扭轉陀螺運動系統的研究

陳宗強，于宏宇，陳 靖,孫 騫

(南開大學 物理科學學院，天津 300071)

扭轉陀螺為第30屆國際青年物理學家競賽(IYPT)第12題[1]，使用1根具有一定扭轉阻力的繩來懸掛轉動的陀螺，加速陀螺使其具有一定的初始自轉角速度，并且將繩扭轉一定的角度，然后釋放，陀螺會進動、章動運動，由于陀螺質心與輪軸存在的無法避免的微小偏移，陀螺會進行參變共振與受迫共振. 在一定情況下，陀螺會發生進動與章動[2-3]、共振現象[4]. 本文將從陀螺輪軸自轉角速度變化、繩扭轉提供的力矩隨時間推移變化等分析扭轉陀螺運動系統的角動量以及外力矩的具體形式，對角動量定理的復雜方程數值求解，并且與實驗比較，對進動、章動以及共振分析內在的原因. 此外，從陀螺偏心差的角度對章動、參變共振與受迫共振進行理論以及實驗的解釋與探究.

1 理論分析

1.1 模型建立

如圖1所示，假設繩固定點為O，系統靜止時輪軸朝向為x軸正方向，重力加速度方向為z軸正方向，根據右手螺旋確定y軸正方向，A為輪與繩固定連接點，B為陀螺的質心位置，繩長OA為a，陀螺質心B與繩和輪連接點A距離為b.

由于繩的伸縮量在運動過程中近似不變，故OA大小不變，具有2個自由度，包括繩與豎直方向夾角θ和扭轉角度β. 輪自轉角度具有1個自由度，由于OA與AB近似處于同一平面內，故具有輪軸與水平平面夾角自由度φ.

圖1 扭轉陀螺運動模型

1.2 系統角動量

系統角動量由質心角動量與質心系中角動量組成. 質心角動量可以表示為

(1)

其中

對質心系中角動量進行分析，質心系中的角動量由3部分組成：第1部分J1為陀螺繞自陀螺軸旋轉所獲得的角動量，第2部分J2為φ變化所獲得的角動量，第3部分J3為β變化獲得的角動量. 故陀螺系統角動量J為

J=J0+J1+J2+J3=

(2)

其中，I1，I2和I3分別為陀螺對應軸的轉動慣量；ω為陀螺自轉角速度，會隨時間推移而減少.

1.3 外力矩

系統所受外力矩由2部分組成：第1部分為重力矩Mg，第2部分為繩扭轉提供的扭轉力矩Ms，其中

(3)

通過分析繩扭轉內在變化分析Ms. 繩扭轉過程內部發生形變，從而產生恢復力矩，力矩大小與繩材料的剪切模量以及橫截面有關，同時扭轉過程繩內部存在摩擦阻力，故繩扭轉產生力矩表示為

(4)

故得到系統所受外力矩為

M=Ms+Mg=

(5)

將系統所受外力矩以及角動量對時間微分形式列式即可得到3個包含繩與豎直方向夾角θ、扭轉角度β和輪軸與水平平面夾角φ的完整微分方程，結合初始條件

對方程進行數值求解，可以得到θ，β以及φ隨時間變化.

2 實驗分析

2.1 實驗裝置

扭轉陀螺的實驗裝置如圖2所示. 使用1根具有一定扭轉阻力的繩懸掛轉動的陀螺，加速陀螺使其具有一定的初始自轉角速度，并且將繩扭轉一定的角度，然后釋放. 實驗中，在3個視角觀測記錄定制輪的運動情況，水平視角放置2臺攝像機以獲得輪軸與水平平面夾角φ的變化情況，其中1臺為高速攝像機慢速觀察轉動情況，豎直方向放置1臺攝像機以獲得扭轉角度β變化情況. 使用Tracker軟件追蹤φ和β隨時間變化. 用直尺測得繩長a、陀螺質心B與繩和輪連接點A距離為b，用電子天平測得陀螺的質量，用三線擺轉動慣量儀測得陀螺的3個軸的轉動慣量. 實驗中各參量如下:a=294.0 mm，b=44.0 mm，m=0.343 21 kg，g=9.80 m/s2，βt=0=8π，I1=1.377 8×10-4kg·m2，I2=I3=6.428 8×10-5kg·m2.

圖2 扭轉陀螺的實驗裝置

為了獲得陀螺自轉角速度隨時間變化情況，先讓繩不扭轉，輪空轉，使用800幀高速攝像機正對其拍攝，獲得其角速度ω隨時間變化關系，如圖3所示. 由圖3可以看出，角速度與時間近似成線性關系，故將角速度ω表示為

ω=ω0-k0t,

(6)

擬合得k0=7.295 rad/s2.

圖3 陀螺自轉角速度與時間關系

保持輪不旋轉，只扭轉繩，從陀螺底部拍攝獲得扭轉角度β隨時間變化如圖4所示，其中β0=-40 rad,dβ/dt=0. 扭轉角度β擬合滿足

β= -38.4e-0.122t[cos (0.458t)-

0.815sin (0.458t)],

(7)

可得：k1=2.85×10-4,k2=3.10×10-4.

圖4 輪不旋轉只扭轉繩時陀螺扭轉角度與時間關系

2.2 實驗結果與分析

將理論數值求解所得的扭轉角度β與實驗獲得數據值對比，如圖5所示. 由圖5可以看出扭轉角度隨著時間減小，由上方繩提供主要扭轉力矩. 與陀螺空轉相比陀螺扭轉恢復速度明顯減慢，這是因為陀螺轉動時存在的自轉角動量阻止了扭轉運動的發生.

圖5 輪旋轉繩也扭轉時陀螺扭轉角度隨時間變化

將理論數值求解所得的輪軸與水平平面夾角φ與實驗獲得數據值對比，如圖6所示. 由圖6可看出，φ先增大再減小，陀螺會出現輪軸抬起與水平平面有夾角的原因主要為輪轉動使得輪自轉角動量方向變化，損失角動量轉換至φ變化的角動量中，而重力矩使φ減小，故φ達到一定值會趨向于減小直至運動停止. 此外，φ實驗值在理論值附近波動，進行章動，章動主要由偏心差引起.

圖6 陀螺輪軸與水平平面夾角φ隨時間變化

3 偏心差的影響

由于陀螺無法保證完全的質量分布均勻，陀螺質心會與輪軸中心存在較小的偏差，該偏差稱為偏心差. 在輪旋轉時，偏心差會導致陀螺質心繞軸轉動，產生向心加速度，從而對運動產生一定影響. 向心加速度所引起的力矩方向沿輪軸與水平平面夾角φ變化角動量方向，故對φ進行相應分析.

當不考慮陀螺偏心差時，φ角運動方程近似寫為

(8)

(9)

其中等號左邊第2項為阻尼項，第3項為回復項，由常數項及由于質心做圓周運動使得重力矩周期性變化引起，等號右邊為向心加速度引起的力矩，x和y分別為質心與輪軸距離、質心在輪軸上投影與輪軸中心偏離距離. (9)式的解可表示為

(10)

時會出現較大波動，即陀螺在轉動角速度趨近于ω0會進行受迫共振.

偏心差會引起陀螺進行與輪轉動等頻率章動，且在轉動速度趨近于2ω0與ω0時章動頻率較大，分別發生參變共振與受迫共振，其主要使得輪軸與水平平面夾角φ發生波動. 通過高速攝像機進行檢驗，可以觀測到陀螺會進行與陀螺旋轉等頻率的章動，且觀察到在ω=201.12 rad/s與ω=101.05 rad/s章動振幅最大，分別發生參變共振與受迫共振，如圖7～8所示.

(a)t=1 s

(b)t=2 s

(a)t=1 s

(b)t=4 s

4 結束語

通過理論與實驗分析，得到了陀螺輪轉速隨時間減慢與輪轉動得到陀螺在繩下運動狀態，并對運動中輪軸旋轉的原因進行了解釋. 對偏心差引起的參變共振與受迫共振進行了理論上的分析與實驗上的驗證. 而由于使用牛頓力學對系統進行分析得到方程式(組)極其復雜，雖然能通過數值求解，但無法較直觀地對運動狀態進行說明. 本文對解析過程進行了近似，假設繩線性伸長量不變，繩提供的力矩使用了二項阻尼進行擬合，輪轉速隨時間近似線性變化，且陀螺存在不可避免的偏心差.