如何讓學生深化學習數學思想方法

黃河清

數學思想方法是數學中所蘊含的一般的思維規律，是數學的靈魂.中學生學習數學思想方法的現狀：一方面從教材內容上看，數學思想方法的表現形式隨著數學知識的逐步深化呈現出不同的層次性;另一方面，教師對數學思想方法的教學也因教學內容的不同呈現出一種“零散”的狀態.這使得學生對數學思想方法的學習是孤立的、缺乏聯系的，常處于“教者有心，學者無意”的層面，不能使學生對數學思想方法的學習與感悟形成一個“系統”，影響了學生學習水平的提高.

那么，立足學生“學”的層面，如何加強學生對數學思想方法的學習呢？

一、增強對數學思想方法的認識

數學教材內容，包括兩個方面：一是數學知識，二是蘊含于知識中的數學思想方法.概念、定理、公式等知識是數學的外在表現形式，數學思想方法則是數學思維、數學發現的內在動力.知識是基礎，方法是先導.相比掌握知識而言，方法促進的是人的思想，更具有潛在的價值，更需要我們注重指導學生學習與內化.

盡管沒有嚴格的劃分，但我們習慣上把數學中那些具體的、操作性較強的解決問題的辦法稱為方法，而把那些抽象的、框架性的解決問題的辦法稱為思想.中學的數學思想方法有以下三種基本類型.

（一）技巧型方法

比如，十字相乘法、配方法、代入法、加減消元法、換元法、待定系數法、等積變換法、向量法和錯位相消法等，它們有特定的研究對象和具體的解題模式，比較容易按既定程序操作.

（二）邏輯型思想方法

包括觀察、類比、歸納、聯想、演繹、分析、綜合、抽象和概括等.這些方法不能像技巧型方法那樣能進行很明確的操作，而是只給出了解決問題的一種特定思路，需要學生去尋找相關的邏輯結構進行比較、判斷，才能發現解決問題六法，是一種“推理”“論證”的模式.

（三）全局型的數學思想方法

比如，解題的普遍化猜測（正難則反、特殊到一般）、數形結合法、遷移轉化法、極限化方法等.它給出的是一種解題的策略、方向、思想，需要學生去比較、分析、嘗試、構造，雖然不像前兩種方法那樣具體，卻是更高格局上的思維引領，是一種戰略性的思維.

二、加強對數學思想方法的學習與運用

（一）注重挖掘隱藏于知識中的思想方法

數學知識和思想方法是有機結合的，二者你中有我、我中有你.教材對知識的編排是按邏輯系統的思想來處理的，加上教材本身的特點需要，它不可能把知識的整個系統結構都全部呈現出來.因此，教材中的定理和公式，我們只能看到漂亮的結論和嚴格的證明，卻不能看到數學家發現定理、公式的艱苦探索過程和所運用的數學思想方法;教材中的例題，我們看到的是“它怎么解”，而看不到“它為什么這么解”.換句話說，解題過程中解題者整個探索推理的心智活動過程我們都沒法了解，更不用說他們是如何運用數學思想方法了.因此，在教學中一定要讓學生注重去發現和感悟知識中的思想方法，從具體事例中抽象，從大量事實中概括.

1.分析教材解法特點

教材中的推理依據：“兩非負實數之和為1，則每一項小于或等于1.”這是實數運算中的一個基本事實.類似例子還有很多，如a[ > ]b[ > ]c且[a+b+c=0]，則a[ > ]0，c [< ]0.由此我們能體會到的思想方法為：數論中的客觀事實可以作為我們解題的出發點.

2. 尋找多種解法

3. 從方法中提煉思想

將這三種解法的共性做比較可以發現，由“等式”是可以推出“不等式”的，這種將“不等式”問題轉化為研究“等式”問題的轉化意識，就是十分重要的數學思想.同樣聯想，研究“等式”問題能否也可以轉化為研究“不等式”問題呢？這就建立了“等”與“不等”二者相互依存、相互聯系并在一定條件下可以相互轉化的聯系，這就上升到了哲學思想層面.可見，認真思考、挖掘教材內容，我們是能夠學習、體會到很多數學思想方法是怎樣應用的，它對增強學生對數學思想方法的認識是有很大促進作用的.

（二）要以掌握基本數學思想作為重點

中學數學思想方法也有層次性，有一些數學思想，它們滲透于各類知識之中，對高中數學學習影響廣泛、深遠，我們稱之為基本數學思想.掌握了這些基本數學思想的運用方法，就抓住了中學數學思維方法的重點和精髓，這是需要高度重視的.中學數學有哪些基本數學思想呢？以下做簡要說明.

1. 轉化的思想

從直觀上講，轉化就是化繁為簡，化難為易，化未知為已知，化陌生為熟悉.

由已知得[sinπ2-α>sin β]，此時[π2-α]與β都是銳角，而對于銳角而言，正弦函數遞增，從而[π2-α>β，α+β<π2]（當然α+β > 0）.將已知中的不同名函數變為同名的正弦函數，這一轉化對問題的解決起了關鍵的作用.

聯想是轉化的橋梁，轉化需要廣泛的聯想.廣泛的聯想和轉化的實現都需要有豐富、扎實的基礎知識、基本技能和基本方法.轉化意識的自覺性不僅來源于做習題，更來源于對習題典型解法的總結、回味與“提煉”.

這是圓錐曲線焦點弦問題，一種常見的題型.從圖形看，最容易想到的方法就是采取“底乘以高的一半”的樸素算法.

解法1雖然思路較容易想到，但把線段AB當作底邊，把坐標原點到直線AB的距離當作高，計算量較大且較難算，當方程含參或更復雜時運算會很困難.還有無其他辦法呢？

轉化1：換一個角度來選擇“新的三角形的底邊和高”.以OF為底邊，則△AOF和△BOF的高之和恰好就是A、B兩點縱坐標之差，可得解法2.

可見，合理地選擇底邊和高，不僅在圓錐曲線的解題中能夠大大降低計算量，在立體幾何等其他題型中也常常能夠使用并取得良好的效果.

轉化2：向定值問題轉化.

定值問題，指當一部分元素按某種規律在一定范圍內變動時，與它有關的某些量始終保持不變的問題.定值問題一般分為“定量”和“定形”兩類.在圓錐曲線中，蘊含著許多結構新穎、獨特，內容豐富多彩的定值問題，它們涉及圓錐曲線的定義、幾何性質、直線與圓錐曲線位置關系等.圓錐曲線的定值問題有如下幾個特征：角度定值、長度定值、曲線或直線過定點、坐標之和或之積為定值、曲線所圍圖形面積為定值等.解這些定值問題時一般要借助于圓錐曲線的基本性質，要設出一個或兩個參數（比如直線的斜率k），在已知條件下，通過基本運算，達到或證明其值的目的，需要在變當中尋找不變.適當記住一些定值問題的結論也是非常重要的.

轉化3：運用極坐標求解.

極坐標系下，圓錐曲線問題往往通過建立以焦點為極點的極坐標系，使其極坐標方程適用于橢圓、雙曲線、拋物線，它相對于傳統方法在處理圓錐曲線問題中具有優越性和普遍性.

極坐標形式的焦半徑及焦點弦形式，本質上是圓錐曲線的第二定義，橢圓、雙曲線與拋物線這三種圓錐曲線的焦半徑、極坐標形式是相同的.

2. 分類討論的思想

分類討論思想是數學研究的基本邏輯方法，也是高中數學學習中常用的思維方法.如集合的分類、指數及對數對底的分類討論、二次函數圖像的開口方向與二次項系數的關系、方程有無實數根、含參數問題的討論等，都需要分類討論才能完整求解.掌握分類討論思想，學會將研究對象按其屬性或特征分為不同的類別，用相應的有針對性的方法去解決，這是解決數學問題的一種重要方法.

一般情況下，分類要注意以下問題.

（1）何時需要分類討論

在下述幾種情況下，分類討論一般是難以避免的.

①某種運算可否實施情況不定.

如：除法運算中除數不為零的條件得不到保證;開偶次方時，被開方數非負的條件得不到保證（在實數范圍內）;取對數時，真數大于零，底數大于零且不等于1的條件得不到保證……

②式子變形的條件能否具備情況不定.

如：不等式兩邊所乘（或除）的同一個數的正、負不定;需要兩邊同時乘方的不等式是否為正值不等式情況不定;化去式中絕對值符號時，絕對值符號內式子的非負情況不定（在實數范圍內）等.

③函數的某種性質是否具備情況不定.

如：對數函數與指數函數由于底a的取值范圍不定而導致的函數的增、減不定;二次函數[y=ax2+bx+c（a≠0）]，由a的正、負不定而導致的開口方向的不定;由a、b值的不定而導致的對稱軸位置的不定……

④立體幾何中某種位置關系不能確定;解析幾何中曲線的方程類型不定.

（2）分類必須遵循“不重不漏”的基本原則

要做到分類時的不重不漏，必須注意以下幾點.

①對每一個基本公式、基本性質的適用范圍及每一種運算的實施條件都能夠準確地把握.

②思考問題時，切忌極端和片面，力爭統觀全局.

③在分類討論的全過程中，要堅持同一個分類的標準.

3.數形結合的思想

“數”和“形”是數學研究中既有區別又有聯系的兩個對象，數形結合是數學解題的一種重要的思想方法.在代數中，通過數軸、坐標系的建立，將“數”或“實數對”與平面或空間上的“點”建立起對應關系，將“方程”與“曲線”建立起對應關系，從而可以借助形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系.反之，也可以借助“數”的精確性來闡明“形”的某些屬性.通過數形結合，能減少運算的難度和降低純幾何形式論證的難度.數形結合思想滲透于整個中學數學的教材之中，是數學解題最重要的思想方法之一.

以下僅就解析幾何中數形結合的幾種基本形式舉例說明.

借形解題，要注意盡量準確地描繪圖形，必要時還需對圖形的直觀分析給出嚴密的推理，減少錯誤.

從某種意義上說，數學思想方法是聯系數學知識的紐帶，學習掌握好數學思想方法，能讓學生對數學知識的理解更深刻，也能讓學生在解決數學問題的過程中有更開闊的思路和行之有效的解決辦法.堅持學習、感悟、運用，我們的學生數學能力就會不斷提高.

（責任編輯 黃桂堅）