基于小學數學解決問題建模下的思維訓練

趙靜 蔡敏 任娟 王遠

一、思維的獨創性訓練

對數學問題有自己的發現，這種發現有時是建立在計算的基礎上，有時是建立在觀察的基礎上，有時是建立在數學計算研究過程基礎之上，有時是建立在思考中自我提問，反問，追問的基礎上，通過求證而實現的，這個過程是學生主動建模數學概念的過程。如我們在教學五年級數學上冊第31頁計算下面各題，你發現了什么？學生通過計算不難發現被除數不變，除數越小商越大，同時，也有部分學生發現除數小于1商大于被被除數，也有個別學生發現了如果把被除數與除數位置互換角色，則有除數不變被除數越大，商越大，如果除數大于1，被除數比1 大或比1 小都不影響除數不變被除數越大，商越大這個規律，通過這道題，實驗班學生有三種發現，第一種發現是建立在計算的基礎上，第二種發現是建立在觀察的基礎上，第三種發現是建立在反問，追問的基礎上，如有學生問;“反過來讓除數與被除數交換位置怎樣？第一組發現了什么？第二組發現了什么？第三組發現了什么？”不斷地追問下去，他們經過研究求證出了這種結果，因為全班同學都能夠了解第一種發現，那么，少數學生發現的第二種情形，極少數學生發現了第三種情形，這第二種情形與第三種發現就具有獨創性。

二、思維的靈活性訓練

變式，變式是數學教學中常用的方法，我們在實驗中經常發現教材中或教輔中這種變式的原型和變式，如果學生能夠在教材或練習中找到數學原型與它的變式，更進一步，如果學生能夠利用變式把數學原型變化成這個原型的一個變式或幾個變式十幾種變式，學生在數學建模中培養了學生的思維靈活性。

如五年級上冊數學教材79頁例5，我們可以根據速度、路程與時間的關系，小林和小云共同走完全程速度合為（0.25+0.2），路程為4.5km，則所需時間為4.5÷0.45=10分鐘。如果小云在原點不走，小林在規定的時間內走完全程則需要加上小云的速度，即小林以（0.25+0.2）的速度才能走完全程，則小林需要的時間為4.5÷0.45=10分鐘，同理如果小林不走，小云則需要0.2+0.25的速度走10分鐘走完全程與小林相遇。我們也可以這樣設想，假如：①小林走到中點停止行走，問小云和小林什么時間相遇？②當小林走到中點時，小云停止行走，問小云和小林什么時間相遇？

這時先解小林走到中間用多長時間，2.25÷0.25=9（分鐘），小云9 分鐘走的路程是0.2×9=1.8千米。

我們在這個例子中通過對小云運動進行變式，從另一個角度來解決這類行程問題，把小云的運動進行變通把兩者共同完成的問題，變成了小林一個人的行程問題，同理，我們在這里引導學生變化小林的運動速度，讓他的行走的速度為零，把小林的運動進行變通，使兩者共同完成的問題，變成了小林一個人的行程問題，這樣計算起來非常容易，在實驗中發現，有個別學生把小林的運動速度變化成變化的速度，如小林行駛到中點時休息了5分鐘，然后再行走，這樣的變式使學生思維更加靈活。

轉化，如四年級數學課本下冊第15頁第1 題，連一連（根據下圖），如果我們從前面看，平移上層一個正方體，把上層一個正方體往后平移一個位置，則前面看到的圖形沒有變，同理，上層中間或最右邊的正方形移動一個位置，從前面看到的圖形也不會變化，從左面看，把小正方形向右平移一個位置或平移2 個位置，所觀察到的圖形也不會變化。

利用旋轉來解題是一種解題的技巧，有些題，學生可以通過旋轉方法把較復雜的數學問題轉化成比較簡單的數學問題建模。如五年級數學課本上冊第92頁第1 題，做一做，如果，我們指導學生把涂色的三角形向上旋轉180度，可以與上面的三角形重合，這樣旋轉后，我們指導學生把一般的圖形轉化成了特殊的圖形;如五年級數學課本上冊第94頁第8 題，圖中的三角形ABE向右旋轉180度與三角形DEC重合，或三角形DEC向左旋轉180度與三角形ABE重合，我們指導學生也能把一般的圖形轉化成了特殊的圖形。

如五年級數學課本上冊第102頁第7 題，學生根據分割后，把原來的曲線變成了直線，直線再則的部分可以填補，原面積相似于分割后的面積，原圖轉化成了平行四邊形。如同冊數學102頁第9題，用同一方法，分割后的面積變成了五邊形，如果把這個五邊形轉化成一個梯形與一個三角形，求出該題的相似面積就容易得多了。

三、實驗效果

我們選取三年級三（1）班為對照班，（三）（四）為實驗班，四年級四（2）班為對照班，四（1）為實驗班。我們根據所羅門四組設計原則，分別在對照班隨機抽取50%作樣本，與實驗班用三、四年級測驗卷或現場實驗操作的方法進行前測，另外50%不進行監測，我們設計了三年級與四年級數學思維能力測試卷，共10道題小學計算能力，這些題中共50個考察要點，要點分布在思考8個考察點，各7個要點，其中觀察4個考察點為利用學過的數學知識可以解決，4個考察點為利用新知識解決。實驗、比較、猜想、概括、推理。實驗比較等項同每4個為利用舊知識解決另3個用新知識進行解決。我們給每個考察點記2分，共100分，我們共出了8套這樣的試題，三、四年級各4套。前測我們考前班長隨機抽取試題，前測與后測兩次測試的內容不同。

我們在實驗班開展數學小學計算能力優化重組活動化教學實驗，對照班按現有教材正常教學，然后在實驗班與對照班參與前測的學生的同學與沒有參與前測的同學組成四組進行實驗。實驗發現小學計算能力測試平均分數，實驗班比對照班有明顯提高，說明注重小學生思維的訓練的教學有利于培養學生數學思維素養。