由一道數學競賽題引發的思考

【關鍵詞】發展自我；教學的“度”；優生培育

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2019）03-0054-03

【作者簡介】周玉俊，江蘇省東臺市教師發展中心（江蘇東臺，224200）數學教研員，高級教師。

2018年4月，筆者組織本市高二年級學生參加全國高中數學聯賽江蘇賽區初賽。在批改試卷時筆者發現一道平面幾何證明題全市近4000名考生竟無一人回答正確。無獨有偶，在本市舉行的青年教師基本功大賽命題時，筆者也選用了這道題，參賽的30多名青年骨干教師同樣是“全軍覆沒”。能夠應對難題挑戰的學優生都去哪兒了？青年骨干教師的解題能力怎么也有待提高？這些問題引發了筆者對教師自身發展以及為學生提供“適合的教育”的些許思考。現整理成文，供研討。

一、試題及解析

學生賽題：如圖1，在圓內接四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點P，△ABD與△ABC的內心分別為I1、I2，直線I1I2分別與AC、BD交于點M、N，求證：PM=PN。

解析：由I1、I2分別為△ABD與△ABC的內心，可得∠AI1B=180°- （∠DAB+∠DBA）=90°+ ∠ADB，∠AI2B=180°- （∠CAB+∠CBA）=90°+ ∠ACB。由圓的性質可知，∠ADB=∠ACB，所以有∠AI1B=∠AI2B，故A、I1、I2、B四點共圓，因此，∠MI2A=∠I1BA= ∠DBA，∠PMN=∠MAI2+∠MI2A= （∠CAB+∠DBA）。同理∠PNM= （∠CAB+∠DBA）。所以∠PMN=∠PNM，即PM=PN。

教師賽題：如圖2，所示四邊形ABCD內接于圓，對角線AC、BD交于點P，I1、I2、I3分別為△ABD、△ABC、△PDC的內心，求證：I3P⊥I1I2。

簡析：本題與學生賽題的不同在于，一是增加了△DCP的內心I3和線段I3P，并要求證明I3P⊥I1I2；二是解題時需要在分析探究的基礎上添加如圖3所示的一組輔助線，然后在學生題解答的基礎上，增加在等腰△PMN中用“三線合一”即可。（具體過程略）

二、原因分析

近4000名學生參考，其中不乏有能力沖擊北大清華的學優生，在同一道試題面前竟然無一例外“全軍覆沒”，這樣的結果著實令人震驚。那么，造成這一狀況的原因有哪些？學生的思維障礙和解題疑惑究竟在哪里？經過對學生答卷的診斷和反思，筆者把主要原因歸結為兩點：一是知識斷層；二是能力不足。作為一道競賽題，題目與學生日常學習的知識跨度較大，特別是在解題過程中如何想到要證A、I1、I2、B四點共圓以及怎樣證明它們四點共圓，這是阻礙學生順利解題的關鍵所在。從知識層面看，現行蘇科版初中教材只講了“圓內接四邊形對角互補”，對于四點共圓的知識則未涉及，加之高中對這一塊知識也沒有進行專門學習，這個知識“斷層”就成了學生難以逾越的障礙。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出，要適當減少教學內容、降低教學難度、加強知識運用、促進學生智力和能力同步發展。在此背景下各版本教材都對教學內容進行了刪減，以蘇科版數學教材為例，在“圓”這一章就刪去了“弦切角定理”“相交弦定理”“切割線定理”，并將“垂徑定理”“切線長定理”“圓與圓的位置關系”以及“正多邊形和圓”等調整為選學內容。知識的減少，難度的降低帶來的是學生學習幾何知識課時的減少和訓練強度的不足，相應也就造成了學生思維能力的減弱和解題能力的缺失。

如果說學生的“全軍覆沒”屬于事出有因，但受過高等教育和專業訓練的30多位青年骨干教師同樣無一人解答正確，的確令人費解。新時代對教師的教育觀念和專業水平提出了全新挑戰，如果教師不能提高自身“理解數學”的水平，又怎能提高自己的教學站位，從而做好對學生的指導和培育？眾所周知，學習平面幾何對于發展學生的推理能力起著至關重要的作用。教材內容的減少，并不意味著對學生能力要求的降低，知識的缺失并不可怕，可怕的是教學的弱化導致學生推理能力的下降。“抽象”“推理”和“模型”是學生思維能力的重要體現，學生思維能力的下降應該引起我們警覺，這也是本題讓我們感受到的危機和困惑。

三、“適合的教育”，教師當怎么做？

堅持以生為本，為每個學生提供“適合的教育”，是新時代我國教育教學改革的重要價值取向。怎樣才能為學生提供“適合的教育”？這是一個很大很有價值的課題，筆者不敢妄論，現只結合對以上競賽題情況的分析，談談關于“適合的教育”的一些思考。

1.為學生提供“適合的教育”，要求教師首先要發展好自我。

當前，由于教育體制機制等多方面的原因，教師的“職業倦怠”普遍存在，不少教師自我發展的愿望不強，工作被動應付，能力不升反降。而國家對教育的現實要求是教師要不斷提高自身的職業勝任力，以更高的知識和思維視角及更具個性化的教學來指導學生學習，促進學生發展。如何縮小這兩者之間的反差？

筆者認為，教師要增強學習的自覺，提高學習的厚度。“登得高”才能“望得遠”，人教社編審章建躍提出的“三個理解”（理解數學、理解學生、理解教學）[1]的主張為教師自我發展提供了指南，教師只有通過學習，不斷提高“三個理解”的能力和水平，因材施教，為學生提供“適合的教育”才能成為可能。

教師要拓寬教學視野，提高立德樹人的境界。正如陜西師范大學羅增儒教授所提出的，數學教學不能只停留在傳授雙基、培養能力這些基本層面上，還要在總結方法提煉思想的過程中充分挖掘隱含在其中的DNA——“數學核心素養”，并與立德樹人相溝通，結合數學學科的特點，培養和發展學生的核心價值觀。[2]

教師要堅持學研結合，不斷提升自身的專業素養。一個教師如果連解題關都過不了，僅僅滿足于當“復印機”和“傳聲筒”，那么，為學生提供“適合的教育”只能成為一個難以實現的美好愿望，也正因為如此，教師只有不斷提升自身的專業素養，才能將“適合的教育”有效落到實處。

2.為學生提供“適合的教育”，需要教師把握好教學的“度”。

適合的才是最好的。《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出：“要充分考慮不同層次學生的成長和發展需求，為學生提供多樣化的課程資源和良好的學習環境，讓不同的人在數學上得到不同的發展。”中學作為基礎教育的一個環節，承擔著為國家培養合格的勞動者和接班人的重任，同時也擔負著為高等教育培養和輸送優秀人才的使命，這就要求教師要加強教學研究，把準教學要求，既要“面向全體”，重視基礎，確保“下要保底”目標的達成，又要立足學情，因材施教，體現“上不封頂”的教學要求。

當前受課改和高考指揮棒的影響，一些教師視課標和高考要求為教學的“天花板”和“紅線”，日常教學不敢“越雷池一步”，這樣做帶來的后果是課堂教學內容的深度和廣度受限，學生的思維層次不高，能力缺失。長此以往，教師的解題能力和思維水平也會逐步被學生同化，教學能力日漸衰退，上面所講的例子就是一個有力的證明。考試并不是學生發展的終極目標，教師要立足學生的長遠發展，根據具體學情，合理把握好教學的“度”，同時要注意處理好課標要求與學生充分發展的關系，“面向全體”與“因材施教”的關系，夯實基礎與提優促特的關系。特別是面對部分學優生，教師不能縮手縮腳，患得患失，更不能搞“齊步走”和“一刀切”，既要注意把握課標的基本要求，又要體現和落實對優生的較高要求，促進學生富有個性的發展。比如在上面的案例中，雖然四點共圓不是高考要求，但對于用圓的定義證明四點共圓或者根據圖形的性質和判定的互逆關系研究隱圓問題，這些都是非常好的學習資源，對于激發學生的學習興趣，優化思維品質，促進特長發展大有裨益。

“適合的”當然是最好的，“適合的”更需要全體教育人共同探索與謀求。愿我們共同努力，讓“適合的教育”在新時代開出更多更鮮更美的教育之花！

【參考文獻】

[1]章建躍.理解數學 理解學生 理解教學[J].中國數學教育：高中版，2010（12）：3-7.

[2]羅增儒.教師為什么要發展[J].中學數學教學參考，2018（14）：1.