高溫作業專用服裝設計的數學建模

陳天同 崔世寶 鮑駿

摘? ?要：在高溫環境下進行工作具有極高的危險性，因此人們往往會在工作時穿上專用的熱防護服以保證自身安全。高溫環境下工作時的專用服裝一般都是三層織物材料組成的。熱防護服裝是應用最為廣泛的高溫防護服裝。目前關于熱防護服裝的設計集中在熱防護性能的測定、建立熱防護服裝內部的傳熱模型以及發展測定熱防護性能的試驗方法等。研究的是在一定的環境溫度下，身著熱防護服的假人的皮膚溫度變化的熱傳導模型。

關鍵詞：熱防護服? 熱傳導微分方程? 最優化模型? 最優厚度? Matlab軟件

中圖分類號：O175.2;TS941? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2019）11（a）-0119-06

Abstract： It is very dangerous to work in high temperature environment， so people often wear special thermal protective clothing to ensure their own safety. The special clothing when working in high temperature environment is generally composed of three layers of fabric. Thermal protective clothing is the most widely used high temperature protective clothing. At present， the design of thermal protective clothing focuses on the measurement of thermal protection performance， the establishment of heat transfer model in thermal protective clothing and the development of test methods for measuring thermal protection performance. In this paper， the heat conduction model of skin temperature change of dummies dressed in thermal protective clothing at a certain ambient temperature is studied.

Key Words： Thermal protective clothing; Heat conduction differential equation; Optimal model; Optimal thickness; Matlab software

1? 問題的重述

1.1 問題的背景

當人們的工作環境超過了人體舒適溫度，就極容易發生危險。因此，在高溫環境下，人們為了更加安全地工作，通常需要穿上高溫作業情況下的專用服裝也就是熱防護服。這種服裝主要由三層織物材料構成。第一層與外界環境接觸，記為I層，第三層和皮膚之間存在空隙，將空隙層記為Ⅳ層，其余兩層為Ⅱ層和Ⅲ層。

1.2 問題的相關信息

（1）題目中給出了專用服裝材料的參數值，包括密度、比熱、熱傳導率和厚度。

（2）把假人體內的溫度控制在并放在實驗室的高溫環境中，測量得到了假人的皮膚外側溫度變化情況即附件2。

1.3 需要解決的問題

（1）根據在環境溫度為75℃、Ⅱ層厚度為6mm、Ⅳ層厚度為5mm、工作時間為90min情況下得到的假人皮膚外側的溫度（即附件2）以及附件1的相關信息，建立相應的數學模型，計算出其溫度分布，并生成假人皮膚外側溫度分布的Excel文件。

（2）在外界環境溫度為65℃、Ⅳ層的厚度為5.5 mm時，試確定Ⅱ層的最優厚度，同時滿足以下兩個條件：在工作時間為60min時，假人皮膚外側溫度不超過47℃;假人皮膚外側溫度超過44℃的總時間不能超過5min。

（3）在外界環境溫度為80℃的情況下，確定Ⅱ層的最優厚度和Ⅳ層的最優厚度，同時滿足以下兩個條件：假人工作30min時，皮膚外側溫度不超過47℃;且皮膚外側溫度超過44℃的時間不超過5min。

2? 問題的分析

2.1 問題一的分析

問題一中要求建立假人的皮膚外側溫度的數學模型如圖1所示，得出溫度分布。

由于溫度分布不均勻，因此熱量會從溫度較高的地方轉移到溫度較低的地方，也就是各層之間會發生熱傳導。由于熱防護服不能完全阻擋外界的大部分輻射，所以在傳熱的過程中，熱輻射不能被忽略掉。但是空氣間隙層的厚度值不是很大，相對來說熱對流的影響較小，所以熱對流可被忽略掉。另一方面，溫度會隨時間的變化而發生相應的變化，因此，本題中的熱傳導屬于非穩態導熱。因此，在解決問題時要先建立起一個一般情況下的導熱微分方程，然后利用熱傳導定律和能量守恒定律得到熱傳導微分方程。最后利用熱傳導微分方程和單值性條件建立起數學模型，得到溫度分布情況。

2.2 問題二的分析

對于問題二的分析，問題二要求在滿足工作時間為60min時假人皮膚外側溫度小于等于47℃和假人皮膚外側溫度大于44℃的總時間不能超過5min這兩個標準的情況下，得出第層的最優厚度。題目中條件改變為外界的環境溫度為65℃，Ⅳ層的厚度為5.5mm。因此，由題意知，在確定第Ⅱ層的最優厚度時，要滿足兩個約束條件，才能合理地求解出第Ⅱ層厚度的最優解。即約束條件1：在工作60min時，假人皮膚的外側溫度不得高于47℃;約束條件2：在確保滿足約束條件1的情況下，在開始工作的前5min，假人的皮膚外側溫度不能高于44℃。綜上所述，利用模型一中所建立的熱傳導模型，將環境溫度變換為65℃。此問題中我們需要運用模型一中的熱傳導模型來求得最優解。

2.3 問題三的分析

對于問題三的分析，問題三題目中要求既滿足在假人工作30min時，皮膚的外側溫度不大于47℃又滿足外側溫度高于44℃的時間不能夠超過5min，求解Ⅱ層和Ⅳ層的最優厚度。因此，此題需要在問題二的基礎上，考慮環境溫度改變為80℃，并且所求的最優厚度變為Ⅱ層和Ⅳ層，此問題中我們運用問題一中的熱傳導模型。

3? 模型的假設

（1）假設題目中所發生的熱傳遞是一維的;

（2）忽略熱對流;

（3）假人身體上各處的溫度大小相等;

（4）各層之間的溫度分布是連續變化的;

（5）熱傳遞是沿垂直于皮膚方向進行的。

4? 模型的建立與求解

4.1 問題一的模型建立與求解

4.1.1 問題一的模型建立

在熱防護服中的熱傳遞模型：

本題需要建立起高溫作業專用服裝——熱防護服的熱傳遞模型，由題目中已知信息可知：環境溫度即為I層左側開始向熱防護服傳導溫度，Ⅳ層右側即為假人皮膚的溫度。首先對附件2中的90min實驗數據進行觀察，可以得知初始時刻假人人體初始溫度，然后在0s～1745s時間內假人人體溫度由逐漸變為并保持不變。最后對0s和5400s這個過程的數據進行整合分析，得到圖2假人皮膚外側溫度變化，如圖2所示。

由圖2可知，在0s～5400s的時間內，假人皮膚外側的溫度的變化為漸變過程，最終溫度保持在了48.08℃，假人皮膚外側溫度隨處在環境中的時間的變化而變化，說明了此溫度變化的過程為非穩態變化過程。

根據熱傳遞的偏微分方程可得專用服裝材料各層的偏微分方程分別為：

式中，CⅠ、CⅡ、CⅢ分別為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ層的比熱容;為各層的溫度;t為時間;λ1，λ2，λ3分別為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ各層的熱傳導率;te為在高溫中的工作時間;為關于x的取值范圍（i=1，2，3，4，5），;r1，r2，r3分別為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的厚度。

4.1.2 問題一的模型求解

設置熱防護服的左右邊界條件，右邊界溫度取自附件2——假人皮膚外側的測溫度表格中的溫度，模型的建立中已有邊界條件的建立。在附件2中，當溫度在0℃～5400℃范圍內變化時，選取溫度變化點作為溫度突變點，構建函數，建立矩陣，再將所構建的函數作為條件，在Matlab軟件中進行矩陣的求解與運算。第Ⅳ層的溫度可由附件2中所給數據求得。利用有限差分式解得第Ⅳ層與第Ⅲ層之間的函數關系式，再由所確立的熱防護服第Ⅲ層的函數關系式，繼而推演出熱防護服[4]第Ⅱ層的函數關系表達式，同理得出熱防護服第Ⅰ層的函數關系表達式。第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ層所構建的函數表達式分別如下所示：

最后得出溫度分布的Excle表格。

4.2 問題二的模型建立與求解

4.2.1 問題二的模型建立

每層材料高0.01℃所需要的熱量為：

在附件2中可以得知在工作環境為75℃，工作時間為90min的情形下，假人皮膚外側溫度在578s時，溫度超過了47℃，且在274s時，溫度超過了44℃，當環境溫度改變為65℃時，該模型的最優解為溫度在一時間點超過44℃后，在5min之內，假人皮膚外側溫度不得超過44℃。用來表示穿透材料后熱輻射減少量的γ消光系數方法，此方法與材料透射率τ和材料厚度ri有關[4-5]。

所以在不同材料的表面的熱輻射能量為：

問題二的解決需要利用問題一中所建立的熱傳導模型。與第一題不同的是，本題中外界環境的溫度變為65℃。

4.2.2 問題二的模型求解

4.3 問題三的模型建立與求解

4.3.1 問題三的模型建立

已知問題三中要求在環境溫度為80℃，求解Ⅱ層和Ⅳ層的最優厚度，確保工作30min時，假人的皮膚外側溫度不超過47℃，并且超過44℃的時間不得超過5min。因此利用問題二的模型基礎，將環境溫度改變為80℃，并且把所求的最優厚度改變為第Ⅱ層和第Ⅳ層，外加問題一中的熱傳導模型進行求解。

4.3.2 問題三的模型求解

利用Lingo軟件對以上約束條件進行求解分析，可以得到在環境溫度為80℃時，要確保在工作30min時，假人皮膚外側溫度不得高于47℃，且超過44℃的時間不超過5min。則第Ⅱ層和第Ⅳ層的最優厚度分別為：

5? 模型的評價與推廣

5.1 模型的評價

5.1.1 模型的優點

（1）對于本題所建立的模型與實際相對貼合，從實際出發，在生活中有其實際意義，在日常工作中通用性較強。

（2）利用Matlab軟件所繪制的溫度分布三維模型，使數據結果更為直觀和清晰，操作簡潔便利。

（3）所建立的模型數據處理較為精確，利用函數表達式更為準確地表達出各個變量之間的關系。

5.1.2 模型的缺點

由于題中給出的數據較為繁多，處理不易，導致考慮問題以及解決方案不能全面分析，以致會忽略其他影響因素較小的方面。

5.2 模型的推廣

通過本題所建立的模型以及利用模型所求的解決結果，我們得到了在一定高溫工作環境下，熱防護服溫度隨時間變化而發生的非穩態變化，讓人們能夠在高溫以及其他適當環境中，更好地在生活中得到正確的應用。

參考文獻

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