數(shù)列極限的定義在微課教學(xué)中的設(shè)計(jì)

張艷妮

摘? ?要：微課教學(xué)模式是現(xiàn)代高等教育中的一個(gè)新型的重要教學(xué)模式，是克服傳統(tǒng)教學(xué)資源的局限性而發(fā)展起來(lái)的一種新型教學(xué)資源及應(yīng)用模式。極限概念是高等數(shù)學(xué)中的基本概念，極限思想貫穿了整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，但是極限概念始終是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。本文試圖從身邊的例子入手，結(jié)合筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，給出數(shù)列極限定義在微課教學(xué)過程中的教學(xué)設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限? 無(wú)限趨近? 微課教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-098X（2019）11（c）-0207-02

1? 微課教學(xué)的發(fā)展現(xiàn)狀

微課一詞最早是由美國(guó)新墨西哥州圣胡安學(xué)院的戴維·彭羅斯根據(jù)教學(xué)實(shí)踐要求提出的，微課教學(xué)是將教師在教學(xué)過程中圍繞某個(gè)知識(shí)點(diǎn)而展開的教與學(xué)全程通過視頻的方式記錄下來(lái)，其核心部分是課堂教學(xué)視頻。微課教學(xué)方式雖與傳統(tǒng)的教學(xué)方式有一定的差異，但是這種教學(xué)方式也是以傳統(tǒng)教學(xué)方式為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的。相較于傳統(tǒng)而單一的教學(xué)類型，微課具有短小精悍、使用方便、主題突出、內(nèi)容分具體、半結(jié)構(gòu)化、容易補(bǔ)充等特點(diǎn)。深受廣大師生喜歡和推崇。

與課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)類似，微課也有課前預(yù)習(xí)、課堂知識(shí)教學(xué)、習(xí)題理解以及課后復(fù)習(xí)等環(huán)節(jié)，在微課制作過程中要合理設(shè)計(jì)各環(huán)節(jié)，以達(dá)到滿足學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)需求的目的。

隨著當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，微課與其他應(yīng)用軟件一樣，也將有廣泛的發(fā)展前景和教育價(jià)值。對(duì)教師而言，微課可以起到輔助教學(xué)的目的，不但可以突破傳統(tǒng)的教師教學(xué)生學(xué)的教學(xué)模式，并且借助于豐富的表現(xiàn)形式，還可以起到提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果的目的。對(duì)與學(xué)生而言，完全破除了學(xué)生只能隨堂聽課的單一形式，學(xué)習(xí)在課下遇到的問題也能做到隨時(shí)解決，不但方便了學(xué)生的學(xué)習(xí)，也縮短了學(xué)生解決問題的時(shí)間。并且隨著當(dāng)前手持移動(dòng)設(shè)備的發(fā)展，學(xué)生可以隨時(shí)隨地地利用微課進(jìn)行學(xué)習(xí)，微課必將成為一種最廣泛最流行的學(xué)習(xí)和教學(xué)方式，深受廣大師生的喜歡和歡迎。

2? 微課在高等數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用

在高等院校教學(xué)中，高等數(shù)學(xué)教學(xué)作為基礎(chǔ)課具有非常重要的教學(xué)地位和教學(xué)意義，它是掌握其他各門學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)，在培養(yǎng)高校學(xué)生，尤其是理工科學(xué)生綜合能力素質(zhì)方面，具有獨(dú)特的，不可替代的作用。

隨著信息與通信技術(shù)，尤其是視頻技術(shù)的發(fā)展，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，只單一的采用傳統(tǒng)的課堂講授式教學(xué)，已經(jīng)不能滿足學(xué)生的需求，因此逐漸出現(xiàn)了一種新的教學(xué)方式——微課式教學(xué)。這種教學(xué)方式與我們傳統(tǒng)的教學(xué)方法相結(jié)合，不但使得授課過程更生動(dòng)，并且更能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過一些小事例、小視頻，也更增加了學(xué)生對(duì)于抽象數(shù)學(xué)的理解。這種教學(xué)方式不但改善了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中稍顯枯燥的特點(diǎn)，并且也加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用性的認(rèn)識(shí)，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，以及明確了學(xué)好數(shù)學(xué)的目標(biāo)。

眾所周知，微課之所以被大家認(rèn)可，主要得益于微課的主題突出，短小精悍等特點(diǎn)，也就是每一節(jié)微課都只是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這就保證了學(xué)習(xí)者可以快速的，準(zhǔn)確的找到所要了解的內(nèi)容，并能很簡(jiǎn)單直接、目的明確的掌握所需要學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)，這種教學(xué)方式既方便的教師的教，也方便了學(xué)生的學(xué)，是目前最受師生們歡迎的一種教學(xué)方式和教學(xué)趨勢(shì)。此外，教師們對(duì)于微課教學(xué)方式的認(rèn)可度也在不斷提高，在教學(xué)過程中穿插采用微課式教學(xué)方式的教師人數(shù)也在不斷增多，而對(duì)于該種現(xiàn)象，也出現(xiàn)了一個(gè)重要的為題：對(duì)于微課式教學(xué)方法的知識(shí)點(diǎn)該如何設(shè)計(jì)？下面我們就以數(shù)列的極限這節(jié)課為例，具體展示出在微課程中如何設(shè)對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

3? 數(shù)列極限定義在微課教學(xué)中的教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)列極限的概念是微積分中的基本概念，也是學(xué)習(xí)后續(xù)眾多概念的基本工具。但是，概念中的ε-N語(yǔ)言始終是學(xué)生在學(xué)習(xí)中的一大難點(diǎn)，本文結(jié)合筆者的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，給出極限定義的一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)。下面從六個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)設(shè)計(jì)本課程。

3.1 引出極限的描述性定義

首先給出四個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列：;;;

。然后引導(dǎo)學(xué)生觀察，得到直觀的結(jié)論：當(dāng)數(shù)列的下標(biāo)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)有兩種變化趨勢(shì)，一種是無(wú)限趨近于某一個(gè)固定的常數(shù)，另外一種不趨近于某一個(gè)固定的常數(shù)。從而，自然的引出極限的描述性定義[1]：設(shè)數(shù)列{xn}和常數(shù)A，如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限的趨近于某個(gè)固定的常數(shù)A，則稱數(shù)列{xn}的極限為A或稱數(shù)列{xn}收斂于A，記為;否則，稱數(shù)列{xn}發(fā)散。

此時(shí)，讓學(xué)生思考上面的極限定義是否嚴(yán)謹(jǐn)？然后向?qū)W生發(fā)問：什么是“無(wú)限趨近”？

3.2 通過生活中的例子解釋“無(wú)限趨近”

假設(shè)某人從長(zhǎng)春出發(fā)要去北京，方向始終正確，第一天走了100km，第二天走了50km，第三天走了25km，以此類推，每一天走前一天路程的一半，并且假設(shè)可以無(wú)限走下去，請(qǐng)問此人是否“無(wú)限趨近”于北京？

直觀上好像此人“無(wú)限趨近”于北京，實(shí)際上所有走過的距離至多200km。通過這個(gè)簡(jiǎn)單的例子，指出上面定義中數(shù)列{xn}“無(wú)限趨近于”A，從數(shù)量關(guān)系的角度，指的是無(wú)窮遠(yuǎn)處的項(xiàng)xn與A的距離無(wú)限的趨近于0，即。另外，通過這個(gè)例子，告訴學(xué)生描述性的定義不嚴(yán)謹(jǐn)，容易造成歧義，進(jìn)而指出須給出數(shù)列極限的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。也就是需要把上面的描述性定義“翻譯”成數(shù)學(xué)定義。這時(shí)拋出問題：怎么用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言定義？

3.3 通過生活中的例子翻譯

假設(shè)有兩個(gè)小孩甲和乙在為一件事情爭(zhēng)辯，甲小孩說(shuō)自己能數(shù)到100，乙小孩不服，說(shuō)自己能數(shù)到1000，甲小孩改口又說(shuō)自己能數(shù)到10000，…，經(jīng)過一番思考，乙小孩說(shuō)了一句很有創(chuàng)意的話“無(wú)論你數(shù)到多少，我都能數(shù)到比你大10的數(shù)”。

通過這個(gè)例子，讓學(xué)生們體會(huì)，乙小孩那句充滿創(chuàng)意的話，其實(shí)用數(shù)學(xué)的話來(lái)說(shuō)就是他能數(shù)到無(wú)窮大。這時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生去體會(huì)乙小孩是通過一個(gè)比較的過程完成了對(duì)無(wú)窮大的描述，即不管你多大，我都比你大，那么我就是無(wú)窮大。同理如果用量化的語(yǔ)言來(lái)描述，也是通過一個(gè)比較的過程來(lái)實(shí)現(xiàn)。這樣，就自然地給出了翻譯后的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：對(duì)任意的不管多么小的正數(shù)ε，都有。還可以用更簡(jiǎn)練的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述：

3.4 給出數(shù)列極限的數(shù)學(xué)定義

通過上面的分析，我們可以得到如下等價(jià)關(guān)系：

“xn無(wú)限的趨近于某個(gè)固定的常數(shù)A”

提醒學(xué)生注意數(shù)列極限的描述性定義中包含了兩個(gè)無(wú)限趨近的過程，而我們上面僅僅翻譯了后半部分。但是，由前面的工作，不難得到定義中前半部分的數(shù)學(xué)定義：

“n無(wú)限增大”。

下面我們要做的就是把所得到的兩部分的數(shù)學(xué)定義進(jìn)行整合，很明顯對(duì)于一個(gè)數(shù)列{xn}而言，可以看作是一個(gè)特殊的函數(shù)，即通項(xiàng)xn是下標(biāo)n的函數(shù)。這樣的話在極限過程中的兩個(gè)無(wú)限趨近的過程就存在一個(gè)依賴關(guān)系，當(dāng)我們把他們整合到一起時(shí)就必須要考慮這種依賴關(guān)系，從而就得到了如下數(shù)列極限的數(shù)學(xué)定義：當(dāng)

我們通常也把上面的極限的數(shù)學(xué)定義叫做ε-N定義。

3.5 對(duì)ε-N定義的若干注解

第一，定義中的ε是一個(gè)任意的想多么小就多么小的正數(shù)，具有絕對(duì)的任意性，唯有如此，才能保證xn無(wú)限的趨近于A;而存在的N是一個(gè)與ε有關(guān)的下標(biāo)的分界點(diǎn)，ε越小，則N越大。

第二，分界點(diǎn)N是不唯一的，只要找到一個(gè)即可。

第三，數(shù)列極限研究的是數(shù)列無(wú)窮遠(yuǎn)處那些項(xiàng)的變化趨勢(shì)，與數(shù)列中有限項(xiàng)的值無(wú)關(guān)，所以改變一個(gè)數(shù)列中的有限項(xiàng)，不改變它的斂散性。

3.6 數(shù)列極限的幾何含義

從幾何上來(lái)說(shuō)，意味著，對(duì)任意的正數(shù)ε，都能找到一個(gè)下標(biāo)N，使得從第N項(xiàng)開始，后面的所有項(xiàng)都落在以A為心，以ε為半徑的領(lǐng)域內(nèi)，而在這個(gè)領(lǐng)域外只有數(shù)列中的有限項(xiàng)。通過幾何含義，使學(xué)生能更加直觀的理解極限的ε-N定義。

以上我們通過六個(gè)環(huán)節(jié)，給出了數(shù)列極限定義的教學(xué)設(shè)計(jì)。筆者試圖利用生活中的例子，化抽象為具體，讓學(xué)生真正理解和掌握數(shù)列極限的概念，為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

最后，在課程的結(jié)尾可以適當(dāng)增加作業(yè)和答疑環(huán)節(jié)，將學(xué)生學(xué)習(xí)過程中常見問題總結(jié)出來(lái)，并以目錄的形式放在課程的結(jié)尾，學(xué)生得以對(duì)號(hào)入座，只要遇到類似的疑問，都可以直接進(jìn)行進(jìn)入鏈接查看具體解釋，這樣可以及時(shí)解決學(xué)生學(xué)習(xí)過程中遇到的問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

以上，我們借助于微課自身的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，將其應(yīng)用到我們高等數(shù)學(xué)的具體教學(xué)過程中，將兩者的特點(diǎn)完整的結(jié)合在一起，既能起到學(xué)生學(xué)習(xí)好數(shù)列極限的目的，又能充分提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間和學(xué)習(xí)方式更加靈活，遠(yuǎn)遠(yuǎn)地破除了傳統(tǒng)教學(xué)模式中的只有課堂教師教學(xué)的模式，保證了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中只要出現(xiàn)問題可以隨時(shí)隨地學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，完全打破了學(xué)習(xí)過程中時(shí)間和空間的局限性。但是，伴隨網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，微課已經(jīng)成為了一種普及的教學(xué)模式，在這種情況下，教學(xué)這一定要注意，我們?cè)诮虒W(xué)過程中可能產(chǎn)生的對(duì)微課的依賴現(xiàn)象，它只是我們?cè)诮虒W(xué)過程中的一種輔助手段，不能本末倒置。

參考文獻(xiàn)

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[3] 徐鑫.微課教學(xué)在高校設(shè)計(jì)類專業(yè)互動(dòng)教學(xué)中的實(shí)踐運(yùn)用策略探討[J].智庫(kù)時(shí)代，2019（34）：239-240.