2018年高考數學試題中的數學文化

李英

[摘? ?要]數學文化作為一種藝術、方法的思想體系，已經毫無爭辯地具備了獨立的文化特征.2018年高考數學試題體現了數學文化在建筑設計、音樂等中的滲透.基于此，整理2018年高考數學試題中滲透的數學文化內容以展現數學文化的精髓和魅力.

[關鍵詞]高考;數學文化;2018年

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0026-02

湖南省教科院數學教研員黃仁壽老師說過：“數學文化是數學的一個重要的組成部分，數學本身也是一種特殊的文化.”2017年高考數學考試大綱明確提出了“數學高考命題要注重體現數學的科學價值和人文價值”的要求，同時加強了對數學文化的考查，如增加優秀傳統文化的考核內容，積極培養和踐行社會主義核心價值觀，發揮高考的育人功能和導向作用;而在能力要求方面，命題專家精細加工，滲透數學思想方法;在內涵要求方面，增加了基礎性、綜合性、創新性的要求.對此，筆者整理了2018年高考數學試題中滲透的數學文化內容，以供讀者賞析.

一、古今中外的數學文化

[題1]（2018年上海卷第15題）《九章算術》中，稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬.設AA?是正六棱柱的一條側棱，如圖1.若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以AA?為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數是（ ）.

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

本題出自《九章算術·商功》：“陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.”今稱為劉徽原理.《九章算術》是我國古代內容豐富的數學名著.為了傳承這個經典之作，弘揚中華傳統文化和文明，近幾年來在全國高考數學試題里，從《九章算術》中選取與高中數學教學相應的材料為背景，經命題專家的精細加工，編制出高考題式，體現了《九章算術》與高考數學的完美結合.

中國古代著名數學著作里有很多與中學數學有關的思想方法，如《九章重差圖》（劉徽），重差法是測量數學中的重要方法;《數書九章》（秦九韶），“大衍總數術”（即一次同余組解法）與“正負開方術”（即高次方程數值解法）;《張丘建算經》里“百雞術”就是世界著名的不定方程問題;《四元玉鑒》中最杰出的數學創作有“四元術”（即多元高次方程列式與消元解法）、“垛積法”（即高階等差數列求和）與“招差術”（即高次內插法）;著名的“楊輝三角”，等等.

[題2]（2018年全國卷Ⅰ第10題）圖2來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB、AC.△ABC的三邊所圍成的區域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別記為[p1，p2，p3]，則（ ）.

A. [p1=p2] B. [p1=p3]

C. [p2=p3] D. [p1=p2+p3]

這是古希臘數學家希波克拉底發現的平幾里的優美定理：以直角三角形的兩條直角邊向外作兩個半圓，以斜邊向內作半圓，則三個半圓所圍成的兩個月牙圖形的面積之和等于該直角三角形的面積.數學學科蘊含豐富的審美因素，具有很高的美學價值，其表現形式為對稱美、簡潔美、和諧美和奇異美.

[題3]（2018全國卷Ⅱ第8題）我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30 = 7 + 23.在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是（ ）.

A.[112] B.[114] C.[115] D.[118]

陳景潤是我國，也是世界著名的解析數論學家.他證明了“每個大偶數都是一個質數以及一個不超過兩個質數的乘積之和”，這一創舉使得他在世界哥德巴赫猜想的研究領域居領先地位.本題以此為背景，激發學生的民族自豪感和愛國精神，培養學生的創新意識.

二、建筑中的數學文化

數學遇到建筑時往往會發生令人驚喜的化學反應，產生意料之外的美.建筑是根據美感和功能的需求，對土地、材料、結構進行堆積和組合，它們的比例決定著建筑中個體和整體的數學關系.如中國古代的趙州橋——圓弧，湖南長沙龍王港中國結大橋——莫比烏斯帶和中國結;山西太原雙塔——數列;上海東方明珠塔——黃金分割比;胡夫金字塔——圓周率、勾股定理，這些都是高考數學與建筑工藝相結合的美.這種美在2018年高考數學試題中就有所體現.

[題4]（2018年全國卷Ⅲ第3題）中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖3中木構件右邊的小長方體是榫頭.若如圖3擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（? ? ? ?）.

我國古典家具的榫卯設計不同于其他傳統手工藝品，它要求在滿足人們的視覺美感后，還要求具備科學合理性，使其長久的耐用.這就要求每個木料榫頭卯眼，必須根據家具的造型組合，從力學上每個木料所受到的承受力，這些精準的測量只有在古代木工師傅的多年目測經驗中，能準確地判斷出來.本題讓學生對我國的傳統工藝有所了解，為我們國家的民族產業感到自豪，也堅定了振興中國傳統產業，傳承發揚非遺文化的信念.

三、音樂中的數學文化

音樂能給人以美妙的感受.古人云：“余音繞梁，三日不絕.”愛因斯坦是一位出色的小提琴家，也能熟練地彈奏鋼琴.H·Whitney（惠特尼）是位很著名的美國數學家，向量叢的Stiefel-Whitney類就是用他的名字命名的，還有一個著名的定理：每一個n維的流形都浸入一個2n -1維的歐氏空間嵌入一個2n維的歐氏空間，奇妙的是他在耶魯大學的專業是小提琴.

[題5]（2018年北京卷4）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于[2 12].若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為 （ ）.

A.[23f] B.[223f] C.[2512f] D.[2712f]

十二平均律，又稱為“十二等程律”，是一種音樂定律方法，它將一個純八度平均分成十二等分，每一等分稱為半音，是最主要的調音方法.鋼琴就是根據十二平均律來定音的.明朝的皇族世子朱載堉發明了以珠算開方的辦法，得到律制上的等比數列.本題展示了數學的知識和思維方式在世界各領域的廣泛滲透和影響，對引導學生樹立數學應用意識具有積極意義.

擁有理性的數學和感性的音樂，雖然描述世界的方式不同，但是數學和音樂若能融合為一體，就會展示出優美的旋律，讓人們有了美的體驗和享受.比如：樂器之王——鋼琴的鍵盤恰好與斐波那契數列有關;匈牙利的作曲家貝拉巴托克用黃金分割作曲《弦樂、打擊樂與鋼片琴的音樂》;同樣的，根據傅立葉定理，每個樂音可以分解成一次諧波與一系列整數倍頻率諧波的疊加，這樣純粹的函數圖像也可以用來作曲.

縱觀這些年的高考數學，滲透數學文化的試題不僅將數學知識、數學思想方法、數學精神融為一體，體現了數學對學生理性思維、創新能力的考查，也讓學生在緊張的測試之余，有美的體現和享受.在平時的教育教學中，教師應時刻樹立數學文化的意識，不僅讓學生感嘆祖先的智慧，增強民族自豪感，還要讓學生受到數學文化的熏陶，提高學生的數學素養.

（特約編輯 安 平）