帶有積分邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性

，，

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程被廣泛應(yīng)用到各個(gè)研究領(lǐng)域，如流體力學(xué)、生物數(shù)學(xué)、控制和工程等。許多學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性問題做了大量研究，并且已經(jīng)獲得了很多成果[1-17]。其中，不少文獻(xiàn)研究帶有積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性[1-4，7-8，12-17]。

文獻(xiàn)[1]研究了一類具有積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性，通過利用Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理得到了該問題至少有一個(gè)正解存在。文獻(xiàn)[2]研究了具有非局部項(xiàng)的奇異非線性共軛型分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性，通過建立極大值原理、構(gòu)造上下解并運(yùn)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理得到了至少有一個(gè)正解存在的充分條件。文獻(xiàn)[3]利用單調(diào)迭代方法及與格林函數(shù)有關(guān)的不等式獲得了非線性分?jǐn)?shù)階邊值問題有兩個(gè)非平凡解的存在性，而文獻(xiàn)[2-3]的邊界條件里都含有Riemann-Stieltjes積分。文獻(xiàn)[4]和[7]中，作者運(yùn)用Leggett-Williams 不動(dòng)點(diǎn)定理得到了Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程多個(gè)正解的存在性，且文獻(xiàn)[7]運(yùn)用Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理及上下解方法獲得了該問題正解的唯一性和存在性。文獻(xiàn)[8]中，作者運(yùn)用上下解方法及Leray-Schauder度理論獲得了分?jǐn)?shù)階微分方程的積分邊值問題至少有三個(gè)正解的存在性。

從上面的文獻(xiàn)分析可以看出，研究帶有積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程的相關(guān)成果已經(jīng)有很多。但是，這些工作均建立在非線性項(xiàng)中不顯含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的前提下。而本研究方程的非線性項(xiàng)中顯含一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這是與以上所有文獻(xiàn)的不同之處。以上文獻(xiàn)處理帶有積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程所使用的方法不適用于處理非線性項(xiàng)中顯含一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，而本文給出了該問題的處理方法。此外，給出的非線性項(xiàng)條件比文獻(xiàn)[4，7]中的更弱，是對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)的一個(gè)推廣，也更具有普遍性。

本文研究如下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性：

(0.1)

u(0)=u(1)=0；

(0.2)

(0.3)

其中f:[0,1]×R+×R→R+,α1>β1>0,γ1>δ1>0,g,h∈C([0,1],R+), 導(dǎo)數(shù)。運(yùn)用推廣的 Leggett-Williams 不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了邊值問題(0．1)～(0．3)至少存在三正解u1(t)，u2(t)，u3(t)，最后給出數(shù)值例子來驗(yàn)證給出結(jié)果的正確性和有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1．1設(shè)γ:P→[0,∞)是P上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)泛函，若對(duì)所有x,y∈P，0≤t≤1，有γ(tx+(1-t)y)≥tγ(x)+(1-t)γ(y)，則稱γ為P上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)凹泛函。

定義1．2設(shè)α:P→[0,∞)是P上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)泛函，若對(duì)所有x,y∈P，0≤t≤1，有α(tx+(1-t)y)≤tα(x)+(1-t)α(y)，則稱α為P上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)凸泛函。

設(shè)α,β:P→[0,∞)是兩個(gè)非負(fù)連續(xù)凸泛函，對(duì)給定正常數(shù)r，L，M，以及u∈P，有

(1.1)

Ω={u∈P|α(u)

(1.2)

顯然Ω是P上的非空有界子集。

定義1．3[9]給定常數(shù)r>a>0，L>0，α,β:P→[0,∞)滿足(2．1)，(2．2)，γ是P上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)凹泛函，定義如下有界凸集：

P(α,r;β,L)={u∈P|α(u)

P(α,r;β,L;γ,a)={u∈P|α(u)a}，

引理1．1[11]微分方程

u″(t)+y(t)=0，0

u(0)=u(1)=0，

且G(t,s)有如下性質(zhì)：

1)G(t,s)≤G(s,s)，0≤t≤1；

本文始終假設(shè)如下條件成立：

(A0)κ=κ1κ4-κ2κ3>0，κ1≥0，κ4≥0，其中

引理1．2[4]微分方程

引理1．3[4]令

則有：

由引理1．1和1．2易得如下結(jié)果。

引理1．4微分方程(0．1)～(0．3)對(duì)應(yīng)的線性方程

u(0)=u(1)=0，

2 主要結(jié)果

本節(jié)將運(yùn)用推廣的 Leggett-Williams 不動(dòng)點(diǎn)定理來得到問題(0．1)～(0．3)的解。

則問題(0．1)～(0．3)至少有三個(gè)正解u1，u2，u3，滿足

因此

對(duì)于

結(jié)合引理1．1，引理1．3及(A3)，有

因此(2．1)式滿足定理1．1中的條件(iii)。

3 例子

考慮如下形式的邊值問題:

(3．1)

u(0)=u(1)=0，

(3．2)

(3．3)

其中，q=3.5，α1=γ1=2，β1=δ1=1，h(t)=t3，g(t)=t2，

經(jīng)驗(yàn)證:

(H1)～(H3) 滿足定理2．1的所有條件。因此問題(3．1)～(3．3)至少存在三個(gè)正解。