一道考題的分析與思考

袁曉

摘 要：高考是試金石，是風(fēng)向標。高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的開展，應(yīng)緊扣高考分析，以把脈高考走勢、明晰高考趨勢，為教學(xué)的組織開展提供方向。以2018年浙江高考題為例，分析了高考題目的設(shè)計特點以及解題思路，為數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化與調(diào)整，提供若干建議，推動高中數(shù)學(xué)的教學(xué)改革。

關(guān)鍵詞：浙江；高考；數(shù)學(xué)考題；分析；建議

高考是“風(fēng)向標”，是教學(xué)構(gòu)建的重要依據(jù)。數(shù)學(xué)作為高中課程體系中的重要課程，有效數(shù)學(xué)教學(xué)的實現(xiàn)應(yīng)注重學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，突破思維禁錮，實現(xiàn)有效學(xué)習(xí)。近年來，浙江高考數(shù)學(xué)題型相對穩(wěn)定，但靈活性、考查面增強，對學(xué)生的“學(xué)”與教師的“教”有了更高要求，強調(diào)拓展思維視角，以開放式多元化的教學(xué)空間，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力。從近幾年的高考題型來看，知識點穩(wěn)定，但考查方式與結(jié)合點更加靈活，對學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的考查更多。

（2018·浙江）如圖，已知點P是y軸左側(cè)（不含y軸）一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上。請解答：

（I）設(shè)AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；

（II）若P是半橢圓x2+ =1（x<0）上的動點，求△PAB面積的取值范圍。

題目信息量不大，考查的知識點比較單一，但在題目的設(shè)計中，更加強調(diào)對學(xué)生發(fā)散思維的考查。面對“垂直”證明，很多學(xué)生無從下手；對于三角形面積的求算，學(xué)生感覺過于復(fù)雜。實質(zhì)上，整個題目的設(shè)計層面分明，且從常規(guī)知識中尋求新的知識亮點，讓學(xué)生不拘于知識的理解，同時也要注重創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，實現(xiàn)對知識的靈活應(yīng)用。為此，通過對問題的解答分析，我們可透視該題設(shè)計的新穎性，題目不難，但想快速準確的解答，要求學(xué)生有扎實的功底。

問題（I）的分析及解答

分析：問題設(shè)計巧妙，若思維不發(fā)散，學(xué)生很容易陷入困境，處于無從下手的狀態(tài)。一些學(xué)生選擇用“勾股定理”“三角函數(shù)”等方式，試圖解答問題（I）。但實踐證明，這些方法的運算量較大，且比較繁雜，“垂直”關(guān)系的建立比較難，不適合高考題目的解題思路。實質(zhì)上，學(xué)生把問題復(fù)雜化了，在該問題的解答中，學(xué)生應(yīng)從“數(shù)量關(guān)系”入手，而關(guān)系的建立可以基于“韋達定理”。這一連串的思考切入，是快速解答問題的重要思路，也是化繁為簡的重要方向。

解：設(shè)P（x0，y0），A（ y12，y1），B（ y22，y2），

因為PA，PB的中點在拋物線上，

所以y1，y2為方程（ ）2=4·

即y2-2y0y+8x0-y02=0的兩個不同的實數(shù)根，

所以y1+y2=2y0則PM垂直于軸。

從解答可以發(fā)現(xiàn)，問題（I）的證明十分簡單，抓住數(shù)量關(guān)系的建立，通過韋達定理的應(yīng)用，實現(xiàn)了有效證明。因此，題目的“新”在于巧妙設(shè)計，要求學(xué)生善于思考，從不同的思維視角，實現(xiàn)高效、正確的數(shù)學(xué)解答，這是日常學(xué)習(xí)及訓(xùn)練中，所需具備的思維能力，實現(xiàn)有效學(xué)習(xí)。首先，教師的“教”要立足知識面，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，突破傳統(tǒng)思維所形成的禁錮，這是實現(xiàn)問題快速有效解答的基礎(chǔ)；其次，學(xué)生的“學(xué)”要多元化，能夠從知識的串聯(lián)中，解答數(shù)學(xué)問題，這也是當前高考綜合性數(shù)學(xué)題目的設(shè)計特點；再次，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中，要善于知識的總結(jié)歸納，懂得從不同的思維角度，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的有效解答，培養(yǎng)解題技巧。

問題（II）的分析及解答

分析：該問題的設(shè)計具有開放性，在問題的解答時，要大膽假設(shè)，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系，為三角形面積的求算創(chuàng)設(shè)條件。在運算中，S△PAB= PM·y1-y2的建立尤為關(guān)鍵，這是明確求算方法，建立三角形面積關(guān)于“x”方程式的重要基礎(chǔ)。為此，學(xué)生在整個求算過程中，PM·y1-y2求算是關(guān)鍵，要求學(xué)生不要“嫌麻煩”，動手計算、化簡，這是解題基本要求。實質(zhì)上，“方法”“方向”對了，運算量都不會很大，在于學(xué)生能否善于大膽嘗試，懂得從繁雜的思考中跳出來，通過建立數(shù)量關(guān)系，實現(xiàn)對問題的快速解答。高考題目的設(shè)計講究能力的考查，過于復(fù)雜的運算不多，注重學(xué)生的思維能力。

解：由（Ⅰ）可知y1+y2=2y0，y1y2=8x0-y02，

所以PM= （y12+y22）-x0= y02-3x0，y1-y2=2 ，

因此，△PAB的面積S△PAB= PM·y1-y2= ，

因為x02+ =1（x0<0），所以y02-4x0=-4x02-4x0+4∈[4，5]，

因此，△PAB面積的取值范圍是[6 ， ]。

問題（II）看似復(fù)雜，但整個解答過程卻很簡單，問題求算的技巧性較強，要求學(xué)生要善于建立數(shù)量關(guān)系，通過面積公式的求算轉(zhuǎn)換，建立關(guān)于x的一元二次方程式，為三角形面積的求算創(chuàng)造了條件，形成關(guān)于面積的數(shù)量范圍。很大部分學(xué)生嫌麻煩，在建立面積求算公式之后，對于PM·y1-y2的求算不熟悉，且日常學(xué)習(xí)訓(xùn)練不到位，以至于解題遇到阻力，影響解題效率。因此，教師在日常課堂教學(xué)的過程中，一方面要強化基礎(chǔ)知識的鞏固學(xué)習(xí)，另一方面也要注重知識的拓展應(yīng)用，讓學(xué)生熟悉不同題型下的知識設(shè)定，以便更好地應(yīng)對高考不同題型，有效解答數(shù)學(xué)問題。

總而言之，高考題型的分析，是把脈高考命題走向、構(gòu)建高效教學(xué)課堂的重要基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化與調(diào)整，應(yīng)主動適應(yīng)新高考環(huán)境，通過高考題型的分析與研判，轉(zhuǎn)變教學(xué)思維、拓展教學(xué)面，以更好地提高教學(xué)質(zhì)量。浙江高考題型“新舊”結(jié)合，即基礎(chǔ)知識與創(chuàng)新應(yīng)用的有效融合，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的綜合考查增強，在日常教學(xué)中應(yīng)強化教學(xué)構(gòu)建，適應(yīng)教學(xué)改革發(fā)展環(huán)境，促進有效數(shù)學(xué)教學(xué)的實現(xiàn)。

參考文獻：

[1]王華民.有效追問，促學(xué)生理解數(shù)學(xué)，教學(xué)生學(xué)會思考[J].中國數(shù)學(xué)教育，2017（1）.

[2]林振東.論新課程背景下高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)的策略[J].課程教育研究，2014（7）.

編輯 杜元元