基于傅里葉定律的高溫服裝設計中熱傳遞模型的研究

羅鳳潔 張玉林

摘? ?要：本文通過建立數學模型對三層織物材料組成的高溫作業專用服裝的設計問題進行研究。運用Fourier transform算法求解偏微分方程從而建立熱傳導模型，并利用實驗數據擬合得到溫度的分布圖像與函數，得到最后的熱傳導模型公式。通過求解該模型的數值解，與實驗數據進行對比，進行模型檢驗。

關鍵詞：熱傳遞? 高溫作業專用服裝? ?Fourier transform? 數值擬合

中圖分類號：O242? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2019）11（c）-0111-02

當人們處于高溫環境下，人體的皮膚會受到一定程度的燒傷，因此，人們需要穿著一種專業服裝，在環境與人體之間充當一種隔絕層進而對人體皮膚進行保護。人們對其經濟實用性以及舒適性等都有了新的要求因此也進行了相關的研究。本文運用Fourier transform算法求解偏微分方程建立了熱傳導模型，并通過實驗數據有效驗證了模型的正確性，為今后人們研究更加高效經濟的高溫作業熱防護服奠定一定的基礎。本文的研究背景以及研究數據均來源與大學生數學建模競賽2018年B題。

1? 問題提出

已知專用服裝材料的某些參數值例如密度、比熱、熱傳導率和厚度的值等。我們需要根據實驗所得數據建立數學模型，并計算溫度分布。根據傳熱學與工程熱力學的相關知識可知，熱傳遞主要分為三種基本方式即熱傳導、熱輻射和熱對流，為了方便計算，我們暫時忽略以上因素對熱傳遞所造成的影響，主要考慮三大主因素的影響，從而根據傅里葉定律建立起熱傳導模型;得到溫度分布函數，進而用理論的溫度分布函數與所得到的溫度分布函數進行對比并檢驗。

2? 符號定義

本文中令q為熱對流（輻射）密度;k為熱傳導系數;σ為斯蒂芬-波爾滋蔓常數;β為輻射吸收常數;FL為向左輻射通量;FR為向右輻射通量;ε1為Ⅰ層左側的輻射量;h為服裝層或空隙層的厚度;ωf為纖維內水蒸氣濃度。

3? 熱傳遞模型的建立與求解

3.1 模型建立

⑴在垂直于熱量傳導的方向上每個面的溫度都相同，我們稱之為等溫面;把環境到皮膚最外層表面的距離x分為n個小段，記為、、……、;每相鄰的之間的溫度差，記為（）;所以溫度梯度表示為。

⑵在考慮熱輻射的情況下，該服裝中的輻射能量即為熱能，記為在只考慮一維熱傳導的情況下，x點處向左輻射的總熱輻射量，并記熱流密度為q，由能量守恒得：。若在不考慮右熱輻射所傳遞的熱能的情況下，則在點x處的凈熱能量為：，其中β為輻射吸收常數即單位面積下該服裝的吸收能力。

綜合以上內容的分析，得出問題一的模型：

（1）

其中：

3.2 模型求解

其中（1）看成兩個一階線性微分方程，它們的邊界條件為：

解得：

所以方程（1）進一步寫為：

（2）

為解方程（3.2），我們需用到傅里葉積分變換，方程（2）變化為：

（3）

因此，方程（3）可看成一個含參量ω的一階線性非齊次常微分方程的初值問題，再利用常數變異法，再對取傅里葉逆變換，根據傅里葉變換卷積性質得：

令：

得到：? ? ? ?（4）

其中分別表示Ⅰ層、II層、III層、IV層的溫度關于時間t、厚度x的二元函數并且。

4? 結果分析

圖1是用MATLAB軟件根據模型一的數值解模擬出來的三維圖像，反映了時間、溫度與厚度的關系。圖2反映了模型一的數值解以及附件2所給數據的對比情況，其中1線表示附件2的數據，2線表示模型一的數值解;從圖2中我們可以看出模型一的數值解與實際數據在前期接近程度較高，但隨著時間的推移，偏移量逐漸增加，因為在模型一中沒有對織物材料結構參數中孔隙率、孔半徑等、熱濕傳遞以及物理參數如水汽擴散等因素的影響，隨著時間的推移，溫度在不斷升高，而在高溫狀態下，以上因素對溫度降低的影響較大，因此，隨著溫度的升高，利用模型一算出的溫度將會比實際溫度偏低。

參考文獻

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