高中數學章節起始課的教學實踐與思考

【摘 要】章節起始課是新課程改革和教材變革的產物。從教學時間來看，它應該是一個新的章節開展教學的第一節課；從教材內容來看，它必須包含章節起始內容；從教學內容來看，它必須突出章節的核心知識或核心研究方法；從教學結果來看，它必須能幫助學生自主構建知識結構與認知結構。數學章節起始課既要體現數學教育的本質，同時也要充分體現教育的社會目標并符合教育規律。

【關鍵詞】章節起始課；數列；知識結構；認知結構；教育規律

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2019）03-0029-04

【作者簡介】羅建宇，江蘇省張家港市沙洲中學（江蘇張家港，215600）副校長，高級教師，蘇州市優秀教育工作者，蘇州市學科帶頭人。

隨著新課程改革的不斷推進，涌現出了越來越多的新課型，章節起始課就是其中之一。筆者認為，章節起始課并不能簡單認為是每一章的第一節課，章節起始課要能發揮引領學生學習的作用，應將章節起始內容納入常規教學之中。考察當前的數學課堂教學，章節起始內容并未作為常規課內容進行教學。一方面，一部分教師認為高中內容多，課時緊，沒有必要教這部分內容，而且教和不教效果可能差別不大；另一方面，有些教師雖然也關注到了章節起始內容，但卻不知如何將其作為教學內容開展教學。筆者圍繞“章節起始內容”展開了系列研究，形成了自己的一些認識和思考，現以普通高中課程標準實驗教科書必修5“數列”的章節起始內容的分析與教學為例，談談筆者的認識和思考，敬請同行指正。

一、“數列”章節起始內容的梳理和教學設計的思考

在進行“數列”一章的章節起始內容的教學之前，筆者對各個版本教材的章節起始內容作了梳理工作，具體如下。

1. 關于章頭圖的梳理。章頭圖一般都與本章的主題相關，同時體現數學美。各版本教材數列章節的章頭圖梳理如下：人教A版教材章頭圖有樹木的分杈、花瓣的數量、種子的排列；蘇教版教材章頭圖有鸚鵡螺殼花紋的排列；人教B版教材章頭圖有兔子繁衍問題（斐波拉契數列）和帶棋盤的國際象棋（傳說的故事與等比數列有關）。筆者在課堂小結時展示了這些圖片（見本文教學設計“課堂小結”部分）說明其與后續學習的關系，并用幾何畫板展示了斐波拉契螺線，讓學生感受其蘊涵的數學美。

2. 關于章頭語和名人名言的梳理。章頭語和名人名言一般都能揭示數學概念的由來。人教A版教材章頭語說道：“對數列的研究源于現實生產、生活的需要。從數學概念的發展看，數列是定義在正整數集或其有限子集的函數，是刻畫離散過程的重要數學模型。”蘇教版教材章頭語引用了德國數學家希爾伯特的話：“數學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正在于各部分之間的聯系。” 函數概念發展的早期與數列有極其重要的聯系，數列是定義域特殊的函數，它也具有單調性，這些都有利于對函數的理解。

3. 關于章頭詩詞的梳理。湘教版教材最大的特點是每一章有一首章頭詩。經與教材作者確認，“數列”一章的章頭詩由中科院張景中院士所作，內容是：玉兔子孫世代傳，棋盤麥塔上摩天；壇壇罐罐求堆垛，步步為營算連環；數列尋根屬函數，自成一格意盎然；等差等比初學步，登堂入室看來年。這首詩不僅涵蓋了數列一章的主要知識，而且與筆者設計的本節課內容非常吻合，因此借用張院士所作的章頭詩作為本節章節起始課教學的壓軸內容。

二、“數列”章節起始課的教學設計

情境1：古詩欣賞《山村詠懷》（別名《一去二三里》）： 一去二三里，煙村四五家，亭臺六七座，八九十枝花。詩中所涉及的數字依次是？

情境2：傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數。

圖1三角形點陣表示三角形數，它們表示的數字依次為？

情境3：《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”意思是：一尺長的木棒，每日取其一半，永遠也取不完。如果將“一尺之棰”視為1份，那么每日剩下的部分依次為？

情境4：將π的不足近似值按小數位數從少到多的次序排成一列數，依次是？

【設計意圖】章節起始課是每章的第一節課，應利用大量豐富的情境引導學生感知本章的研究主題，因此筆者借助四個情境，引導學生從中抽象出數列的概念，這些數列分別與等差數列和等比數列，有窮數列和無窮數列，遞增數列和遞減數列，能寫出通項的數列和不能寫出通項的數列等有關，為本節課后面學習的概念建構作鋪墊。

學生活動1：按照定義，你能否舉出一些數列的例子？

學生活動2：（大家來找茬）這張填涂的答題卡上，從數列的角度看，為什么錯了？

【設計意圖】活動1意圖讓學生進一步體會數列的概念，借豐富具體的數列例子（可引導學生寫出一個常數列），與問題情境中抽象出來的數列一起，作為即將學習的特殊數列。活動2讓學生用數列的知識解決學習生活中碰到的實際問題。以上情境和活動旨在讓學生體會用數學的眼光觀察、用數學的思維分析和用數學的語言表達，進一步讓學生明確本章的研究主題。

例1 已知數列的第n項an記為2n-1，寫出這個數列的首項，第2項和第3項。

練習：已知數列{an}的通項公式，寫出這個數列的前5項，并作出它的圖象。（1）an=■；（2）an=cosnπ。

【設計意圖】章節起始課還有一個特點：揭示本章的研究方法。通過例1給出數列通項公式的概念，并引導學生認識到數列的通項公式可看成數列的函數解析式，引導學生從函數的觀點來理解數列。練習既是對例1的鞏固，加深從函數的角度理解數列，又與例1（遞增數列）互補，添加了遞減數列和擺動數列案例，并將遞增數列和遞減數列用數學的語言進行表示。進一步揭示本章的研究方法：用函數的觀點來研究數列問題。

例2 寫出數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數。（1）-■，■，-■，■；（2）0，2，0，2。

【設計意圖】讓學生會尋求滿足條件的通項公式。其中，第（1）問中用（-1）n來控制符號，且1與-1相差為2，為第（2）問寫出通項公式an=1+（-1）n作鋪墊，結合例1的練習（2），說明數列的通項公式不唯一。

課堂小結：

1.數列的有關概念。

（1）從函數的角度看數列，理解數列的概念和性質（單調性）；

（2）辨析：若an=0，n=1，32，n=2或n≥4則{an}是否為數列。

2.我們為什么學數列？

從數學知識內部看，數列是特殊的函數，是刻畫離散過程的重要數學模型，函數概念發展的早期與數列有極其重要的聯系。因此，蘇教版教材章頭語引用了數學家希爾伯特的話。人教A版教材章頭語也指出：數列的知識也是我們將來學習高等數學的基礎。

人教A版教材章頭語還說道：對數列的研究源于現實生產、生活的需要。事實上，生活中樹木的分杈、花瓣的數量、種子的排列等都與斐波拉契數列有關。以斐波拉契數列的每個值為半徑依次作四分之一圓弧并銜接起來即為斐波拉契螺線（蘇教版教材中鸚鵡螺殼花紋）。它的前后項之間的關系（遞推關系）為an+2=an+an+1，a1=a2=1，并能推出其通項公式為an=■[（■）n-（■）n]，其中■，■都與黃金比有關。

3.高中數學中數列學什么？

“數列”一章中，重點學習等差數列和等比數列有關知識，并對一般數列可在已知數列的遞推公式或者前n項和公式的基礎上求其通項公式，以及在已知特殊數列的通項公式的基礎上求其前n項和Sn。“數列”一章的學習內容，正好匯成中科院張景中院士在湘教版教材上的章頭詩：玉兔子孫世代傳，棋盤麥塔上摩天（斐波拉契數列、等比數列等模型）；壇壇罐罐求堆垛，步步為營算連環（數列求和及遞推）；數列尋根屬函數，自成一格意盎然（數列概念的函數本質及特性）；等差等比初學步，登堂入室看來年（重要的數列模型，等差等比數列是高中學習數列的重點）。

【設計意圖】章節起始課應為研究內容與研究方法的有機融合。在課堂小結階段，第1點為知識的小結。第2，3點的設計基于章節起始內容滲透數學文化，彰顯詩意課堂，并通過對知識和方法的介紹引領整章的學習。

三、章節起始課的系列思考

1.章節起始課的內涵剖析。

分析相關文獻不難發現，有的研究者僅僅將章節起始課定位于每一章的第一節課，開門見山地講解教材每一章第一節的內容，采用的仍然是傳統的教學方法，并未發揮章節起始課的獨特價值與功能，并沒有體現章節起始課“謀好篇、定好調、開好局”的重要意義。筆者認為，章節起始課的內涵至少應該包括以下幾個方面：第一，從教學時間來看，它應該是一個新的章節開展教學的第一節課；第二，從教材內容來看，它必須包含章節起始內容；第三，從教學內容來看，它必須突出章節的核心知識或核心研究方法；第四，從教學結果來看，它必須能幫助學生自主構建知識結構與認知結構。

2.章節起始課的設計原則。

一節有效的高中數學章節起始課的教學價值必須依托于教學設計才能得以實現，因此，教學設計是章節起始課教學價值得以彰顯的重要行為。筆者認為，設計章節起始課的基本要求可以提煉為一個宗旨、兩個基點。

一個宗旨，即構建良好的知識結構和認知結構。章節起始課的有效開展對學生知識結構的形成、發展和完善具有重要意義。同時，通過后續課程的學習，學生可以不斷對該知識結構進行擴展、修正、完善，最終形成完整的知識結構。因此，在進行章節起始課的教學設計時，應考慮以下問題：如何整體性地處理本章數學知識，以增強數學知識的結構化？在章節起始課的教學過程中，應該以何種方式呈現這樣的知識結構？呈現哪些部分？進行章節起始課的教學過程中，如何才能幫助學生在頭腦中能形成良好的認知結構？

兩個基點，即數學教育的數學方面與教育方面。在數學方面，必須以數學學科的科學性作為基點。數學教育家項武義先生曾指出，“我們的數學課堂教學正在去數學化”。數學教育，自然是以“數學”內容為核心。數學課堂教學的優劣，自然應該以學生是否能學好“數學”為依歸。因此，在進行章節起始課的教學設計時，應能體現本章的數學知識，應能滲透一些本章所涉及的數學思想和數學方法，應能呈現一些本章的數學知識的實際應用價值，應能突出一些本章數學知識的本然或來龍去脈。在教育方面，但凡進行教學設計，必須以學生的可接受性和學生的已有認知作為基點。在進行章節起始課的教學設計時，必須考慮學生的已有認知，以學生的已有認知來建立新舊知識之間的本質聯系，如此才能使得探求新知成為可能。

【參考文獻】

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