兩角差的余弦公式的不同推導(dǎo)方法

周炳

[摘? ?要]在學(xué)完任意角的三角函數(shù)后，接下來(lái)就是三角函數(shù)的恒等變換，而兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程是學(xué)習(xí)后面三角函數(shù)恒等變換的重要基礎(chǔ)，兩角和與差的余弦公式、兩角和與差的正弦公式及正切公式都是在兩角差的余弦公式上變形得來(lái)的，所以兩角差的余弦公式的證明與推導(dǎo)作為基礎(chǔ)公式，得到了廣大高中教師與學(xué)生的高度關(guān)注.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)各版本教材的兩角差的余弦公式的推導(dǎo)方法，能提高學(xué)生對(duì)公式的理解與記憶能力，能幫助學(xué)生有效解決恒等變換問題.

[關(guān)鍵詞]兩角差;余弦公式;推導(dǎo)方法;單位圓;三角函數(shù)線

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）05-0036-02

本文主要對(duì)不同版本高中數(shù)學(xué)教材的兩角差的余弦公式的推導(dǎo)方法以及筆者在貴州省榕江第一中學(xué)的一節(jié)公開課中所講解的兩角差的余弦公式的推導(dǎo)方法進(jìn)行論述.

一、利用三角函數(shù)線的定義推導(dǎo)兩角差的余弦公式

[反思]“利用三角函數(shù)線的定義來(lái)推導(dǎo)兩角差的余弦公式”這一推導(dǎo)方法學(xué)生很難想到，需要畫的輔助線太多，但是輔助線畫出來(lái)以后容易理解. 另外，該推導(dǎo)方法的另一個(gè)難題在于，公式都是在角[α、β]均為銳角的情況下進(jìn)行推導(dǎo)與證明的，所以還需進(jìn)一步考慮角[α、β]從銳角向鈍角以及任意角的推廣問題.在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生反饋“很難想到該方法”以及“任意角的推廣有難度”.

二、利用向量數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式

[反思]利用向量數(shù)量積的定義以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算推導(dǎo)余弦的差角公式可以避免煩瑣的幾何輔助線及對(duì)角度范圍的討論.將向量的數(shù)量積的概念與坐標(biāo)運(yùn)算的兩種形式有機(jī)結(jié)合起來(lái)，充分體現(xiàn)了向量在高中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)作用.在實(shí)際教學(xué)中，由于我們還沒有學(xué)習(xí)平面向量，因此實(shí)際教學(xué)起來(lái)難度較大.

三、利用面積恒等推導(dǎo)兩角差的余弦公式

四、利用三角形全等的方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式

五、利用兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)兩角差的余弦公式

（特約編輯 安 平）