控制變量法探索“SSA”

呂娟

北師大版七年級下冊第四章第三節“探索三角形全等的條件”課中，學生通過探索、作圖、比較、推理得出SSS，ASA，AAS，SAS可以判斷兩三角形全等。但是對“SSA”到底能否判定三角形全等，在什么情況下可以證明三角形全等，存在較深的疑惑。教材的處理方法是給出條件“兩條邊分別為2.5cm，3.5cm，長度為2.5cm的邊所對的角為40°”，畫出兩個不一樣的三角形舉出反例進行否定。

北師大版八年級下冊第一章第二節“直角三角形”第二課時探索直角三角形特殊的全等條件HL，其實質也是對SSA探索中的一種特殊情況。如果能借助這節課對SSA的探究進行深度挖掘，學生的收益將會更多。下面給出筆者的設計供讀者參考。

探究1：兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等（簡稱“SSA”）的兩三角形全等嗎？

請同學們看PPT，給定條件：BC=3.5，BA=2.5，∠C=40°，能作出兩個不一樣的三角形：△ABC和△A′BC，如圖1，它們不全等。

結論：兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等（簡稱“SSA”）的兩三角形不一定全等。

探究2：兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等（簡稱“SSA”）的兩三角形一定不全等嗎？

請同學們作△ABC，其中BC=2.5，BA=3.5，∠C=90°。

發現：如圖2，作出的滿足條件的三角形只有一個。當“∠A”是90°時可以判斷兩三角形全等。

這個結論就是我們即將要學的定理：

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等。

此定理可以簡述為“斜邊、直角邊”或“HL”（此定理證明PPT展示，此處略）

結論：兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等（簡稱“SSA”）的兩三角形不一定不全等。

探究3：根據探究1、2，改變一些條件，滿足“SSA”條件的兩三角形全等。從作圖過程來看，如果作出唯一的點A，就能得到唯一的三角形，此時的兩三角形全等。請問，改變哪些條件使得作圖過程中只能出現一個點A？

猜想：∠C的大小，BA和BC的相對長短都能影響作圖時點A的個數。當多個變量對結果都有影響時，我們用控制變量法來探索單一變量與結果的關系。

（1）當∠C<90°時，分三種情況：

當a>c時，如圖3，出現兩個點A，（僅當∠BAC=90°時，只出現一個點A，為HL定理）

當a=c時，如圖4，出現一個點A。

當a

（2）當∠C=90°時，根據“大角對大邊”，只有c>a時，構成直角三角形，此時為定理“HL”；a≤c時不構成三角形。

（3）當∠C>90°時，根據“大角對大邊”，只有c>a時，構成三角形，此時只有一個點A。

結論：兩邊分別相等且其中一組較大邊的對角相等的兩個三角形全等。

證明過程如下：

分兩種情況。

（1）已知：如圖6，當∠BCA>90°時，△ABC與△DEF中，BC=EF，AB=DE（AB>BC），∠ACB=∠DFE，

求證：△ABC≌△DEF

證明：分別過點B，E作邊AC，DF上的垂線，垂足分別為G，H。先證明△BCG≌△EFH（AAS），得BG=EH；再證△ABG≌△DEH（HL），得∠A=∠D，最后證明△ABC≌△DEF（AAS）

（2）圖7的證明過程和圖6的一樣。

自此，我們得到一個嚴謹的結論：兩邊分別相等且其中一組較大邊的對角相等的兩個三角形全等。

本節課我們討論了兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形不一定全等。而當一邊的對角是直角時，這兩個三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理。同時借助控制變量法系統地探索研究SSA條件，不僅讓學生對滿足SSA條件能否判斷兩三角形全等有了完整認識，進一步掌握了推理證明的方法，還發展了學生演繹推理的能力和鉆研的精神。

編輯 謝尾合