標準化解法：含有倒數(shù)關(guān)系的條件最值

王國海

摘 要：考出佳績是教學所追求的目標。將自制的標準化解法《導學案》呈現(xiàn)出來，其根本目的在于幫助大家輕松“秒殺”含有倒數(shù)關(guān)系的條件最值問題，從而消除痛失“掌中分”的遺憾。

關(guān)鍵詞：倒數(shù)關(guān)系；條件最值；標準化解法

含有倒數(shù)關(guān)系的條件最值問題我們耳熟能詳，錯誤率卻居高不下。那么，出現(xiàn)這種情況的原因是什么？原因是解答五花八門、雜亂無章。基于此，現(xiàn)將我制作的標準化解法《導學案》呈現(xiàn)出來，以供大家借鑒。

一、重要模型

已知ax+by=m（a、b、c、d、m都是正數(shù)，x>0，y>0），求 + 的最小值。

二、經(jīng)典解答

∵（ax+by）（ + ）=ac+bd+ad +bc ≥ac+bd+2 ，∴ + ≥ = ，當且僅當ad =bc 時等號成立。∴ + min= 。

三、解題步驟

第一步，將條件等式左邊的代數(shù)式與研究式相乘，并且寫出運算結(jié)果；

第二步，利用基本不等式求出積式的取值范圍；

第三步，兩邊同時除以左邊的代數(shù)式，得出研究式的取值范圍；

第四步，作答。

【典例】已知a>0，b>0，a+b=1，則 + 的最小值為______。

【解析】∵（a+b）（ + ）=2+ + ≥2+2 =4，∴ + ≥ = =4，當且僅當a=b= 時等號成立。∴ + min=4。

【答案】4（由 = 及a+b=1得a=b= ）

【母題變式】本典例的條件和結(jié)論互換：已知a>0，b>0， + =4，則a+b的最小值為________。

【解析】關(guān)鍵步驟：①（ + ）（a+b）=2+ + ≥4；②a+b≥ =1。

【答案】1。

【拓展變式】若直線 + =1（a>0，b>0）過點P（1，1），則a+b的最小值等于（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】關(guān)鍵步驟：①由直線 + =1過點P（1，1）得 + =1；②a+b≥4。

【答案】C。

【跟蹤練習】

1.已知x>0，y>0，x+3y=1，則 + 的最小值是_________。

【解析】關(guān)鍵步驟：①（x+3y）（ + ）≥4；② + ≥4。

【答案】4。

2.已知 + =2（a>0，b>0），則a+b的最小值等于（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】關(guān)鍵步驟：①（ + ）（a+b）≥4；②a+b≥2。

【答案】B。

3.已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，則 + 的最小值是（ ）

A.2 B.2 C.4 D.2

【解析】關(guān)鍵步驟：①由lg2x+lg8y=lg2得x+3y=1；② + ≥4。

【答案】C。

【課時作業(yè)】1.若直線ax-by+2=0（a>0，b>0）被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則 + 的最小值為（ ）

A.2 +3 B. + C.3 D.

【解析】關(guān)鍵步驟：①由（x+1）2+（y-2）2=4得圓心C（-1，2）、半徑r=2；由弦長為4知直線過圓心，即a+2b=2；②（a+2b）（ + ）≥3+2 。

【答案】B。

2.已知a>0，b>0，若不等式 + ≥ 恒成立，則m的最大值是_________。

【解析】關(guān)鍵步驟：①由 + ≥ 得m≤（a+3b）（ + ）；②（a+3b）（ + ）≥12。

【答案】12。

筆者認為，只要掌握了這種標準化解法，就能輕松“秒殺”這類條件最值問題，相信你的數(shù)學成績一定會有大幅度的提高。

參考文獻：

杜志建.小題狂練[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2013.

編輯 馬曉榮