試論超級球在受限空間的力學規律

王亞軍

摘 要：在超級球的運動過程中，會與碰撞物體形成機械能守恒體系。本文將對超級球在受限空間中的力學規律進行研究，首先分析其運動碰撞過程，包括運動學規律和水平向速率關系。在此基礎上，采用試驗研究方法，利用光滑模板構建受限空間，使用計算機軟件對其運動過程進行分析，并根據試驗結果，分析其力學規律。

關鍵詞：超級球;受限空間;力學規律

0 前言

多數球類運動都是按一定角度出球，撞擊到堅硬平面后彈回，其撞擊角度著球是否能夠返回到操作者手中。在球的運動和碰撞過程中，涉及到非線性動力系統問題，目前相關研究較多，但多數屬于一維模擬分析，缺少二維受限空間的碰撞運動模型分析。有必要對其運動規律進行深入分析，為乒乓球、網球等運動訓練提供更多的理論依據。

1 超級球的碰撞過程分析

1.1 運動學規律

超級球是一種彈性優良的固態橡膠球，與其他固體發生碰撞后，近似遵循系統機械守恒定律及角動量定理。其中，機械能守恒系統是由超級球、碰撞物體以及地球共同組成的，在超級球與固體碰撞時，接觸面無滑動，因此無摩擦生熱現象。同時，超級球碰撞中的形變恢復時間非常短，形變產生熱量也可忽略不計，所以近似遵循機械能守恒定律。在超級球與固體平面的碰撞過程中，受靜摩擦力矩作用，會產生一個角加速度，碰撞后，超級球運動可以看作是質心平動與以一條直徑為軸進行轉動的復合運動[1]。

1.2 水平向速率關系

采用地球參考系，設水平向右為x軸的正方向，設豎直向上為y軸的正方向，根據右手螺旋法則確定z軸方向。在超級球與水平放置的固體平板發生碰撞后，需要研究x軸方向的速率關系，為研究超級球在受限空間中的力學規律提供試驗理論基礎。在其碰撞中，可采用過超級球與固體平板接觸點，且與Z軸平行直線作為超級球瞬時軸。研究超級球定軸轉動的分運動時，可采用質心軸，為角動量定理的使用提供方便[2]。

將超級球碰撞前后速度分別表示為v1和v2，碰撞前后速度與y軸所成銳角分別為θ1和θ2，碰撞前后的動能分別為Ek1和Ek2。在熱能損耗忽略不計的情況下，有Ek1=Ek2，即1/2mv12=1/2mv22+1/2Jw2，1/2mv1x2+1/2mv1y2=1/2mv2x2+1/2mv2y2+1/2Jw2。由于超級球碰撞過程中y軸上的動量近似守恒，因此有|v1y|=|v2y|，帶入后可以得到1/2mv1x2=1/2mv2x2+1/2Jw2，其中，質心轉動慣量J=2/5mr2，則有v2x2=v1x2-2/5r2w2。超級球與板之間的碰撞壓力為N，摩擦力大小隨時間變化，記為fμ。根據角動量定律，在一個函數區間T/2內，超級球碰撞獲得的角速度為w=5μN0T/（4πmr）。帶入到上述公式中可得出v2x2=v1x2-10μ2v12cosθ1。該公式可以作為試驗觀測超級球碰撞運動水平速度的理論基礎。

2 超級球在受限空間中的力學規律研究

2.1 試驗方法

在本次試驗過程中，二維受限空間是由兩個成一定夾角的光滑木板組成的，其中一塊木板水平放置。超級球為高彈性系數高分子橡膠球，在其運動過程中，使用Epson錄像機進行橫向拍攝，利用Tracker軟件確定超級球運動中的相對位置。在試驗過程中，分別調整兩個光滑木板之間的夾角，將其設置為90°/80°/70°/60°/50°/40°/30°/20°/10°/0°，其中0°為兩個木板平行放置的情況。超級球的入射方向統一設置為與水平木板法線成45°角的方向，控制超級球初速度方向，讓其無旋轉運動，且每次僅在某xOy平面內運動。

2.2 結論分析

采用上述試驗方法，對超級球在量光滑木板間的運動規律進行研究，并采用上述速率關系公式，判斷結果的正確性。在采用錄像機記錄超級球運動過程后，利用軟件進行處理，得到超級球在兩木板成不同夾角條件下的運動軌跡。假設人的手臂活動范圍為20cm×20cm，從結果來看，當兩個光滑模板之間的夾角大于等于70°、小于等于90°時，超級球會與兩個木板各發生一次碰撞，然后按照近似于扇形的路徑返回操作者手中。當兩個光滑模板之間的夾角為大于等于0°、小于等于60°時，超級球會與水平模板發生2次碰撞，與豎直木板發生1次碰撞。超級球的運動軌跡可以看作兩個左上角重合的雙V結構。此時，只有當兩個木板間的夾角為大于等于0°、小于等于30°時，超級球才能回到操作者手中。

在兩個木板間的夾角為大于等于40°、小于等于60°的情況下，超級球無法回到操作者手中。由此可以判斷出，超級球碰撞次數從2次變為3次的兩板夾角出現在60°～70°范圍內。在試驗過程中，超級球碰撞縱向位置會出現一定偏差，這主要時拍攝視覺誤差導致的。在兩木板的夾角為0°時，超級球與水平木板發生第一碰撞前后，橫向位移與時間變化曲線的斜率分別對應著超級球碰撞前后x軸方向速率。其中，實測vx1為2.2401，實測vx2為1.3966，滿足理論計算公式vx2

3 結束語

綜上所述，超級球在二維受限空間內，與兩個板的碰撞次數與板間夾角有關，進而影響其運動路徑和能否回到操作者手中。根據本次試驗研究，在兩板間夾角為0°～30°和70°～90°時，超級球均能回到操作者手中。利用水平向速率關系式進行驗算，該試驗結果較為可靠，在超級球碰撞過程中，能夠滿足機械能守恒定律及角動量定理。

參考文獻：

[1]王雪蓮，付淑芳，孟慶國.“超級球”在水平板上一次碰撞彈回現象的研究[J].大學物理實驗，2017，30（06）：92-97.

[2]梁澤宇，吳秀文，申坤，郝會穎.超級球在受限空間的力學規律研究[J].物理與工程，2017，27（S1）：238-244.