多參數(shù)正則化的動態(tài)光散射測量數(shù)據(jù)反演

申 晉， 修文正， 尹麗菊， 邢雪寧， 劉 偉

(山東理工大學 電氣與電子工程學院， 山東 淄博 255049)

0 引 言

動態(tài)光散射技術是測量亞微米及納米顆粒粒度及其分布的有效方法[1-3]，該技術是通過測量布朗運動顆粒隨時間起伏的散射光強信號來獲得動態(tài)光散射數(shù)據(jù)，再對動態(tài)光散射數(shù)據(jù)進行反演得到顆粒的粒度分布[4-6]。動態(tài)光散射技術具有非接觸、不干擾被測體系原有狀態(tài)等優(yōu)點，已經(jīng)成為亞微米及納米顆粒測量的一種常用方法。在動態(tài)光散射測量時，測量數(shù)據(jù)反演需要求解的第一類Fredholm積分方程是一個病態(tài)方程，即方程解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性均不能得到保證。已經(jīng)提出的多種動態(tài)光散射數(shù)據(jù)反演方法，包括累積法[7]、NNLS法[8]、CONTIN[9-10]法、指數(shù)采樣法[11]、奇異值分解法[12]、貝葉斯法[13]以及Tikhonov正則化方法[14]等，這些方法各具特點，但均存在局限，多分散顆粒體系的測量數(shù)據(jù)反演是動態(tài)光散射測量技術在實際應用一直未能得到很好解決的難題。在各種反演方法中，Tikhonov正則化方法以其不受粒度分布形式限制和寬適應性在動態(tài)光散射技術得到廣泛應用。隨著動態(tài)光散射技術應用領域的不斷拓寬，其在多分散顆粒體系測量應用中存在的不足愈加明顯：正則參數(shù)取值過大會導致有用信息丟失，無法分辨較近的峰值；而過小則會引起解的振蕩。為得到穩(wěn)定的反演結(jié)果，通常會選擇犧牲部分有用信息，這導致了多峰分布顆粒的求解困難。在進行微米級顆粒測量的前向激光散射技術中，林承軍等[15]通過構(gòu)建一個由多個參數(shù)控制的帶通濾波函數(shù)，在對正則解進行非負約束的條件下，分別控制正則解的振蕩程度和解的高度，降低了正則解的振蕩和負值并能較好地識別多峰。

本文在動態(tài)光散射測量中，采用多參數(shù)正則化方法，通過調(diào)節(jié)因子構(gòu)造多個不同正則參數(shù)共同作用于正則矩陣，利用抑制小奇異值對反演結(jié)果的影響，提高反演方法的抗噪性能和多峰識別能力，有效地消除了反演的顆粒粒度分布中的虛假峰，得到了準確的多分散的亞微米顆粒體系的反演結(jié)果。

1 動態(tài)光散射與多參數(shù)正則化

在動態(tài)光散射測量技術中，光強自相關函數(shù)：

(1)

式中:B為測量基線;β為相干因子;g(1)(τ)為歸一化電場自相關函數(shù)。

對于單分散顆粒體系：

g(1)(τ)=exp(-Γτ)

(2)

多分散體系：

(3)

其離散化形式為：

(4)

i=1,2,…,N；j=1,2,…,M

q為散射失量；m是溶液的折射率；λ0為激光的波長；θ是散射角；DT為顆粒的平移擴散系數(shù)，

(7)

kB、T、η和D分別是Boltzman常數(shù)、絕對溫度、分散介質(zhì)的黏性系數(shù)和顆粒的流體動力學直徑。通過求解式(1)～(7),可得到待測顆粒的粒度分布。

對于多角度動態(tài)光散射測量，歸一化的電場自相關函數(shù)的離散形式的表達式為：

式中:散射角θr=θ1,θ2,…,θR，kθr是對應散射角θr的自相關函數(shù)的權重系數(shù);CIθr,Di為Mie散射系數(shù)，即粒度為Di的顆粒在散射角度θr處的散射光強分數(shù)，可通過Mie理論計算獲得；fDi為所求的顆粒粒度分布。將式(9)代入式(8)得：

(11)

其向量形式為：

(12)

式(4)可寫成算子方程形式：

Ax=b

(13)

矩陣A∈RM×N(M≥N)為Hilbert空間X到B的有界線性算子，x∈X，b∈B，其元素為exp(-Γiτj)，x的元素為G(Γi)，b的元素為g(1)(τj)。Tikhonov正則化方法通過優(yōu)化目標函數(shù)

(14)

(15)

s>0,b≥1,x∈X

在Tikhonov正則化方法中，所有奇異值對應相同的正則參數(shù)，正則參數(shù)受噪聲影響往往會導致所求的解出現(xiàn)欠正則化，使反演的顆粒粒度分布中出現(xiàn)虛假峰、毛刺、峰值分瓣等情況，導致雙峰及多峰的分辨率顯著降低。反演過程中，任何極微小的計算誤差與實驗誤差都會被小奇異值放大，引起反演結(jié)果的劇烈變化。

為了解決上述問題，可通過調(diào)節(jié)因子構(gòu)造正則參數(shù)函數(shù)，使多個不同的正則參數(shù)共同作用在正則矩陣(微分算子模型)上。多參數(shù)正則化的目標函數(shù)為：

(16)

其矩陣形式為：

(ATA+α2L)x=ATb

(17)

α=[α1,α2,…,αj](j=1,2,…,M)。對式(13)中的矩陣A進行奇異值分解：

(18)

得到解：

(19)

式中：U∈Rm×m與V∈Rm×m為酉矩陣；S∈Rm×m為對角矩陣；σj為奇異值，由于小的奇異值會對誤差進行放大，因此，需對其進行截斷；μj與vj分別為正交矩陣U和S的列元素，通過調(diào)節(jié)因子η調(diào)節(jié)正則參數(shù)：

αj+1=(η×αj)1/r

(20)

2 粒度反演的數(shù)值模擬

反演的雙峰(466/915 nm、316/470 nm)和三峰(324/601/871 nm)顆粒粒度分布均采用Johnson’s SB分布函數(shù)[19]:

(21)

式中:dmin和dmax分別為最小和最大顆粒粒徑；參數(shù)t是歸一化顆粒粒徑，t=(d-dmin)/(dmax-dmin)，μ1，σ1，μ2，σ2，μ3，σ3，a，b，c為顆粒粒度分布的參數(shù)。為更接近實際測量情況，對模擬的光強自相關函數(shù)數(shù)據(jù)依次加入噪聲水平δ為10-4和10-2的隨機噪聲。含噪的光強自相關函數(shù)

(22)

式中:ε為隨機噪聲。為檢驗反演性能，引入反演性能指標：

表1 粒度分布模擬參數(shù)

(a) 噪聲水平為0

圖1 466/915nm雙峰顆粒體系MDLS數(shù)據(jù)在不同噪聲水平下不同方法的反演結(jié)果

(a) 噪聲水平為0

圖2 316/470 nm雙峰顆粒體系MDLS數(shù)據(jù)在不同噪聲水平下不同方法的反演結(jié)果

(a) 噪聲水平為0

圖3 324/601/871 nm三峰顆粒體系MDLS數(shù)據(jù)在不同噪聲水平下不同方法的反演結(jié)果

表3 316/470 nm雙峰顆粒體系MDLS數(shù)據(jù)在不同噪聲水平下的反演性能指標

表4 324/601/871 nm三峰顆粒體系MDLS數(shù)據(jù)在不同噪聲水平下的反演性能指標

從圖1與表2可以看出，對于466/915 nm的雙峰顆粒體系，多參數(shù)正則化方法獲得的顆粒峰值誤差與分布誤差均小于Tikhonov正則化方法的誤差，在噪聲水平為0時，Tikhonov正則化方法反演的雙峰顆粒粒度分布相對誤差為0.044 6，峰值誤差為0.032 2/0.008 7/0.025 1，而通過多參數(shù)正則化方法可使相對誤差降為0.030 7，峰值誤差為0.032 2/0.008 7；當噪聲水平為10-2時，Tikhonov正則化方法反演的雙峰顆粒粒度分布相對誤差為0.080 2，峰值誤差為0.032 2/0.008 7，而通過多參數(shù)正則化方法可使相對誤差降為0.047 4。由于受噪聲影響，通過Tikhonov正則化方法反演的顆粒粒度分布中常有毛刺出現(xiàn)，當毛刺出現(xiàn)在峰值附近時，會出現(xiàn)峰值分瓣現(xiàn)象，導致對測量結(jié)果的誤判。不難看出，多參數(shù)正則化方法反演明顯改善了上述情況，反演結(jié)果更逼近真實顆粒粒度分布。

從圖2與表3可以看出，與真實顆粒粒度分布相比，Tikhonov正則化方法反演所得的顆粒粒度分布除產(chǎn)生毛刺外，316 nm明顯展寬。在噪聲水平為0時，Tikhonov正則化方法的分布誤差為0.060 8，多參數(shù)正則化方法的分布誤差為0.030 9；當噪聲水平增加到10-2時，前者的分布誤差為0.078，后者為0.052。隨著噪聲水平的增加，Tikhonov正則化反演的第一個峰的毛刺增多，而多參數(shù)正則化明顯改善了這一情況。

從圖3和表4可以看出，對于324/601/871 nm三峰顆粒體系，采用Tikhonov正則化方法反演得到的324 nm處峰值附近出現(xiàn)明顯毛刺，毛刺數(shù)量隨噪聲水平越大而越多。在噪聲水平達10-2時，多參數(shù)正則化方法仍能得到穩(wěn)定的三峰粒度分布結(jié)果。

3 實驗結(jié)果與討論

實驗所用數(shù)據(jù)為(306±8)nm和(974±10)nm標準聚苯乙烯乳膠顆粒的動態(tài)光散射實測數(shù)據(jù)，來自本課題組合作方——阿根廷Institute of Technological Development for the Chemical Industry 的Jorge R. Vega教授課題組。相關的實驗參數(shù)為：激光波長632.8 nm，分散介質(zhì)折射率nm=1.33，測量溫度T=298.15 K。散射測量角θ=30°，50°，70°，90°，110°，130°。從圖4和表5可以看出，Tikhonov正則化方法反演的顆粒粒度分布在974 nm峰處出現(xiàn)兩個虛假峰，多參數(shù)正則化方法反演結(jié)果中則沒有這種現(xiàn)象，且在306 nm處的峰值誤差遠小于Tikhonov正則化方法(超過1個數(shù)量級)。

圖4 306/974 nm雙峰顆粒體系的反演結(jié)果

Size/nmTRMPR峰值/nmV2峰值/nmV2306/974255/943/1 0010.166 7/0.031 8/0.027 7300/9890.019 6/0.015 4

無論是數(shù)值模擬還是實際測量，采用多參數(shù)正則化方法可得到比Tikhonov正則化方法更為準確的反演結(jié)果。在Tikhonov正則化方法中，所有奇異值均采用同一個正則參數(shù)處理，正則參數(shù)過大或過小會導致反演的顆粒粒度分布過于平滑或產(chǎn)生毛刺與虛假峰，在多參數(shù)正則化方法中，通過采用不同量值的正則參數(shù)分別處理不同的奇異值，避免了因正則參數(shù)過大或過小引起過正則化或欠正則化現(xiàn)象。由于任何微小的實驗誤差或計算誤差都會被小的奇異值放大，通過截斷奇異值分解將小奇異值截斷，有效地抑制了小奇異值的放大作用，進而提高了反演方法的多峰的識別能力與抗噪能力。從反演機理上可以看出，與Tikhonov正則化方法相比，多參數(shù)正則化方法在多峰顆粒體系測量中具有明顯優(yōu)勢。

4 結(jié) 語

為了提高動態(tài)光散射技術在測量雙峰及多峰顆粒體系的準確性，在正則化反演中，通過截斷奇異值分解截去小的奇異值，再通過調(diào)節(jié)因子構(gòu)造正則參數(shù)函數(shù)，實現(xiàn)了多參數(shù)正則化的動態(tài)光散射測量數(shù)據(jù)的反演。對小奇異值的截斷處理以及通過多個參數(shù)共同調(diào)節(jié)正則參數(shù)，既抑制小奇異值對反演結(jié)果的影響，又避免了正參數(shù)選取不當導致的過正則化或欠正則化，顯著提高了反演方法的抗噪能力與多峰識別能力，在測量時有效地消除了顆粒粒度分布反演中的虛假峰與毛刺的同時，保留更多的顆粒粒度信息，從而增強了多峰分布的識別能力，實現(xiàn)了多峰顆粒體系的準確測量。