基于復合控制的自行車機器人平衡控制

李艷 王涵

關鍵詞： 自行車機器人; 平衡控制; 復合控制; 不穩定零動態; 控制器; 魯棒性

中圖分類號： TN344?34; TP273 ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2019）02?0177?06

Balance control of bicycle robot based on compound control

LI Yan， WANG Han

（Shaanxi University of Science and Technology， Xian 710021， China）

Abstract： A compound control method is put forward to realize balance control of the bicycle robot. The bicycle is regarded as a multi?body system， and the system dynamics model is established according to the Lagrange equation. In allusion to the unstable zero?dynamics characteristic of the bicycle robot， the unstable subsystem of the system is used as the inner ring， and the quadratic performance index optimal controller is used for stabilization by means of compound control. In allusion to the disturbance and model uncertainty， the robust controller is designed for the external loop taking the output as feedback， which makes the whole system have strong robustness. The simulation results show that the proposed method can achieve balance control of the bicycle， make the system have the capability of suppressing interference， and ensure the robust stability of the system.

Keywords： bicycle robot; balance control; compound control; unstable zero?dynamics; controller; robustness

0 ?引 ?言

自行車機器人作為一種無人駕駛的雙輪智能交通工具，具有運動靈活、能源利用率高、綠色環保等特點，使得其在安保巡邏、躲避交通擁堵等領域具有獨特的優勢和應用前景。由于其復雜的動力學特性，自行車機器人是檢驗控制策略的理想實驗平臺，因而其平衡控制問題引起國內外學者的廣泛關注[1]。

倒立擺[2]和無人機[3]也都是較為復雜的平衡控制平臺。倒立擺可以通過在擺桿傾倒面內施加恢復力矩實現平衡控制;無人機可以在傾斜面內產生空氣動力，進而實現平衡控制。相比于上述系統，自行車作為多剛體系統，重心較高，車體狹長，靠前輪擺動和地面的反作用力[4]來實現平衡。此外，自行車機器人的欠驅動[5]和耦合特性會引起非最小相位特性[6]，即不穩定零動態，反映了系統內部動態的發散，該特性對系統的魯棒性十分不利，這使得其平衡控制更加困難。

針對自行車的以上問題，在控制算法方面，自行車作為自然不穩定系統，更容易受到外界環境的干擾，加之其模型的不確定性，提高系統魯棒性是一項十分重要的任務。綜合國內外文獻，現有的提高自行車平衡控制系統魯棒性的控制算法有執行器容錯控制[7]、傾角擾動觀測器[8]、基于粒子群優化的[H∞]回路算法[9]以及基于自適應評價的神經模糊算法[10]等。上述這些控制算法結構復雜并且難以實現，其中控制算法[7，9]借助了慣性輪，更增加了系統的復雜程度，并且現有的控制算法對于自行車機器人不穩定零動態的研究也非常少，沒有考慮內動態的發散會導致系統的不穩定。文獻[5]采用部分反饋線性化，將車架橫滾角作為內部動態，保證了零動態的穩定，但此方法需要系統具有精確的數學模型。因此，本文通過控制自行車車把的轉角實現系統的平衡，將自行車機器人看作不穩定零動態系統，所設計的控制器既要實現外部動態的漸近穩定，又需保證不穩定內部動態的收斂[6]，宜采用復合控制[11]來提高系統的穩定性和魯棒性。該復合控制系統中內環采用二次型性能指標最優控制器鎮定不穩定子系統，基于自行車機器人的未建模動態、參數變化和外部干擾等原因，外環采用魯棒控制鎮定整個系統，提高系統的抗干擾能力，使整個系統具有魯棒性，設計的物理概念清晰，便于實現。

1 ?自行車機器人動力學模型

1.1 ?模型建立

自行車機器人結構簡圖如圖1所示。

自行車前輪與后輪著地點的連線[Qa][Qb]為自行車坐標系的[x]軸，它偏離慣性坐標系[x0]的角度，即車把轉角[α]，[β]為自行車坐標系[z]軸偏離慣性坐標系[z0]的角度，即車體橫滾角。自行車以速度[V0]勻速前進，運動過程中用前輪擺角產生的扭轉力矩來維持受到擾動后車體的平衡，自行車機器人的非線性動力學模型為[12]：

式中：[mq]，[mh]，[mj]，[md]分別為自行車前輪、后輪、車架、電池質量;[rq]，[rh]分別為前輪、后輪半徑;[s]為前輪質心到車把轉動軸的距離;[h1]，[h2]分別為車架重心高度和電池重心高度;[l1]為前輪著地點到自行車重心在[x]軸上的距離;[l2]為兩接觸點連線的距離。

定義狀態變量[x1=α，x2=α，x3=β，x4=β]，系統在可控制平衡條件下，車體橫滾角不會太大，即[sin β≈β]，[cos β≈1]，[ββ≈0]，經過近似化處理，經矩陣變換后，線性狀態空間模型為：

[x=Ax+Bu=010000a1b21-a1b10000100b21-a1b10x+ ? ? ?0a31-a1b1 ? ? ?0a3b11-a1b1u]

[y=Cx+Du] ? ?（2）

式中：

[a1=-mqrqs+mjh1sp12mqr2q+mqs2+mjs2p2，][a3=112mqr2q+mqs2+mjs2p2，b1=-2（mqrqs+mjh1sp）3mqr2q+3mhr2h+4mjr21，][b2=2（mqrqs+mhhh+m0h1+mdh2）g3mqr2q+3mhr2h+4mjr21]

系統各剛體的參數如下：自行車前輪質量[mq]為0.75 kg，半徑[rq]為0.14 m，前輪質心到車把轉動軸的距離[s]為0.02 m;后輪質量[mh]為1.05 kg，半徑[rh]為0.17 m;車架質量[mj]為12.1 kg，車架重心高度[h1]為0.36 m;電池質量[md]為1.4 kg，電池重心高度[h2]為0.66 m。

將上述參數代入式（2），模型數值化后的結果為：[A=010000-94.206 4000010016.972 20，B= ? ? ? 0119.623 2 ? ? ? 0 ? ?-1.9] （3）

1.2 ?性能分析

對系統進行欠驅動特性分析。將式（1）寫成如下表達形式：

[D（q）q+C（q，q）q+G（q）=τ] （4）

式中：[Ddij2 ×2]為系統的慣性矩陣;[Ccij2×2]為與哥氏力相關的項，且[dij]，[cij（i，j=1，2）]為[α]，[β] 的函數;[G（q）]為重力項;[q=（α ?β）T]和[τ=（u ?0）T]分別為關節變量和關節驅動力矩，且[u]對應車把轉動關節，由于車速是常數，不考慮后輪轉動關節。

由式（3）知，自行車機器人為具有兩個獨立自由度的欠驅動系統，且車架橫滾角沒有驅動。

自行車機器人作為欠驅動自然不穩定系統，其功能的實現比一般機器人系統困難，而系統的非最小相位特性是由欠驅動和耦合特性引起[6]，接下來分析系統零動態的穩定性。

將式（2）變為如下動態：

[Σ1：x1=x2，x2=-94.206 4x3+119.623 2u，y=x1Σ2：x3=x4，x4=16.972 2x3-1.9u] （5）

通過控制輸入，使指定的系統輸出恒為零，這時系統的內部動態即為零動態

[x3x4=01 15.475 90x3x4] （6）

零動態中的不穩定極點為3.933 9，則系統的零動態不穩定。

對于自行車機器人這一不穩定零動態系統，宜采用復合控制。式（5）的第一個方程描述了輸入/輸出之間的外部動態動關系，由于式（5）的第二個方程是不穩定子系統，不穩定極點為4.12。略大于不穩定零動態的不穩定極點。而子系統第二個方程完全可控，所以可以被鎮定。

由于自行車機器人的自然不穩定特性，使得自行車的工作環境，如路面顛簸、空氣條件刮風下雨等會對自行車系統產生干擾;自行車機器人的模型不確定性不僅體現在系統參數的變化，而且還包括系統的未建模動態特性：一是模型線性化引起的不確定性;二是自行車各個組成剛體部分的參數誤差造成的不確定性;三是自行車前叉帶動前輪旋轉與車體傾斜之間的耦合造成的不確定性。

利用一個非結構化的集合來描述，常用的是乘性不確定性的描述方法，來描述模型不確定性，采用一般的魯棒控制設計外環控制器。

2 ?控制器的設計

2.1 ?不穩定子系統控制器的設計

對于不穩定子系統，設計二次型性能指標最優控制器。

系統的性能指標為：

[J=120∞（xTQx+uTRu）dt] （7）

式中：[R]為正定實對稱常數矩陣;[Q]為半正定對稱常數矩陣。取二次型指標最優控制器的參數為[R=1，Q=0001]。子系統完全可控，計算可解得最優反饋矩陣[K=[-17.865 5-4.450 4]]，以及唯一的最優控制[un=-R-1BTPx]，即內環的控制輸入為[un=-kx3]，達到最優性能指標。其中[P]是Riccati代數方程的唯一解，[x3]表示自行車橫滾角，不受控制輸入直接驅動，是非自治的、耦合著外部動態。

2.2 ?魯棒控制器的設計

采用一般的魯棒控制即S/KS/T混合靈敏度問題的[H∞]設計外環控制器。

復合控制率為[u=un+uw]，從外環控制輸入到系統輸出[y=x1]的傳遞函數為：

[P（s）=119.62（s-3.934）（s+3.934）s2（s+3.278）（s+5.178）] （8）

與等式（6）有相同的不穩定零動態，但已經沒有不穩定模態。

S/KS/T問題是指求解以下的[H∞]優化設計問題，即解[minkstabW1SW2KSW3T∝≤γ]的優化設計問題。[S]為靈敏度函數，[T]為補靈敏度函數。

[W1（s）]反應了靈敏度函數的特性，在設計中要求靈敏度函數盡可能得小，這樣才能保證減小跟蹤誤差，有效地抑制干擾的影響，?。?/p>

[W1（s）=0.008 163 （s+85）s ] （9）

引入加權函數[W2（s）]，可以限制控制量的大小，防止系統在實際過程中產生嚴重的飽和現象以及控制量過大而造成執行器的損壞。取：

[W2（s）= 0.000 45] （10）

[W3（s）]表示自行車模型乘性不確定性的上界，反映了補靈敏度函數的特性，[W3（s）]可取對角的非真有理函數，但必須保證[W3G]是真實有理數，受[W3（s）]的分子高于分母的次數這一條件的限制，取：

[W3（s）=0.002 s] （11）

由此解得[H∞]控制器為：

[K（s）= -1 676.7s （s+3.278） （s+5.178） ? （s+532.4） ?（s+3.934） （s2 + 30.11s + 839.2）] ? （12）

最后對所設計的[H∞]控制器進行性能檢驗。

圖2為系統靈敏度函數[S]和權函數[W1]與頻率[ω]關系的奇異值曲線。[W1S]代表對系統性能的要求，應滿足[W1S∝<1]這一必要條件，從圖中可以看出[σ[S（jω）]<σ[W-11（jω）]]，所設計的控制器滿足系統性能的要求。

圖3為系統補靈敏度函數[T]和權函數[W3]與頻率[ω]關系的奇異值曲線。[W3T]代表對系統魯棒穩定性的要求，應滿足[ω3T∝<1]這一必要條件，從圖中可以看出[σ[T（jω）]<σ[W-13（jω）]]，所設計的控制器滿足系統魯棒穩定性的要求。

對于控制器設計的合理性，圖4為控制器的頻率特性，在[ω=4×10-6 rad/s]的頻率點附近突然下凹的低增益，該低增益可以有效地抑制干擾的影響?？刂破鱗K（s）]的零點與被控對象[P（s）] 的極點相同，在組成系統時兩者發生對消，從而實現了系統的極點的重新配置，保障了系統的魯棒穩定性。

通過對加權函數及控制器的理論分析可見，混合靈敏度優化問題既考慮了系統性能的要求，又保證了系統魯棒穩定性的要求，所以本文設計的控制器滿足要求。

3 ?控制仿真

復合控制的系統特征根為-531.65，-4.284，-13.29 +0.130 3i，-13.29-0.130 3i，全部具有負實部，因此系統穩定。為驗證設計的復合控制的控制效果，對系統進行仿真實驗，圖5和圖6分別為車把轉角和車體橫滾角在單位脈沖擾動下的響應曲線圖。由圖可以看出系統在干擾的作用下，車體橫滾角和車把轉角都發生了震蕩，但在復合控制的作用下，分別經過0.6 s和1.2 s的時間，車體橫滾角和車把轉角基本收斂到0。

下面分析參數攝動對系統仿真結果的影響。令系統標稱狀態方程式（3）中的系數發生攝動，參數攝動分為以下三種情況：式（3）的矩陣A中的16.972 2攝動到10;矩陣B中的119.623 2攝動到102;矩陣A中的16.972 2攝動到10，矩陣B中的119.623 2攝動到102。

圖7和圖8給出了這三種參數攝動情況下系統在本文設計的控制器下的擾動動態特性曲線。

從仿真結果可以看出，攝動前后結果變化不大，這表明設計的控制器具有很強的魯棒性。

為了說明所設計控制器的魯棒性，在鎮定不穩定子系統的基礎上，采用PD控制器在上述三種參數攝動情況下的系統動態響應曲線進行對比，如圖9和圖10所示。通過調整控制器的參數[KP]，[KD]，得到超調最小的PD控制器。

[KPD（s）=200（s-0.5）s+311 ] （13）

雖然PD控制器響應速度快，但是車把轉角的超調非常大。在矩陣A參數攝動的情況下，車把轉角已經達到了80°，極不利于自行車的平衡控制，不滿足系統的性能要求。矩陣B參數攝動時，車把轉角已經發散。矩陣A，B參數攝動時，車體橫滾角已經發散。而本文設計的控制器使得系統具有很好的動態變化過程，在有干擾的情況下超調更小，可以抑制參數不確定對系統帶來的影響，能夠適應環境的變化，保證自行車機器人系統的穩定性。

4 ?結 ?語

自行車機器人作為不穩定零動態系統，既有非最小相位零點，也有不穩定極點，宜采用復合控制。本文首先對不穩定子系統設計二次型性能指標最優控制器，鎮定內環不穩定子系統，系統的零動態具有不變性，外環設計一般的魯棒控制器，使整個系統具有更強的魯棒性。仿真結果表明，所設計的復合控制可以有效地實現自行車機器人的平衡控制，抑制參數不確定和干擾對系統帶來的影響，比傳統的PD控制器有更好的魯棒性。

注：本文通訊作者為王涵。

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