圓形勻強磁場對帶電粒子的匯聚和發散作用

趙前山 安靜

[摘? ?要]帶電粒子在磁場中的運動問題種類多，試題難度較大，學生分析解答較難，然而這方面知識，卻是高考考查的重點和熱點，值得廣大高三教師和學生重點關注。有關帶電粒子在磁場中運動問題的文章很多，但討論圓形勻強磁場對帶電粒子的匯聚與發散作用的文章較少，在此做簡要的探討。

[關鍵詞]圓形勻強磁場;帶電粒子;匯聚;發散

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0052-02

在高中物理教學中，圓形勻強磁場對帶電粒子的匯聚和發散作用是經常遇到的題型，高考中也常見，那么這兩種模型有什么規律呢？

以上是磁匯聚的證明，磁發散也可以證明（可以參看例1），如圖2所示。

畫出帶正電的粒子在磁場中的運動軌跡如圖2中實線所示，O2為軌跡圓心。設粒子的入射方向與x軸的夾角為[θ]，由幾何知識可知，

從以上的證明過程來看，平行四邊形OAO′B（或四邊形OO1EO2）為菱形是問題的關鍵，表明有界圓形勻強磁場的圓形半徑和粒子運動的圓半徑相等是結論成立的前提。若二者不相等，結論不成立。

由此我們可以得出下面的結論。

前提條件：當圓形勻強磁場的半徑與粒子運動的圓軌跡半徑相等時，存在兩條特殊規律。

磁發散：帶電粒子從圓形有界勻強磁場邊界上某點射入磁場，如果圓形勻強磁場的半徑與粒子運動的圓軌跡半徑相等，則粒子的出射速度方向與圓形磁場上入射點的切線方向平行，如圖3所示（正粒子為例）。

磁匯聚：平行射入圓形有界勻強磁場的相同帶電粒子，如果圓形勻強磁場的半徑與粒子運動的圓軌跡半徑相等，則所有粒子都從磁場邊界上的同一點射出，并且出射點的切線與入射速度方向平行，如圖4所示（正粒子為例）。

從以上分析可以看出，磁發散的粒子都從AB的右半圓的邊界平行射出，而磁匯聚的粒子雖然都是平行射入但是都從AB半圓的左半邊匯聚于A點。

下面看幾個例子。

【例1】（磁發散）如圖5所示，P是一個放射源，從開口處在紙面內向各個方向放出某種粒子（不計重力），而這些粒子最終必須全部垂直射到底片MN這一有效區域，并要求底片MN上每一地方都有粒子到達。假若放射源所放出的是質量為m、電量為q的帶正電的粒子，且所有的粒子速率都是v，M與放射源的出口在同一水平面，底片MN豎直放置，底片MN長為L。為了實現上述目的，我們必須在P的出口處放置一有界勻強磁場，求：

（1）勻強磁場的方向;

（2）畫出所需最小有界勻強磁場的區域，并用陰影表示;

（3）磁感應強度B的大小以及最小有界勻強磁場的面積S。

解析：

（1）所有粒子經過磁場時受洛倫茲力作用，而向右偏轉，由左手定則可以判斷出：勻強磁場的方向垂直紙面向外。

（2）最小有界磁場如圖6所示。

解析：

（1）由磁發散規律可知，從圓形有界磁場邊界上O點射入磁場的電子，由于軌跡圓半徑等于磁場圓半徑，因此所有電子出射的速度方向互相平行，都平行于入射點的切線方向，即與Ox平行，如圖11所示。

（2）由磁發散和磁匯聚規律可知：考慮向x軸上方射出的電子，從磁場1中射出的電子速度相同，如果再平行射入一個等大的圓形有界磁場，則又會聚焦于x軸上的同一點N，根據左手定則，可以確定磁場2的方向也是垂直紙面向里的，如圖12所示。考慮幾何條件的限制，兩個磁場不能相互交疊，則MN間的距離應該大于兩圓的半徑之和，即[L≥2R]（L為MN兩點間的距離），由此可得所加磁場的磁感應強度應滿足條件：[B≥2mv0eL]。

對于向x軸下方射出的電子，要將它們從M點射出后聚焦于N點，也可以采取相同方法，加上兩個半徑也是R的圓形磁場，只是x軸下方磁場方向應與上方的相反。整個磁場區域設計如圖13所示。

實際上，在非勻強磁場中也有磁發散和磁匯聚現象，這種將發散粒子束會聚到一點的現象與透鏡將光束聚焦的現象十分相似。

磁匯聚在許多電真空系統（如電子顯微鏡）中得到廣泛應用，實際中用得更多的是短線圈內非均勻磁場的磁匯聚。這一原理也可以應用于可控熱核反應的研究中，這種現象也存在于宇宙空間，例如地球的磁場在南北極較強，中間較弱，它可將宇宙射線中部分帶電粒子俘獲，并且把它們約束在一定空間范圍內，形成環繞地球的輻射帶（稱為范·阿倫輻射帶）， “護佑”著善良的人們，使他們得以享受美好的生活。

（責任編輯 易志毅）