問題等，都得到了有效而徹底的解決。對函數的考察重點也將隨之向用導數方法研究函數問題轉移。其中原課程對函數單調性的研究僅局限于用定義考察某些簡單函數的單調性，而應用導數研究函數單調性的方法更具一般性。函數的最值是函數的重要內容之一，也是解決實際應用問題的重要題材，導數方法提供了解決一元函數最值問題的通則通法，把函數最值的應用拓展到更廣泛的領域。所以，應用導數研究函數性質成為新課程命題的熱點。從近幾年的高考試題中不難發現這一點。

總之，函數概念是中學數學的一條主動脈。我們只有不斷地認真研究新大綱和新教材，把新課程改革實驗扎實地貫徹于課堂教學中。深入地認識函數，并不斷地對函數進行學習和研究，才能讓學生更好地學習和運用函數的知識來解決相關的問題。這是我們每一個中學教師應該認真做到的。