周期為2q理想幾乎四進(jìn)制序列構(gòu)造研究

彭秀平，冀惠璞，鄭德亮，牛曉霞

（1.燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.河北省信息傳輸與信號處理重點實驗室，河北 秦皇島 066004）

1 引言

四進(jìn)制序列由于具有恒定的包絡(luò)特性和系統(tǒng)易于實現(xiàn)等特性，被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、導(dǎo)航、碼分多址（CDMA,code division multiple access）等實際通信系統(tǒng)中。在實際應(yīng)用中，為了實現(xiàn)同步、抗多徑干擾和防止載波泄露等需求，通常要求所采用的序列具有盡可能低的自相關(guān)函數(shù)旁瓣值和好的平衡性。自相關(guān)函數(shù)旁瓣值全為0的序列稱為最佳序列，而最佳二進(jìn)制序列僅存在長度為4的(1,1,1,?1)情況，最佳四進(jìn)制序列僅存在長度為2、4、8和16的情況，且平衡的最佳四進(jìn)制序列根本不存在[1]。為此，對理想四進(jìn)制序列和理想幾乎四進(jìn)制序列的研究受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，對于奇數(shù)長的理想四進(jìn)制序列，Schotten等[2-3]構(gòu)造了周期為（其中p為奇素數(shù)，a為正整數(shù)）的一類旁瓣值全為1的理想四進(jìn)制序列。隨后，Lüke等[4]利用改進(jìn)的Legendre序列構(gòu)造了理想奇周期四進(jìn)制序列。對于偶數(shù)長的理想四進(jìn)制序列，Tang等[5]證明了周期為偶數(shù)長的平衡四進(jìn)制序列的自相關(guān)函數(shù)旁瓣值最大模值至少為2的特性，并明確了此周期長平衡四進(jìn)制序列的理想情況為自相關(guān)函數(shù)旁瓣模值為小于等于2的情況。逆Gray映射將二進(jìn)制序列同四進(jìn)制序列建立了聯(lián)系，隨后這種方法被廣泛應(yīng)用于構(gòu)造具有理想自相關(guān)特性的平衡或幾乎平衡的四進(jìn)制序列，主要包括采用Sidelnikov[6]序列、理想自相關(guān)二進(jìn)制序列[7]、Legendre序列[8]等。此外，分圓類方法也被廣泛用于四進(jìn)制序列的構(gòu)造中，Edemskiy等[9]運用四階分圓與中國剩余定理結(jié)合的方法分別得到了2種旁瓣值為{-4,2，-2,0}和{-2±2i,±2i,-2}且周期為N=2q(q為奇素數(shù))的平衡四進(jìn)制序列，但是其旁瓣值的最大模值分別為4和8，不符合平衡理想四進(jìn)制序列的標(biāo)準(zhǔn)，在此基礎(chǔ)上，Shen等[10]基于廣義分圓類思想，提出了2種新的可以得到周期為N=2q(q為奇素數(shù))，旁瓣值為{2,-2}的理想四進(jìn)制序列的構(gòu)造方法，但是此方法將四進(jìn)制序列0位置和q位置的元素值固定為1和–1，屬于四進(jìn)制序列元素的特殊情況。

為了進(jìn)一步擴(kuò)大理想四進(jìn)制序列的存在范圍，近些年，通過在序列中引入適當(dāng)個0元素的方式，有關(guān)理想幾乎四進(jìn)制序列的構(gòu)造方法被相繼提出。代表性成果有Tang等[11]通過引入一個0元素的方式，基于四階分圓的方法構(gòu)造得到一種周期為素數(shù)且N≡1(mod4)，旁瓣值為-1的理想幾乎四進(jìn)制序列。彭秀平等[12]中通過引入4個0元素基于交織法對周期為N≡0(mod4)且旁瓣值為{0,-4}的幾乎四進(jìn)制序列的構(gòu)造方法進(jìn)行了研究。本文通過在四進(jìn)制序列中引入一個或2個0元素的方式，基于中國剩余定理和四階分圓類對周期為N=2q（q為奇素數(shù)）的理想幾乎四進(jìn)制序列的構(gòu)造方法進(jìn)行研究，根據(jù)幾乎四進(jìn)制序列y的y(0)和y(q)這2個位置中含0個數(shù)不同提出相應(yīng)構(gòu)造方法，當(dāng)(y(0),y(q))=(0,0)時，得到2種旁瓣值為{0,-2}和{0,2,-2}的平衡理想幾乎四進(jìn)制序列，當(dāng)y(0)和y(q)中有一個位置為0時，得到2種旁瓣值為{0,2,-2}和{0,-2,-2i,2i} 的平衡理想幾乎四進(jìn)制序列。

2 基本概念

定義1[13]設(shè)周期為N的序列y=(y(0),y(1),???,y(N-1))，其中y(t)∈{1,-1,i,-i}，i=-1，則稱序列y為四進(jìn)制序列，其自相關(guān)函數(shù)定義如式(1)所示。

其中，0≤δ

引理1[5]設(shè)表示序列y的自相關(guān)函數(shù)的最大旁瓣模值，那么對于周期為N≡0(mod2)>2的平衡四進(jìn)制序列，一定滿足Rmax≥2。因此，若周期為N≡0(mod2)>2的平衡四進(jìn)制序列y的自相關(guān)函數(shù)滿足Rmax=2，則稱序列y為平衡理想四進(jìn)制序列。

本文基于此理論界，通過在四進(jìn)制序列的基礎(chǔ)上引入一個或2個0元素的方式，提出了幾種滿足此理論界，周期為N=2q的平衡理想幾乎四進(jìn)制序列的構(gòu)造方法。

定義2[13]設(shè)q=4f+1為奇素數(shù)，θ是有限域GF(q)上的本原元，令

則稱Hi為GF(q)上的四階分圓類。令

其中，Hi+1代表集合{hi+1,hi∈Hi}，“+”代表和模q，則(i,j)稱作基于GF(q)的四階分圓數(shù)。

引理2[13]設(shè)q=4f+1為奇素數(shù)，其中f為正整數(shù)。q又可表示為q=4m2+n2，其中m、n均為正整數(shù)。根據(jù)f的奇偶性和n≡1(mod4)或n≡3(mod4)不同取值將四階分圓數(shù)進(jìn)行如下分類。

當(dāng)f為奇數(shù)時，Zq上的四階分圓數(shù)的關(guān)系如式(4)所示，Zq上的四階分圓類的5個基本分圓數(shù)如表1所示。

表1 當(dāng)f為奇數(shù)時，Zq的四階分圓數(shù)的5個基本分圓數(shù)

當(dāng)f為偶數(shù)時，Zq上的四階分圓數(shù)的關(guān)系如式(5)所示，Zq上的四階分圓類的5個基本分圓數(shù)如表2所示。

表2 當(dāng)f為偶數(shù)時，Zq上的四階分圓數(shù)的5個基本分圓數(shù)

引理3[14]根據(jù)中國剩余定理，Z2q?Z2×Zq存在如式(6)所示映射關(guān)系。

定義3周期為2q的幾乎四進(jìn)制序列y(t)定義如式(7)所示。

其中，y(0),y(q)∈{0,1,-1,i,-i}，并且y(0),y(q)中至少有一個為0。

定義4設(shè)周期為N的幾乎四進(jìn)制序列y的元素集為Y={0,1,-1,i,-i}，Y*=Y/{0}，令當(dāng)滿足式(8)所示條件時，幾乎四進(jìn)制序列y稱為平衡序列。

定義5[10]設(shè)A和B是整數(shù)環(huán)Z2q上的2個子集，差函數(shù)dδ(A,B)定義為

其中，B+δ代表集合{b+δ：b∈B}，“+”代表和模2q。

3 理想幾乎四進(jìn)制序列構(gòu)造

定理1設(shè)q=4f+1=4m2+n2為一奇素數(shù)，其中f為正整數(shù)，令(y(0),y(q))=(0,0)，由式(7)定義的序列y(t)中各參數(shù)滿足表3所示集合時，構(gòu)造得到的幾乎四進(jìn)制序列均是理想平衡幾乎四進(jìn)制序列，且其相關(guān)函數(shù)值如式(11)所示。

表3 滿足定理1的序列y(t)的參數(shù)集合

證明以(a0,a1,a2,a3,)=(0,1,0,1)，(j0,j1,j2,j3,)=(0,0,1,1)，(b0,b1,b2,b3,)=(0,1,0,1)，(l0,l1,l2,l3,)=(2,2,3,3)為例進(jìn)行證明，根據(jù)定義3可以得到

因為(y(0),y(q))=(0,0)，所以由定義4可知，該構(gòu)造方法所得的幾乎四進(jìn)制序列y是平衡的。

令序列y的自相關(guān)函數(shù)Ry(δ)=Re(Ry(δ))+iIm(Ry(δ))，其中Re(Ry(δ))表示Ry(δ)的實部，Im(Ry(δ))表示Ry(δ)的虛部。由定義5、引理4和引理5可以計算得到式(13)和式(14)。

1)當(dāng)δ0=0，δ1=0時，顯然，Ry(0)=2q-2。

2)當(dāng)δ0=0，δ1≠0時，令δ1∈Hh，h∈{0,1,2,3}，由引理2和引理6可知，

a)若f為奇數(shù)，則Ry(δ)=2[3(0,0)+(0,2)-(0,1)-(0,3)-2(1,0)](16)

當(dāng)n≡1(mod4)時，Ry(δ)=-2。

當(dāng)n≡3(mod4)時，Ry(δ)=-2。

b)若f為偶數(shù)，則

Ry(δ)=2[3(0,2)+(0,0)-(0,1)-(0,3)-2(1,2)](17)

退役復(fù)學(xué)高職生有的在陸軍服役，有的在海軍服役，有的在空軍、武警等部隊服役；有的雖然屬于同一兵種，但服役崗位不同；有的是普通戰(zhàn)士，有的是特種兵。兵種和身份的不同，決定了他們在部隊的生活經(jīng)歷有很大差異。從調(diào)研結(jié)果看，特種兵比其他兵種更具有責(zé)任心和積極進(jìn)取的精神，更樂于無私奉獻(xiàn)；在部隊擔(dān)任過領(lǐng)導(dǎo)職務(wù)或立過軍功的戰(zhàn)士，大多數(shù)都是黨員，復(fù)學(xué)后更容易成為班級的骨干或核心人物。

當(dāng)n≡1(mod4)時，Ry(δ)=-2。

當(dāng)n≡3(mod4)時，Ry(δ)=-2。

所以，Ry(δ)=-2。

3)當(dāng)δ0=1時，由于{0}∩{1}=0，因此

Ry(δ)=Re(Ry(δ))=0。

綜上所述，其相關(guān)函數(shù)值如式(11)所示，由此可知得到的幾乎四進(jìn)制序列為理想平衡幾乎四進(jìn)制序列。其他組合情況證明過程與上述證明過程類似，不再贅述。證畢。

例1設(shè)q=17=4×4+1=4×22+1，取θ=2，可以得到

根據(jù)定理1可以得到

且其相關(guān)函數(shù)值為

推論1當(dāng)q=4f+1=4m2+n2為一奇素數(shù)，m為奇數(shù)，n=1，且(y(0),y(q))=(0,0)時，由式(7)定義的序列y(t)滿足表4所示集合時，構(gòu)造得到的幾乎四進(jìn)制序列是理想平衡幾乎四進(jìn)制序列，且其相關(guān)函數(shù)值如式(18)所示。

表4 滿足推論1的序列y(t)的參數(shù)集合

證明推論1的證明與定理1的證明類似，在此省略。

例2設(shè)q=5=4×1+1=4×12+1，取θ=2，可以得到

當(dāng)(a0,a1,a2,a3,)=(0,0,0,0)，(j0,j1,j2,j3,)=(0,1,2,3)，(b0,b1,b2,b3,)=(1,1,1,1)，(l0,l1,l2,l3,)=(0,3,2,1)時，根據(jù)推論1，可以得到

且其相關(guān)函數(shù)值為

因此，序列y是平衡的理想幾乎四進(jìn)制序列。

推論1是對定理1方法的補充，即當(dāng)q=4f+1=4m2+n2，其中m為奇數(shù)，n=1的情況，這些特殊長度除了滿足定理1的構(gòu)造方法外，還滿足推論1的構(gòu)造方法。

定理1與推論1是在四進(jìn)制序列中引入了2個0元素，即(y(0),y(q))=(0,0)，接下來的定理2中通過引入一個0元素，即y(0)和y(q)其中有一個為0，同樣，可以得到自相關(guān)函數(shù)旁瓣值的最大模值為2的平衡理想幾乎四進(jìn)制序列。

定理2設(shè)q=4f+1=4m2+n2為一奇素數(shù)，其中，f、m、n都是正整數(shù)，當(dāng)(y(0),y(q))的取值只有一個為0時，由式(7)定義的序列y(t)滿足(a0,a1,a2,a3)=(0,1,0,1)，(b0,b1,b2,b3)=(0,1,0,1)和表5所示集合時，構(gòu)造得到的幾乎四進(jìn)制序列是平衡理想幾乎四進(jìn)制序列，且其相關(guān)函數(shù)值如表5所示。和分別為

證明定理2的證明與定理1的證明類似，取(y(0),y(q))=(0,1)，(a0,a1,a2,a3,)=(0,1,0,1)，(j0,j1,j2,j3,)=(0,0,1,1)，(b0,b1,b2,b3,)=(0,1,0,1)，(l0,l1,l2,l3,)=(2,2,3,3)，根據(jù)定義3可得

由引理4和引理5可得

表5 滿足定理2的序列y(t)的參數(shù)集合

例3q=17=4×4+1=4×22+1，取θ=2，其分圓類和分圓數(shù)與例1相同，此時，若(y(0),y(q))=(0,1)，(a0,a1,a2,a3,)=(0,1,0,1)，(j0,j1,j2,j3,)=(0,0,1,1)，(b0,b1,b2,b3,)=(0,1,0,1)，(l0,l1,l2,l3,)=(2,2,3,3)，根據(jù)定理2可以得到

且其自相關(guān)函數(shù)值為

例4設(shè)q=5=4×1+1=4×12+12，取θ=2，其分圓類和分圓數(shù)與例2相同，此時，若(y(0),y(q))=(0,i)，(a0,a1,a2,a3,)=(0,1,0,1)，(j0,j1,j2,j3,)=(0,0,2,1)，(b0,b1,b2,b3,)=(0,1,0,1)，(l0,l1,l2,l3,)=(1,3,3,2)，根據(jù)定理2可以得到

且其自相關(guān)函數(shù)值為

4 結(jié)束語

通過在四進(jìn)制序列中引入一個或2個0元素的思想，基于四階分圓類和中國剩余定理，本文得到了許多新的周期長度為2q(q為奇素數(shù))的平衡理想幾乎四進(jìn)制序列。表6列出了目前已有的偶數(shù)長理想四進(jìn)制序列同本文得到的理想幾乎四進(jìn)制序列在構(gòu)造方法和性能特性方面的對比結(jié)果。由表6可知，本文得到的所有幾乎四進(jìn)制序列的Rmax=2，滿足文獻(xiàn)[5]中給出的理論界要求，且都具有很好的平衡性。與文獻(xiàn)[5-8]相比，文獻(xiàn)[5-8]得到的理想四進(jìn)制序列都是由特殊的二進(jìn)制序列進(jìn)行逆gray映射得到的，且文獻(xiàn)[9]得到的四進(jìn)制序列是幾乎平衡的。而本文提出的構(gòu)造方法是一種直接構(gòu)造，性能特性不受所采用的二進(jìn)制序列特性限制，都是平衡的；與文獻(xiàn)[9-10]相比，雖采用的都是分圓類方法，但是文獻(xiàn)[9]得到的四進(jìn)制序列的，不滿足理想四進(jìn)制序列的理論界，文獻(xiàn)[10]的序列雖然滿足理想四進(jìn)制序列的理論界，但是存在空間相當(dāng)有限，在q≤100內(nèi)僅存在q=5,13,17,29,53這5種情況，而通過本文方法可將q的范圍擴(kuò)展到q=5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97。所以通過本文構(gòu)造方法，可以得到更多平衡的理想四進(jìn)制序列，為實際工程應(yīng)用和通信系統(tǒng)提供了更多的可供選擇的信號范圍。

表6 現(xiàn)有的偶數(shù)長(幾乎)四進(jìn)制序列的比較